均值-方差模型金融經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論,對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)

第三章證券投資組合理論——馬科維茲的均值－方差模型6/21/20231教學(xué)目的及要求

1、了解當(dāng)效用函數(shù)是二次函數(shù)或者資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布是，均值－方差可以完全用于刻畫(huà)個(gè)體的偏好。2、掌握均值－方差模型描述的構(gòu)建最優(yōu)投資組合的技術(shù)路徑的規(guī)范數(shù)理模型3、掌握證券投資組合的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的內(nèi)涵及與市場(chǎng)收益的關(guān)系

重點(diǎn)內(nèi)容

掌握馬科維茲投資組合理論的假設(shè)條件的合理性及選擇最優(yōu)投資組合的數(shù)理方法，及其中蘊(yùn)涵的多元化投資、風(fēng)險(xiǎn)、收益間關(guān)系。6/21/20232第一節(jié)馬科維茲投資組合理論的假設(shè)和主要內(nèi)容第二節(jié)證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的度量——均值、方差及協(xié)方差投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)與第三節(jié)證券投資組合的可行集、有效集與最優(yōu)投資組合第四節(jié)兩基金分離定理——投資組合構(gòu)建的指數(shù)策略6/21/20233第一節(jié)馬科維茲投資組合理論的假設(shè)條件和主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二、假設(shè)條件三、二次效用函數(shù)和市場(chǎng)的資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布6/21/20234馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》有著棕黃色頭發(fā)，高大身材，總是以溫和眼神凝視他人，說(shuō)話細(xì)聲細(xì)語(yǔ)并露出淺笑。6/21/20235一、主要內(nèi)容金融決策的核心問(wèn)題是什么？不確定條件下收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡

tradeoffbetweenriskandreturn6/21/20236研究不確定性經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的幾種（數(shù)理方法）：效用函數(shù)分析法缺乏實(shí)際的可操作性，因?yàn)橥耆坍?huà)一個(gè)人在所有狀態(tài)下的效用是幾乎不可能的均值——方差分析法避免討論具體的效用函數(shù)，靈活且操作性強(qiáng)。3、一般均衡分析法——但不是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的典型方法4、套利分析法——方法論的里程碑6/21/20237瑞典皇家科學(xué)院決定將1990年諾貝爾獎(jiǎng)授予紐約大學(xué)哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的先驅(qū)工作—資產(chǎn)組合選擇理論。6/21/20238發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳述的可操作的選擇資產(chǎn)組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.這個(gè)理論演變成進(jìn)一步研究金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ).這一理論通常被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)端.這一理論的問(wèn)世，使金融學(xué)開(kāi)始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經(jīng)驗(yàn)操作的狀態(tài),標(biāo)志著數(shù)量化方法進(jìn)入金融領(lǐng)域。

馬科維茨的工作所開(kāi)始的數(shù)量化分析和MM理論中的無(wú)套利均衡思想相結(jié)合,醞釀了一系列金融學(xué)理論的重大突破。

主要貢獻(xiàn)6/21/20239投資組合理論的基本思想：投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的tradeoff問(wèn)題，此外投資組合通過(guò)分散化的投資來(lái)對(duì)沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”6/21/202310馬科維茲模型概要馬科維茲于1952年提出的“均值－方差組合模型”是在禁止融券和沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個(gè)別股票收益率的均值和方差找出投資組合的有效邊界(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效邊界上選擇投資組合。根據(jù)馬科維茲資產(chǎn)組合的概念，欲使投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，除了多樣化投資于不同的股票之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低的股票。因此，馬科維茲的“均值－方差組合模型”不只隱含將資金分散投資于不同種類(lèi)的股票，還隱含應(yīng)將資金投資于不同產(chǎn)業(yè)的股票。同時(shí)馬科維茲均值－方差模型也是提供確定有效邊界的技術(shù)路徑的一個(gè)規(guī)范性數(shù)理模型。

6/21/202311實(shí)現(xiàn)方法：收益——證券組合的期望報(bào)酬風(fēng)險(xiǎn)——證券組合的方差風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃

