第七章 二次型

第七章二次型第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四§1二次型與合同變換一.二次型的定義和矩陣表示

定義7.1n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數(shù)

?(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn.稱為一個n元二次型,簡稱二次型.當系數(shù)aij均為實數(shù)時稱為n元實二次型.以下僅討論實二次型.把2aijxixj寫成aijxixj+ajixjxi,其中aij=aji,則有?(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+

…+a2nx2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四或?qū)懗删仃嚦朔ㄐ问饺粲泟t有第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

定義7.2

?=xTAx稱為n元二次型?的矩陣表示式,實對稱矩陣A稱為二次型?的矩陣,

?稱為實對稱矩陣A的二次型.矩陣A的秩也稱為二次型?的秩.例如,二次型?=2x2+3y2-z2+4xy-6xz的矩陣為于是第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四反之,實對稱矩陣

定義7.3僅含平方項的二次型的二次型為?=x12+2x22–x32+4x1x2+2x1x3–2x2x3f=d1x12+d2x22+…+dnxn2稱為標準形.可見,標準形的矩陣為對角矩陣.若記x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,C=(cij)nn,則稱:x=Cy,即第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四為從x1,x2,…,xn到y(tǒng)1,y2,…,yn的線性變換.其中cij為線性變換的系數(shù),C稱為線性變換的系數(shù)矩陣.當C為可逆矩陣時,x=Cy稱為可逆線性變換,這時y=C-1x為x=Cy的逆變換,當C為正交矩陣時,x=Cy稱為正交變換.對n元二次型?=xTAx作變換x=Cy,則有

?=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy即,?成為y1,y2,…,yn的n元二次型,其矩陣為B=CTAC.第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

定理7.1線性變換下,二次型仍變?yōu)槎涡?可逆線性變換下,二次型的秩不變.二.方陣的合同變換經(jīng)可逆線性變換x=Cy,

f的矩陣A變?yōu)锽=CTAC.

定義7.4設A,B為同階方陣,如果存在可逆矩陣C,使得B=CTAC,則稱A與B是合同的,記為AB.對方陣A的運算CTAC,稱為對A的合同變換,并稱C為把A變?yōu)锽的合同變換矩陣.

矩陣的合同關(guān)系具有性質(zhì):(ⅰ)反身性:

AA;(ⅱ)對稱性:

若AB,則BA;(ⅲ)傳遞性:若AB,BC,則AC.實際上,R(B)=R(CTAC)R(A),R(A)=R(CT)-1BC-1)R(B),所以R(A)=R(B).第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣C可逆,記C=P1P2…Ps(P1,P2,…,Ps為初等方陣),則有:B=PsTPs-1T…P1TAP1P2…Ps.可見,若A與B是合同的,則A可經(jīng)過一系列初等行變換和完全相同的初等列變換變成矩陣B.所以,若A與B合同,則A與B等價,而且它們的秩相等.但是等價矩陣不一定是合同的.而且,合同矩陣不一定是相似的;相似矩陣也不一定是合同的.但正交相似的矩陣一定是合同的.進一步相似的實對稱矩陣一定是合同的.第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四§2用正交變換化二次型為標準形若使n元二次型化為標準形:只要可逆線性變換x=Py,

滿足=P-1AP.第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣A是實對稱矩陣,所以有:

定理7.2任意二次型?=xTAx都可經(jīng)正交變換x=Py化為標準形?=yTy,其中的對角線元素恰是A的特征值.可見,用正交變換化二次型為標準形與實對稱矩陣對角化的步驟幾乎是一致的.

例1用正交變換化二次型

?(x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3–4x2x3為標準形,并給出所用的正交變換.

解二次型的矩陣為第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

A的特征多項式為=(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2)所以,矩陣A的特征值為1=2=4,3=-2.由于于是,方程組(4E-A)x=0的一個基礎解系可取為:第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四又由于所以得屬于3=-2的單位特征向量故可取正交矩陣作正交變換:x=Qy,即第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四二次型?(x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3–4x2x3變?yōu)槿羧≌痪仃嘠=(1,3,2),作正交變換x=Qy,則有

?(x1,x2,x3)=4y12+4y22–2y32

?(x1,x2,x3)=4y12–

2y22+4y32若取正交矩陣Q=(3,1,2),作正交變換x=Qy,則有

?(x1,x2,x3)=–

2y12+4y22+4y32第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

可見,化二次型為標準形所用的正交變換以及標準形都不是唯一的.但是,正交變換對應的標準形中,各項系數(shù)恰是矩陣A的所有特征值,因此除順序外是唯一的.第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四§3正定二次型一.慣性定理與正定二次型雖然將二次型化為標準形可采用不同的變換,所化成的標準形也不唯一.但是,由于R(A)=R(),所以標準形中非零項數(shù)是唯一的,它等于二次型的秩,也等于二次型矩陣非零特征值的個數(shù)。同時,標準形中系數(shù)為正數(shù)的項的個數(shù)也是相同的。

?=1y12+2y22+…+ryr2(i0)則1,2,…,r中正數(shù)個數(shù)與1,2,…,r中正數(shù)個數(shù)相同.

定理7.3(慣性定理)設實二次型?=xTAx,其秩為r,在不同的可逆線性變換x=Cy和x=Dz下化為標準形

?=1z12+2z22+…+rzr2(i0)第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

定義7.5

?的標準形中的正系數(shù)的個數(shù)稱為?的正慣性指數(shù),負系數(shù)的個數(shù)稱為?的負慣性指數(shù).

定義7.6如果x0,都有?=xTAx>0(<0),則稱?是正定(負定)二次型,A稱為正定(負定)矩陣,記為A>0(A<0).二.正定二次型(正定矩陣)的判定

定理7.4n元實二次型?=xTAx為正定(負定)二次型的充分必要條件是?的正(負)慣性指數(shù)等于n.

推論n階實對稱矩陣A正定(負定)的充分必要條件是A的n個特征值都是正數(shù)(負數(shù)).第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四稱為矩陣A的第i個順序主子式.

定義7.7設A=(aij)nn,則行列式顯然,D1=a11,Dn=detA.

定理7.5n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的所有順序主子式都大于0.A負定的充分必要條件是A的所有奇數(shù)階順序主子式都小于0,偶數(shù)階順序主子式都大于0.第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

解(1)用特征值法

例2判斷下列二次型的正定性.(1)?(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3(2)?(x1,x2,x3)=-5x12-6x22-4x32+4x1x2+4x1x3二次型?(x1,x2,x3)的矩陣是:矩陣A的特征多項式為:第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四=(-2)[(-3)2-4]=(-1)(-2)(-5)所以,矩陣A的特征值是1=1,2=2,3=5.因此,二次型?(x1,x2,x3)是正定二次型.(2)用順序主子式法:二次型?(x1,x2,x3)的矩陣是:則矩陣A的各階順序主子式為:第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四D1=－5<0,所以,二次型?(x1,x2,x3)是負定二次型.=2(8－48)=－80<0第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四

解二次型的矩陣為

例3確定參數(shù)t使二次型

?(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2tx1x2－4tx2x3為正定二次型.由D1=1>0,D2=2-t2>0,D3=3(2-t2)+