第七講 數(shù)學證明與趣談

第七講數(shù)學證明與趣談第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四一、什么做證明二、證明的幾種理解三、無字證明四、證明趣事五、證明的小結(jié)第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四一、什么做證明?

《辭?！罚骸案鶕?jù)已知真實的判斷來確定某一判斷的真實性的思維形式?！?/p>

根據(jù)某個或某些真實的數(shù)學命題和概念，斷定另一數(shù)學命題的真實性的推理過程叫做數(shù)學證明。數(shù)學證明是指數(shù)學的邏輯證明，它是數(shù)學科學的一大特點。一個定理就是一個命題。一個數(shù)學證明從某種意義上是一組命題或一類命題。（哈代，李文林，一個數(shù)學家的辯白，江蘇教育出版社，1996，P66）第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學證明的組成任何證明都由論題、論據(jù)和論證三部分組成。論題——待證明的論題命題論據(jù)——用于證明的一論據(jù)系列判斷論證——把論題和論據(jù)聯(lián)系起來的一系列推理第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

說它容易，是因為一般書本，尤其是西方的著述，都公認數(shù)學證明始于公元前六世紀。據(jù)說當時的希臘數(shù)學家、哲學家泰勒斯(Thales)證明了幾條幾何定理，包括如直徑把圓平分、等腰三角形的底角相等、對頂角相等之類。到了公元前4世紀，歐幾里得寫成了不朽巨著《幾何原本》。他從一些基本定義與公理出發(fā)，以合乎邏輯的演繹手法推導出四百多條定理，從而奠定了數(shù)學證明的模式，成為后世宗師。蕭文強,數(shù)學證明,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第4頁第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

如果沒有嚴格的證明，則不能信服一事物是可能的還是不可能的。數(shù)學家曾證明了一系列可能的事和不可能的事。對于其它科學，如果也能像數(shù)學那樣嚴格地進行推理和證明，則必將最終發(fā)現(xiàn)許多看上去可能的事其實是不可能的。莫里茲，數(shù)學的本性，P118第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四二、證明的幾種理解數(shù)學的證明與科學的證明之間存在著深刻的差別．這種差別是理解自畢達哥拉斯以來每個數(shù)學家工作的關(guān)鍵。

經(jīng)典數(shù)學的證明方法是，從一系列公理、定義出發(fā)，通過邏輯論證，一步一步地得到某個結(jié)論．如果公理是正確的，邏輯又沒有缺陷，那么得到的結(jié)論將是不可否定的。這個結(jié)論就是一個定理。數(shù)學證明依靠這一邏輯過程，而且一個定理一經(jīng)證明就永遠是對的．

科學的證明依賴于觀察、實驗和理解力。而這兩者都是容易出錯的，從而它只能提供近似真理的概念．即使人們最為普遍地接受了的科學證明中也總存在著可疑的成分，而在另外—些場合，這種理論最終會被證明是錯的，這就導致科學上的革命。張順燕編著,數(shù)學的源與流（第二版）,2000年版,第527-529頁第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學證明與科學證明有著本質(zhì)的判別

在物理學中，—個假設被提出來，用以解釋某一類物理現(xiàn)象如果對物理現(xiàn)象的觀察與這個假設相符，就成為這個假設成立的證據(jù)。進而，這個假設不僅能描述已知的現(xiàn)象，而且能預見新的結(jié)果．如果它再次成功，那么就有更多的證據(jù)支持這個假設最終，證據(jù)的數(shù)量可能達到壓倒的程度，這個假設就作為一個理論而被接受．

數(shù)學證明與上不同，數(shù)學證明具有絕對的意義，是無可懷疑的。畢達哥拉斯公元前500年證明的定理，今天依然正確。數(shù)學不依賴于容易出錯的實驗證據(jù)，而是立足于邏輯。

張順燕編著,數(shù)學的源與流（第二版）,2000年版,第528頁

第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學的機械證明如幾何定理的機械證明，吳文俊、張景中等數(shù)學家做了大量工作，解決了等式型或不等型的機器證明。幾何的機器證明一般分三個步驟：1．從幾何公理系統(tǒng)出發(fā)，引進坐標系統(tǒng)，使任意幾何定理的證明問題成為純代數(shù)問題(幾何的代數(shù)化與坐標化)。2．整理幾何定理假設部分的代數(shù)關(guān)系式，依照確定步驟，驗證終結(jié)部分的代數(shù)關(guān)系式是否可以從假設部分的代數(shù)關(guān)系式推出(幾何的機械化)。3．依據(jù)第二步中確定步驟編成程序，在計算機上實施，以得出定理是否成立的最后結(jié)論。即公理化一代數(shù)化一坐標化一機械化。丁石孫數(shù)學與教育，湖南教育出版社1998年04月第2版P112第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四三、無字證明第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四中學數(shù)學雜志