6/21/202312首先，投資組合的兩個(gè)相關(guān)特征是：（1）它的期望回報(bào)率（2）可能的回報(bào)率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望回報(bào)最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報(bào)率水平上的使風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合。6/21/202313再次，通過(guò)對(duì)某種證券的期望回報(bào)率、回報(bào)率的方差和某一證券與其它證券之間回報(bào)率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類(lèi)信息的適當(dāng)分析，辨識(shí)出有效投資組合在理論上是可行的。最后，通過(guò)求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計(jì)算結(jié)果指明各種證券在投資者的資金中占多大份額，以便實(shí)現(xiàn)投資組合的效性——即對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。6/21/202314一些需準(zhǔn)備的概念1.證券投資組合的選擇狹義的定義：是指如何構(gòu)筑各種有價(jià)證券的頭寸（包括多頭和空頭）來(lái)最好地符合投資者的收益和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡。廣義的定義：包括對(duì)所有資產(chǎn)和負(fù)債的構(gòu)成做出決策，甚至包括人力資本（如教育和培訓(xùn)）的投資在內(nèi)。我們的討論限于狹義的含義。

6/21/202315盡管存在一些對(duì)理性的投資者來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)遵循的一般性規(guī)律，但在金融市場(chǎng)中，并不存在一種對(duì)所有投資者來(lái)說(shuō)都是最佳的投資組合或投資組合的選擇策略，原因如下：

投資者的具體情況投資周期的影響對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度投資組合的種類(lèi)6/21/2023162.投資者的無(wú)差異曲線在不同的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)中，投資者之所以選擇不同的投資組合，是因?yàn)樗麄儗?duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度和對(duì)收益的偏好程度是不同的。對(duì)一個(gè)特定的投資者而言，任意給定一個(gè)證券組合，根據(jù)他對(duì)期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)的偏好態(tài)度，按照期望收益率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊?，可以得到一系列滿意程度相同的（無(wú)差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱(chēng)為該投資者的一條無(wú)差異曲線。

6/21/202317同一條無(wú)差異曲線上的組合滿意程度相同；無(wú)差異曲線位置越高，該曲線上的組合的滿意程度越高。無(wú)差異曲線滿足下列特征：(1)無(wú)差異曲線向右上方傾斜。

(2)無(wú)差異曲線是下凸的。

(3)同一投資者有無(wú)數(shù)條無(wú)差異曲線。

(4)同一投資者在同一時(shí)間、同一時(shí)點(diǎn)的任何兩條無(wú)差異曲線都不相交。

6/21/202318二、假設(shè)

投資者將一筆資金在給定時(shí)期(持有期)里進(jìn)行投資,在期初,他購(gòu)買(mǎi)一些證券,然后在期末全部賣(mài)出,那么在期初他將決定購(gòu)買(mǎi)哪些證券,資金在這些證券上如何分配？投資者的選擇應(yīng)該實(shí)現(xiàn)兩個(gè)相互制約的目標(biāo)——預(yù)期收益率最大化和收益率不確定性（風(fēng)險(xiǎn)）的最小化之間的某種平衡。

6/21/202319馬科維茲投資組合理論的假設(shè)為：1.單期投資

單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報(bào)。單期模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種近似描述，如對(duì)零息債券、歐式期權(quán)等的投資。雖然許多問(wèn)題不是單期模型，但作為一種簡(jiǎn)化，對(duì)單期模型的分析成為我們對(duì)多時(shí)期模型分析的基礎(chǔ)。2.投資者事先知道投資收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

6/21/2023203.資者的效用函數(shù)是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。（注意：假設(shè)2和3成立可保證期望效用僅僅是財(cái)富期望和方差的函數(shù)）4.投資者以期望收益率（亦稱(chēng)收益率均值）來(lái)衡量未來(lái)實(shí)際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)衡量收益率的不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），因而投資者在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差。5.投資者都是不知足的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。

