離散數(shù)學(xué)第三章 命題邏輯的推理理論

離散數(shù)學(xué)第三章命題邏輯的推理理論第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一13.1推理的形式結(jié)構(gòu)定義3.1

設(shè)A1,A2,…,Ak,B為命題公式.若對(duì)于每組賦值，A1A2…

Ak

為假，或當(dāng)A1A2…Ak為真時(shí)，B也為真，則稱(chēng)由前提A1,A2,…,Ak推出結(jié)論B的推理是有效的或正確的,并稱(chēng)B是有效結(jié)論.定理3.1由命題公式A1,A2,…,Ak推B的推理正確當(dāng)且僅當(dāng)A1A2…AkB為重言式注意:推理正確不能保證結(jié)論一定正確第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一2推理的形式結(jié)構(gòu)2.A1A2…AkB

若推理正確,記為A1A2…AkB3.前提：A1,A2,…,Ak

結(jié)論：B判斷推理是否正確的方法:

真值表法等值演算法主析取范式法推理的形式結(jié)構(gòu)1.{A1,A2,…,Ak}B

若推理正確,記為{A1,A2,,An}B第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一3推理實(shí)例例1

判斷下面推理是否正確(1)若今天是1號(hào)，則明天是5號(hào).今天是1號(hào).所以,明天是5號(hào).(2)若今天是1號(hào)，則明天是5號(hào).明天是5號(hào).所以,今天是1號(hào).解設(shè)p：今天是1號(hào)，q：明天是5號(hào).(1)推理的形式結(jié)構(gòu):(pq)pq用等值演算法(pq)pq

((pq)p)q

pqq

1由定理3.1可知推理正確第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一4推理實(shí)例(2)推理的形式結(jié)構(gòu):(pq)qp用主析取范式法(pq)qp(pq)qp

((pq)q)p

qp(pq)(pq)(pq)(pq)

m0m2m3

結(jié)果不含m1,故01是成假賦值，所以推理不正確第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一5推理定律——重言蘊(yùn)涵式1.A

(AB)附加律2.(AB)

A

化簡(jiǎn)律3.(AB)A

B

假言推理4.(AB)B

A

拒取式5.(AB)B

A

析取三段論6.(AB)(BC)(AC)假言三段論7.(AB)(BC)(AC)等價(jià)三段論8.(AB)(CD)(AC)(BD)構(gòu)造性二難

(AB)(AB)

B

構(gòu)造性二難(特殊形式)9.(AB)(CD)(BD)(AC)破壞性二難每個(gè)等值式可產(chǎn)生兩個(gè)推理定律如,由AA可產(chǎn)生AA

和AA第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一63.2自然推理系統(tǒng)P定義3.2

一個(gè)形式系統(tǒng)I由下面四個(gè)部分組成：

(1)非空的字母表，記作A(I).(2)A(I)中符號(hào)構(gòu)造的合式公式集，記作E(I).(3)E(I)中一些特殊的公式組成的公理集，記作AX(I).(4)推理規(guī)則集，記作R(I).

記I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>,其中<A(I),E(I)>是I的形式語(yǔ)言系統(tǒng),<AX(I),R(I)>是I的形式演算系統(tǒng).形式系統(tǒng)一般分為兩類(lèi)：自然推理系統(tǒng):無(wú)公理,即AX(I)=公理推理系統(tǒng)推出的結(jié)論是系統(tǒng)中的重言式,稱(chēng)作定理第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一7自然推理系統(tǒng)P定義3.3自然推理系統(tǒng)P定義如下:1.

字母表

(1)命題變項(xiàng)符號(hào)：p,q,r,…,pi,qi,ri,…(2)聯(lián)結(jié)詞符號(hào)：,,,,(3)括號(hào)與逗號(hào)：(,),，2.合式公式（同定義1.6）3.

推理規(guī)則:(1)—(12)

(1)前提引入規(guī)則:在證明的任何步驟都可以引入前提.(2)結(jié)論引入規(guī)則:在證明的任何步驟所得的結(jié)論都有可以作為后繼證明的前提.(3)置換規(guī)則:在證明的任何步驟,命題公式中的子公式都可以用等值的公式置換,得到公式序列中又一個(gè)公式.第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一8推理規(guī)則(4)假言推理規(guī)則

(6)化簡(jiǎn)規(guī)則

(8)假言三段論規(guī)則

ABA∴BA∴ABAB∴A(5)附加規(guī)則

(7)拒取式規(guī)則

(9)析取三段論規(guī)則

AB

B∴AABBC∴ACAB

B∴A第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一9推理規(guī)則(10)構(gòu)造性二難推理規(guī)則(11)破壞性二難推理規(guī)則