1992（8）第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四中學數(shù)學教與學

，1992（4）

第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四婆什迦羅用圖去解釋勾股定理如魏晉人趙爽注《周髀算經(jīng)》弦圖一樣最后寫一句“看呀！”便不再說什么了。蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第13頁第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四幾千年的數(shù)學史表明，直觀的、物理的方式早于形式演繹方式。正如美國數(shù)學史家克萊因所說的：

很久以前數(shù)學家就知道直覺的可靠性要勝過邏輯的可靠性。

數(shù)學命題的直觀證明就是使用知覺來確認論據(jù)的正確性與真實性，易于與人的經(jīng)驗相結(jié)合，所需的數(shù)學基礎知識較少。第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四案例1

不單在文獻上有這樣的記載，甚至“演示”(demonstrate)這個詞的希臘文，在歐幾里得的時代雖解釋為證明，在公元前6世紀的時候，卻有視覺、觀察的意思。

在歐幾里得的《原本》里，每條定理證畢都寫上“這就是要證明的”，后來變成拉丁文的QuodEratDemonstrandum，簡寫作Q．E．D．香港不少中學生習慣戲稱此謂英文“相當容易做”(QuiteEasilyDone)的縮與!。最后那個字，便是視覺、觀察的證明遺留下來的痕跡了。蕭文強,《數(shù)學證明》,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第6頁四、證明趣事第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四案例2“驢橋在此，愚者莫過”

原來歐幾里得的《幾何原本》是牛津大學的教科書，這個書第一篇中給出36個定義，再給出5個公設和5個公理，接著敘述了48個命題(定理)．其中命題五就是所謂“驢橋”問題：等腰三角形底角必相等。這個定理現(xiàn)在證法很簡單；引頂角的平分線是在后面才提到。于是，歐兒里德只能用前面的四個命題來證明，因此是長長一大篇，絕大部分學生到此就看不懂了，因此命題五就成為“笨蛋的難關(guān)”。

李小軍“數(shù)學與數(shù)學家趣事”第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四郭彬彩，王慶東，侯海軍，數(shù)學史與數(shù)學家，西安地圖出版社,2002.07，P52第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四案例3

70年代初，美國的東方民航公司登了一則廣告，大字標題是“咖啡、茶、還是飛機？”頗吸引人，廣告效果好：“如果我們在短程航機上供應飲品，便不能讓你如上公共汽車一樣隨來隨上飛機了?！苯又C明：“如果我們在短程航機上供應飲品，服務員便沒有時間在飛機上賣票；服務員沒有時間在飛機上實票，乘客便須預購機票；乘客預購機票，我們便不用設置候用飛機；我們不用設置候用飛機，便不能保證乘客隨來隨有機位；如果不能有這項保證，也就沒資格叫做穿梭服務了！”風趣地說明了一個證明怎樣把前提與一個并不明顯的結(jié)論連起來。蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第9頁第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

美國數(shù)學家科爾（F.N.Cole）在1903年10月作了一個無言的報告。他在黑板上寫下兩個式：267—1，193707721×761838257287。換句話說，他證明了267—1不是一個素數(shù)。據(jù)說整個過程他一言不發(fā)，待他放下手中粉筆時，全場響起熱烈的掌聲。后來別人問他這花去多少時間，他說整個三年的日日夜夜。

蕭文強,數(shù)學證明,1990年版,第43頁案例4第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

狗猛酒酸宋國有個賣酒的人，買賣公道，待客恭敬，釀酒醇美，酒簾醒目，但酒賣不出去，都變酸了。后來有位長者對店主說：“是你的狗太兇猛啦！”原來，人家都怕店主的狗。有的人家讓小孩子來打酒，那只狗迎上去就咬人，誰還敢來呢?蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第1頁案例5第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

古希臘數(shù)學家歐幾里得(Euclid)(公元前300年)，在《幾何原本》中有了關(guān)于素數(shù)的命題：素數(shù)的個數(shù)有無窮個，即“若有n個素數(shù)，必有n+1個素數(shù)。