6/21/202321四、二次效用函數(shù)和市場(chǎng)的資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布M-V模型以資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差作為選擇對(duì)象，但是一般而言，資產(chǎn)回報(bào)和方差不能完全包含個(gè)體做選擇時(shí)的所有個(gè)人期望效用函數(shù)信息。在什么條件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？6/21/202322假設(shè)2或假設(shè)3之一成立可保證期望效用僅僅是財(cái)富期望和方差的函數(shù)假設(shè)個(gè)體的初始財(cái)富為W0,個(gè)體通過(guò)投資各種金融資產(chǎn)來(lái)最大化他的期末財(cái)富.設(shè)個(gè)體的VNM效用函數(shù)為u,在期末財(cái)富的期望值這點(diǎn)，對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行Taylor展開(kāi)6/21/202323上式說(shuō)明個(gè)體偏好不僅依賴(lài)于財(cái)富的均值與方差，還依賴(lài)于財(cái)富的高階矩。但是，如果財(cái)富的高階矩為0或者財(cái)富的高階矩可用財(cái)富的期望和方差來(lái)表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。6/21/202324定理1如果則期望效用僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)定理2如果期望財(cái)富服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。6/21/202325二次效用函數(shù)的假設(shè)和正態(tài)分布的假設(shè)不符合實(shí)際的消費(fèi)者投資情況。

因?yàn)槎魏瘮?shù)具有遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和滿足性兩個(gè)性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點(diǎn)以上，財(cái)富的增加使效用減少，遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多的財(cái)富和將風(fēng)險(xiǎn)視為正常商品的投資者不符。此外，正態(tài)分布的中心軸對(duì)稱(chēng)與一般股票的有限責(zé)任不一致。6/21/202326注4均值-方差模型不是一個(gè)資產(chǎn)選擇的一般性模型。它在金融理論中之所以扮演重要的角色，是因?yàn)樗哂袛?shù)理分析的簡(jiǎn)易性和豐富的實(shí)證檢驗(yàn)。6/21/202327第二節(jié)證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的度量及證券組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)一、價(jià)格與回報(bào)率二、期望收益率三、方差四、協(xié)方差五、相關(guān)系數(shù)六、證券組合的方差、協(xié)方差和風(fēng)險(xiǎn)的分散化6/21/202328一個(gè)資產(chǎn)組合預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)的案例A公司的股票價(jià)值對(duì)糖的價(jià)格很敏感。多年以來(lái)，當(dāng)加勒比海糖的產(chǎn)量下降時(shí)，糖的價(jià)格便猛漲，而A公司便會(huì)遭受巨大的損失，見(jiàn)下表6/21/202329假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產(chǎn)，一種是持有A公司的股票，一種是購(gòu)買(mǎi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，還有一種是持有糖凱恩公司的股票?，F(xiàn)已知投資者持有0.5的A公司的股票，另外的0.5該進(jìn)行如何選擇。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為5%。糖凱恩公司的收益率變化如下表6/21/202330糖凱恩公司的股票情況分析6/21/202331資產(chǎn)組合預(yù)期收益標(biāo)準(zhǔn)差全部投資在于A公司股票10.5%18.90一般投資于國(guó)庫(kù)券7.75%9.45%一半投資于糖凱恩公司股票8.25%4.83％6/21/202332案例小結(jié)：協(xié)方差對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響：正的協(xié)方差提高了資產(chǎn)組合的方差，而負(fù)的協(xié)方差降低了資產(chǎn)組合的方差，它穩(wěn)定資產(chǎn)組合的收益管理風(fēng)險(xiǎn)的辦法：套期保值——購(gòu)買(mǎi)和現(xiàn)有資產(chǎn)負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)，這種負(fù)相關(guān)使得套期保值的資產(chǎn)具有降低風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)。在資產(chǎn)組合中加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種簡(jiǎn)單的風(fēng)險(xiǎn)管理策略，套期保值策略是取代這種策略的強(qiáng)有力的方法。6/21/202333作業(yè)：假設(shè)以上案例中糖凱恩公司的可能收益有上述變化，請(qǐng)計(jì)算以下結(jié)果，并比較該結(jié)果與以上案例結(jié)果，由此做一個(gè)簡(jiǎn)單分析1、如果Humanex資產(chǎn)組合仍是一半貝斯特股票，一半糖凱恩股票，這個(gè)組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差是多少，2、兩個(gè)股票收益的協(xié)方差是多少3、用第四個(gè)概念的方式計(jì)算該組合的標(biāo)準(zhǔn)差是多少6/21/202334一、價(jià)格與回報(bào)率

