第7章恒定電流磁場72定理

7.2

畢奧－薩伐爾定律1oo=

4π

·10-7

(N/A2

)e

c2m

=μ0稱為真空磁導(dǎo)率,在國際單位制中:電流元Idl

在空間P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場dB

的大小為：r

2mo

Idl

sinqdB

=4πIIdldBqrP*IdlrdB4π1odB

=m

Idl

·

r

r3一、畢奧－薩伐爾定律34π

ro任意載流導(dǎo)線在p點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

m

Idl

·

rB

=

dB

=

上式也稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加原理。畢奧－薩伐爾定律不能由實(shí)驗(yàn)直接證明,

然而由這個(gè)定律出發(fā)得到的結(jié)果都很好的和實(shí)驗(yàn)相符合。IIdldBqrP*IdlrdB2二、畢奧－薩伐爾定律的應(yīng)用IaIdlrqdB4p解

dB

=

m0例1求距離載流直導(dǎo)線為a處一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度。aIdl

sin

qr

2=

a

cscqsin(

π

-q)r

=dl

=

a

csc2

qdql

=

a

cot

p-q)=

-a

cotq1qq2Pl3q2q1sin

q

dq

0

4pam

IB

=(1)

無限長直導(dǎo)線

q1

fi

0

q2

fi

p2paB

=

m0

I方向：右螺旋法則(2)

任意形狀直導(dǎo)線PaI12BIBq1q24paB

=

B1

+

B2

=

0

+0m

Ir21

2q

fi

π

q

fi

π討論2410(cosq-

cosq

)4pam

IB

=x例2求軸線上一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度。Idl4p

r24p

r

2dB

=

0

sin

90

=

0

m

Idl

m

IdldB^根據(jù)對稱性

B

=

0

xB

=02

2

3/

22(R

+

x

)m

IR2方向滿足右手定則。rPx2m0Idl

cosq4p

rdB

=

dB

cosq

=4pr=

2

cosq

dl

=m0

IdBqRqOIBI52(R2

+

x2

)3

/

2B=

0

m

IR2B?

0

m

IR2

=

0

p

m

IS討論(1)

x

>>

R62x3

p

2px3S

=

πR

2(2)

x

=0載流圓線圈的圓心處2RB

=

m0

I(3)

一段圓弧在圓心處產(chǎn)生的磁場B

=

m0

I4pRj

=

m0

Ij2R

2pN

匝圓線圈2RB

=

m0

(NI

)jI72

Pm

=

IπR

n定義磁矩：

也可寫成：

Pm

=

IS磁矩的大小為Pm=IS,方向由右手螺旋定則給出。磁矩PmSR8ImP在靜電場中討論過電偶極子,并引入電矩

Pe

，在磁場中可以類似的引入磁矩

Pm

。pm只有當(dāng)圓形電流的面積S

很小,

或場點(diǎn)距圓電流很

遠(yuǎn)時(shí),

才能把圓電流叫做磁偶極子。ISneISenpmpm

=

ISen磁矩圓電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以寫成：2π

y392πy3m

P

mo

Pm

=

0

m

nB

=2103(cosq-

cosq

)4pRm

IB

=IOR123=

m0

I4pRB

=

B1

+

B2

+

B3q1

=

p

2q2

=

p例3如圖，求O

點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解

B1

=

0024pR

2B

=m

I8R3p

=

3m0

I10xrORb1b2bxdxR

2

nIdx112

(R

2

+

x

2

)3

2dB

=

0

m例4

載流螺線管軸線上的磁場螺線管半徑為R導(dǎo)線中電流為I單位長度線圈匝數(shù)n在螺線管上的x

處截取一小段d

I

=

In

d

x2

2 3

2

0

x2x12

(R

+

x

)R

2

nIdxB

=

dB

=

mx

=

Rcotbdx

=

-R

csc2

b

db22bb1m0

nI

sin

bdbB

=

-20

2

1=

1

m

nI(cos

b

-

cos

b

)xrORb1b2bx12dxBxo（1）無限長螺線管b1

=

π

b2

=

0B

=

m0

nI(1202cos

b

-

cos

b

)m

nIB

=討論（2）半無限長載流螺線管b1

fi

p

2b2

fi

00B

=

m

nI

/

2b113·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·ISdl三、運(yùn)動(dòng)電荷的磁場導(dǎo)體中的電流所激發(fā)的磁場,實(shí)際上是由大量定向運(yùn)動(dòng)的電荷所激發(fā)的,這已為實(shí)驗(yàn)直接證明。以電荷為q、速度為v的正電荷作研究對象,在電流元中，單位時(shí)間通過S的電流:I

=

jS

=

nqvS14j

=nqv

—電流密度的大小。0o4π

4πr3

r3=dB

=

m

Idl

·

r

m

nSdlqv

·

rj

Sdl=

nS

dlq

v電流元：

Idl

=在

Idl

導(dǎo)線中載流子數(shù)

dN

=

nSdl

,所以一個(gè)載流子產(chǎn)生的磁場：dN

nSdl15dB

dB=B

=r3nSdl

r3

4πdN

4πoo=B

=

dB

=m

nqvSdl

·

r

m

qv

·

r一個(gè)以速度v

運(yùn)動(dòng)的電荷,在距它r處所激勵(lì)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：4

π0

r3B

=m

qv

·

r運(yùn)動(dòng)電荷的磁場正運(yùn)動(dòng)電荷的磁場負(fù)運(yùn)動(dòng)電荷的磁場q

+rqv×Br

qvB-

q16例5一長為l帶電量為q的均勻帶電細(xì)棒以速度v沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)其與y軸重合時(shí),棒的下端與原點(diǎn)的距離為a。求此時(shí)原點(diǎn)O處的磁場。4pdB=

0

m

dq

v

sin

902a

0

4p

lyB=a+ly2qvdy=

m0qv

(

1

-

1

)4pl

a a

+

lml解

dq

=

q

dyvdyylxOa17y?例6

半徑為R

的帶電薄圓盤的電荷面密度為

σ,并以角速度ω繞通過盤心垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。wR18os2

πdI

=

w

s

2

π

rdr

=

swrdrdB

=

m0dI

=

m0sw

dr2r

2Bs

>

0,

向外2

2000Rm

sw

m

sw

Rdr

=B

=s

<

0,