(12)合取引入規(guī)則

ABCDAC∴BDABCDBD∴ACAB∴AC第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一10在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造證明設(shè)前提A1,A2,,Ak,結(jié)論B及公式序列C1,C2,,Cl.如果每一個(gè)Ci(1il)是某個(gè)Aj,或者可由序列中前面的公式應(yīng)用推理規(guī)則得到,并且Cl=B,則稱(chēng)這個(gè)公式序列是由A1,A2,,Ak推出B的證明例2

構(gòu)造下面推理的證明：若明天是星期一或星期四，我明天就有課.若我明天有課，今天必備課.我今天沒(méi)備課.所以，明天不是星期一、也不是星期四.解(1)設(shè)命題并符號(hào)化設(shè)p：明天是星期一，q：明天是星期四，

r：我明天有課，s：我今天備課第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一11直接證明法(2)寫(xiě)出證明的形式結(jié)構(gòu)前提：(pq)r,rs,s

結(jié)論：pq(3)證明

①rs

前提引入②s

前提引入③r①②拒取式④(pq)r

前提引入⑤(pq)③④拒取式⑥pq⑤置換第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一12附加前提證明法附加前提證明法適用于結(jié)論為蘊(yùn)涵式欲證前提：A1,A2,…,Ak

結(jié)論：CB等價(jià)地證明前提：A1,A2,…,Ak,C

結(jié)論：B理由：

(A1A2…Ak)(CB)

(A1A2…Ak)(CB)

(A1A2…AkC)B(A1A2…AkC)B第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一13附加前提證明法實(shí)例例3

構(gòu)造下面推理的證明

2是素?cái)?shù)或合數(shù).若2是素?cái)?shù)，則是無(wú)理數(shù).若是無(wú)理數(shù)，則4不是素?cái)?shù).所以，如果4是素?cái)?shù)，則2是合數(shù).解用附加前提證明法構(gòu)造證明

(1)設(shè)p：2是素?cái)?shù)，q：2是合數(shù)，

r：是無(wú)理數(shù)，s：4是素?cái)?shù)

(2)推理的形式結(jié)構(gòu)前提：pq,pr,rs

結(jié)論：sq

第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一14附加前提證明法實(shí)例

(3)證明①s

附加前提引入②pr

前提引入③rs

前提引入④ps②③假言三段論⑤p①④拒取式⑥pq

前提引入⑦q⑤⑥析取三段論第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一15歸謬法（反證法）歸謬法(反證法)欲證前提：A1,A2,…,Ak

結(jié)論：B做法在前提中加入B，推出矛盾.理由

A1A2…AkB

(A1A2…Ak)B

(A1A2…AkB)

(A1A2…AkB)0

A1A2…AkB0第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一16歸謬法實(shí)例例4

前提：(pq)r,rs,s,p

結(jié)論：q證明用歸繆法①q

結(jié)論否定引入②rs

前提引入③s

前提引入④r②③拒取式⑤(pq)r

前提引入⑥(pq)④⑤析取三段論⑦pq⑥置換⑧p①⑦析取三段論⑨p

前提引入

pp⑧⑨合取第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一17第三章小結(jié)主要內(nèi)容推理的形式結(jié)構(gòu)判斷推理是否正確的方法真值表法等值演算法主析取范式法推理定律自然推理系統(tǒng)P構(gòu)造推理證明的方法直接證明法附加前提證明法歸謬法(反證法)第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一18基本要求理解并記住推理形式結(jié)構(gòu)的兩種形式：

1.(A1A2…Ak)B2.前提：A1,A2,…,Ak

結(jié)論：B熟練掌握判斷推理是否正確的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）牢記P系統(tǒng)中各條推理規(guī)則熟練掌握構(gòu)造證明的直接證明法、附加前提證明法和歸謬法會(huì)解決實(shí)際中的簡(jiǎn)單推理問(wèn)題第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一19練習(xí)1：判斷推理是否正確1.判斷下面推理是否正確:

(1)前提：pq,q

結(jié)論：p解推理的形式結(jié)構(gòu):(pq)qp方法一：等值演算法(pq)qp

((pq)q)p(pq)qp((pq)(qq))p

pq易知10是成假賦值，不是重言式，所以推理不正確.第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一20練習(xí)1解答方法二：主析取范式法，(pq)qp((pq)q)ppqM2m0m1m3未含m2,不是重言式,推理不正確.第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一21練習(xí)1解答方法三真值表法

不是重言式,推理不正確111001110100(pq)qpqppq0111(pq)q0010方法四直接觀察出10是成假賦值第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期一22練習(xí)1解答用等值演算法(qr)(pr)(qp)(qr)(pr)(qp)

((qr)(pr))(qp)

((qp)(qr)(rp))(qp)((qp)(qr)(rp))(qp)1推理正確(2)前提：qr,pr結(jié)論：q