證明：假設P是一個最大的素數(shù)。令n為所有小于或等于P的素數(shù)的乘積。則n+1很明顯不能被任何小于或等于P的素數(shù)整除，因此只有兩種可能：

(1)n+1是一個大于P的素數(shù)

(2)n+1的質(zhì)因子都大于P

不論是(1)或(2)的情況都會得到大于P的素數(shù)。案例6第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四棘刺母猴燕王供養(yǎng)了一位自稱能在棘刺尖上雕母猴的衛(wèi)國人，并想看他表演。誰料這客人只顧吃喝玩樂，還說若國王要看棘刺母猴，必須半年不進后宮，不喝酒，不吃肉，而且要待至雨停日出，似明似暗的一剎那才能看到。燕王拿他沒法，只好一直供養(yǎng)他。后來有位鐵匠對燕王說：我是打刀的，我知道刻東西需用小刀，而且刻的東西一定要比刀刃大方行。如果棘刺尖兒容納不下刀刃，就不能在上面雕刻了。請國王瞧瞧客人的刻刀，不就知道他有沒有說謊嗎?于是國王問客人取刻刀看，客人藉辭回家取刀趁機溜走了！蕭文強,數(shù)學證明,1990年07月第1版,第1頁案例7第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四對于反證法，英國近代數(shù)學家哈代說得好：歐幾里得很喜歡采用歸謬法(即反證法)。這是數(shù)學家最有力的一件武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法還要高明。象棋弈者不過犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學家則索性把全局拱手讓子對方！歐陽鋒,數(shù)學的藝術(shù),1997年版,第181頁第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

柏拉圖在《理想園》的一段話，這是很可信的：你一定曉得，研究幾何、算術(shù)或類似科學的人，以奇數(shù)、偶數(shù)、圖形、三種角及這一類東西作為基礎。這是他們的研究的出發(fā)點，他們不認為有需要對這些再加任何說明，這是開始的原理。如，

公元前6世紀畢達哥拉斯學派關(guān)于圖形數(shù)的一些定理，看來是憑形象觀察去證明的。他們常把數(shù)描繪成小石于，按小石子能排列成的形狀把數(shù)分類。例如，l、4、9、16，…叫做正方形數(shù)；1、3、6、10、…叫做三角形數(shù)蕭文強,數(shù)學證明,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第5頁第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四把這四個這樣的三角形合成一矩形，再重新拼湊尋20塊小片，得到另一矩形，兩矩形的面積相等，一個是2ab，另一個是2r(a+b+c).故2ab=2r(a+b+c)即2r=2ab/(a+b+c).第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第25頁第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第27—28頁誰能保證證明沒有錯誤呢？如湯普遜一菲特定理為例，有多少人能透徹讀通那255頁？所謂透徹，是指連文章里引用到的定理也全部核實。這番功夫是很費勁的，而且要十分仔細，任何細節(jié)都不能放過或者借別人之手去驗證。即使真的有這樣的人，怎能肯定任何錯誤都逃不過他的銳利目光呢?

第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四據(jù)說，波蘭數(shù)學家史坦因豪斯的學生，根據(jù)希爾伯特《幾何基礎》公理的形式化，把勾股定理的證明幾乎寫了89頁，這只不過是一條定理的證明而巳。

最著名的是羅素與懷特海1910一1913年出版的三卷巨著《數(shù)學原理》，根據(jù)公理化方法，花了三百多頁的篇幅才證明了1+1＝2。有人認為這是最不可讀的杰作。軍蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第29頁第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四使用計算機檢驗全部可能情況得出結(jié)論的證明，也沒有使我們增添理解。計算機證明令我不滿意并非是它有沒有核實該命題，正如用人手花幾個月檢驗幾百頁的證明一樣，而是通過證明并沒有使我獲得理解。固然，這引起證明還有另一項功用，就是導致發(fā)現(xiàn)，其實這也是理解了問題后的收獲。

計算機的興起，有些證明運用了計算機去驗算四色問題的計算機證明，爭論頗大，算不算是數(shù)學證明?誰能確定計算機不會出錯。若證明出錯，那是計算機本身的毛病，還是該證明本身的紕漏？

蕭文強,數(shù)學證明,1990年版,第43頁第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四哈代說：我相信素數(shù)定理是因為瓦萊—普桑對它的證明，但我并不認為《數(shù)學原理》中的證明而相信2+2=4。對任何數(shù)學家來說，不言而喻的是一個結(jié)論的明顯性并不影響到證明它的有趣性。賀賢孝P109第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

通常的證明，如數(shù)學家哈代說的“指指點點”，并不是形式化的純邏輯推導。哈代的《數(shù)學證明》：嚴格來說，沒有所謂證明這個東西，歸根結(jié)底，我們只能指指點點。我與李特爾伍德把證明管叫“氣體”，它只是修辭雄辯，用以加強心理感受；它只是講課中在黑板上畫的圖畫，用以激發(fā)學生的想像力。蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第29頁第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四“指指點點”，自然涉及人的因素。講解證明的是人，理解證明的也是人。通常的數(shù)學證明其實是一項社會活動，難怪蘇聯(lián)數(shù)學家曼寧說：

一個證明只當它通過‘被接納為證明’這項社會行為后，它才算是證明。集合論創(chuàng)立人德國數(shù)學家康托發(fā)現(xiàn)一個驚人結(jié)果，1874年寫信給數(shù)學家戴德金，能把正方形上的點與線段上的點一一對應起來。他認為雖然大家都傾向于相信那是不可能的，要真正決定對或錯卻并不容易。過了三年多，他找到了答案，但不是如想像中的那樣，反而他證明了正方形上的點與它的一條邊上的點有一一對應的關(guān)系。在這個意義上，正方形與它的一條邊有同樣多的點。康托把這個發(fā)現(xiàn)及證明告訴了戴德金。并對戴德金說：除非我從你這位老朋友口中得悉證明是對或錯，否則我的心情難以平靜下來。在你未曾證實這回事之前，我只能說，我看到，但我不相信！蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第30-31頁第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

上世紀70年代后期，有兩組數(shù)學家同時計算數(shù)學中拓撲空間的同倫群。有趣的是兩組入得到了不同的答案!一組數(shù)學家在美國另一組數(shù)學家在日本為求真相他們交換筆記詳加審查，每組各自聚精會神尋找對方的紕漏。結(jié)果都找不到對方證明的錯誤，但顯然至少有一個證明是不對的。后來，第三組數(shù)學家發(fā)表了與美國組相符的答案，于是美國組暫時占了上風。這說明所謂證明，有人的因素，這方面占有重要地位。蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第28頁第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

命題：任何三角形皆等腰！證明：設△ABC是任一三角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點O，從O作垂線OE，OF，分別垂直于AB，AC，連OB和OC。則△AOE與△AOF全等，△ODB與△ODC，△OBE與△OCF全等。若DO與AO相交于三角形內(nèi)，如圖1，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC，若DO與AO相交于三角形外，如圖2，便有AB=A－EBE=AF－CF=AC。無論哪種情況，三角形都是等腰三角形。證畢。

這錯在什么地方？蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第15頁第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四命題：任何三角形皆等腰！

設△ABC是任一三角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點O，第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四阿貝爾對近三百年還沒有解決的五次多項式方程根式求解的問題進行研究。1821年，他以為找到了五次方程的解的公式，他的老師也找不出證明中的任何紕漏，求助當時水平較高的丹麥數(shù)學家狄根，他也找不出紕漏，但憑經(jīng)驗他覺得應審慎處理這個困惑了三百年的難題。他回信說：阿貝爾年紀尚輕，他沒有達到解決這個問題的目標，但我們?nèi)猿姓J他是稀有的天賦奇才。我并非想阻撓他向科學院提出論文，但希望他舉一個實例加以演算，以資證明，這是必要的試金石。阿貝爾聽從勸告，通過實例找到了證明中的謬誤。過了三年，阿貝爾得出了完全相反的結(jié)論：五次或更高次的方程一般不能以根式求解。蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第31頁第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四阿貝爾由于沒錢印刷，只好把內(nèi)容濃縮為六頁，于是文章艱澀難懂，加上印得亂七八糟，令人看不上。把文章寄給了巴黎科學院數(shù)學家柯西與勒讓德。勒讓德年事已高，轉(zhuǎn)給柯西。柯西忙于自己的研究，看也不看扔在一旁。德國數(shù)學家雅可比恰巧也研究同一課題，他在別處看到阿貝爾的文章，十分欽佩，同時他知道阿貝爾論文早交巴黎科學院，但杳無音信。便寫信給勒讓德，憤怒地說：如此偉大的發(fā)現(xiàn)，甚至可能是本世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)，阿貝爾先生兩年前巳向貴院提出，何以閣下與同僚對此不聞不問？他要求科學院拿出原稿?？挛髡一卦?，勒讓德讀后驚呼：他真的找到了我長期想要解決的問題的答案，他已經(jīng)做出了世界上最困難的發(fā)現(xiàn)，他已經(jīng)找到我40年來想尋找的答案！

蕭文強,數(shù)學證明,1990年07月第1版,第32頁第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四法國大思想家盧梭描述，當我第一次通過計算發(fā)現(xiàn)：一個二項式的平方等于它的各項的平方和加上這兩項之積的倍，根本不相信這一結(jié)果，直到我找到了一個能驗證它的幾何圖形，情況才發(fā)生了根本變化我最喜歡把代數(shù)看做一種純抽象的量，但當我們果真擴大它的應用范圍時，我又喜歡看到這種擴展在線條上進行，否則我就什么也不能理解。第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四德國物理學家馬赫巧妙地使用一根鐵絲證明了多邊形內(nèi)角和定理，一時傳為佳話。第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四巧布直觀背景:

O是正方形的中心，以AB為斜邊向正方形外任作一個直角三角形ABE，聯(lián)結(jié)OE，那么，不論E在什么位置上，總有角AEO=450，你相信嗎？等價地說，以AB為直徑向正方形外作半圓，則圓周上任一點E（與A不重合）對A，O兩點所張的視角總是450，你不覺得這是很怪的事嗎？！取三個與三角形ABE相同的三角形與正方形ABCD另三邊拼接成正方形。那么，一目了然。賀賢孝P7，8第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四希臘數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》第四卷中介紹了一個勾股定理的推廣命題：設三角形ABC是一任意三角形，以AB，AC為邊任意作兩個平行四邊形ABB1A1，ACC1A2。點M是B1A1與C1A2的交點，連AM，作BB2平行且等于AM，BB2、BC為邊作平行四邊形BCC2B2，則其面積等于平行四邊形ABB1A1，ACC1A2的面積之和。

如圖加上陰影線，則帕普斯的結(jié)果躍然紙上。第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四笛卡兒在《思維的指導法則》一書中所評價的用幾何圖形去表達這類事情是極為有利的，因為沒有什么東西比幾何圖形更容易進入人們的思維。

數(shù)學家柯爾莫哥洛夫也指出：在只要有可能的地方，數(shù)學家總是力求把他們研究的問題盡量地變成可借用幾何直觀的問題……幾何想像，或如同平常人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有數(shù)學分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作有著重大的意義?！辟R賢孝P12第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四法國數(shù)學家羅增儒，數(shù)學的領悟，河南科學技術(shù)出版社,1997P94-95第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四吳振奎，吳彬，異曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四吳振奎，吳彬，異曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38正方體面涂色第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

劉徽析理以辭，解體用圖。長期探索九章算術(shù)的奧秘，領悟其中道理，這不是推理又是什么呢?

析理以辭——邏輯推理解體用圖——直觀推理兩者并用，即能獲致簡潔清晰而又嚴密完整的證明了．蕭文強,《數(shù)學證明》,1990年07月第1版,第11頁第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四羅增儒，數(shù)學的領悟，河南科學技術(shù)出版社,1997第六十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四近代著名的德國數(shù)學家魏爾說得好：“邏輯是數(shù)學家為保持思想強健而遵守的衛(wèi)生規(guī)則。蕭文強,數(shù)學證明,1990年07月第1版,第41頁所謂數(shù)學證明就是依照循守公認章法，去核實直覺是否導致正確答案的活動。我們不能否認證明的重要，但也不要把它強調(diào)為數(shù)學家的唯一活動。

蕭文強,數(shù)學證明,1990年07月第1版,第41頁五、小結(jié)：第六十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四戴維斯(P．J.Davis)和赫什(R·Hersh)說得好：

在最好的情況下，證明通過揭示事物的核心而增強理解．證明提供新的數(shù)學．初學證明的人變得更加接近于新數(shù)學的創(chuàng)造．證明是數(shù)學的力量，是這門學科用來賦予定理的靜態(tài)斷言以活力的電壓．戴再平.數(shù)學方法與解題研究.高等教育出版社,1996年04月第1版.P71第六十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四法國數(shù)學家勒貝格說道：每當碰到有新發(fā)現(xiàn)，便需要引進邏輯作為控制，只有憑邏輯才能最終決定這發(fā)現(xiàn)是正確的，還是僅為幻象而已。因此，邏輯的作用雖重要，畢竟是次要吧。德國數(shù)學家克萊因：在某種意義上說，數(shù)學的進展主要歸功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴謹證明著稱的人。