對(duì)于單期投資而言，假設(shè)你在時(shí)間0（今天）以價(jià)格S0購(gòu)買(mǎi)一種資產(chǎn)，在時(shí)間1（明天）賣(mài)出這種資產(chǎn)，得到收益S1。那么，你的投資回報(bào)率為r=(S1-S0)/S0。對(duì)于證券組合而言，它的回報(bào)率可以用同樣的方法計(jì)算：這里，W0記t=0時(shí)包含在組合中的證券的綜合價(jià)格，W1是t=1時(shí)這些證券的綜合價(jià)格，以及t=0與t=1之間收到的現(xiàn)金（或等價(jià)的現(xiàn)金）的綜合值。

6/21/202335我們注意到，投資者必須在t=0時(shí)刻對(duì)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)什么樣的組合做出決策。在這樣做的時(shí)候，對(duì)于大多數(shù)所考慮的各種組合，投資者不知道W1的值，因?yàn)樗麄儾恢肋@些組合的回報(bào)率是多少。從而，根據(jù)馬科維茨的理論，投資者應(yīng)該講這些組合中的任一組合的回報(bào)率視為統(tǒng)計(jì)中所稱(chēng)的一個(gè)隨機(jī)變量；這樣的變量可以通過(guò)它們的矩陣來(lái)描述，其中的兩個(gè)是預(yù)期值（或均值）和標(biāo)準(zhǔn)差。

6/21/202336二、證券的期望收益率第一個(gè)概念：?jiǎn)蝹€(gè)證券的期望值定義為：式中：E(r)－收益率期望值；R(s)－s狀態(tài)下的收益率；Pr(s)－r(s)狀態(tài)的發(fā)生概率6/21/202337

或者;E(rp)=X’E(r)第二個(gè)概念：一個(gè)證券組合的預(yù)期收益率：是其所含證券的預(yù)期收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重.每一證券對(duì)組合的預(yù)期收益率的貢獻(xiàn)依賴(lài)于它的預(yù)期收益率，以及它在組合初始價(jià)值中所占份額，而與其他一切無(wú)關(guān)。那么，一位僅僅希望預(yù)期收益率最大的投資者將持有一種證券，這種證券是他認(rèn)為預(yù)期收益率最大的證券。很少有投資者這樣做，也很少有投資顧問(wèn)會(huì)提供這樣一個(gè)極端的建議。相反，投資者將分散化投資，即他們的組合將包含不止一種證券。這是因?yàn)榉稚⒒梢詼p少由標(biāo)準(zhǔn)差所測(cè)度的風(fēng)險(xiǎn)。

6/21/202338三、方差——一個(gè)證券預(yù)期收益的方差（第三個(gè)概念）一個(gè)證券的預(yù)期收益率描述了以概率為權(quán)數(shù)的平均收益率。但是這是不夠的，我們還需要一個(gè)有用的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，其應(yīng)該以某種方式考慮各種可能的“壞”結(jié)果的概率以及“壞”結(jié)果的量值。取代測(cè)度大量不同可能結(jié)果的概率，風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度將以某種方式估計(jì)實(shí)際結(jié)果與期望結(jié)果之間可能的偏離程度，方差就是這樣一個(gè)測(cè)度，因?yàn)樗烙?jì)實(shí)際回報(bào)率與預(yù)期回報(bào)率之間的可能偏離。6/21/202339在證券投資中，一般認(rèn)為投資收益的分布是對(duì)稱(chēng)的，即實(shí)際收益低于預(yù)期收益的可能性與實(shí)際收益高于預(yù)期收益的可能性是一樣大的。實(shí)際發(fā)生的收益率與預(yù)期收益率的偏差越大，投資于該證券的風(fēng)險(xiǎn)也就越大，因此對(duì)單個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)，通常用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。6/21/202340沿用上面的表示方法，一個(gè)證券在該時(shí)期的方差是未來(lái)收益可能值對(duì)期望收益率的偏離（通常稱(chēng)為離差）的平方的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是相應(yīng)的可能值的概率。記方差為2，即有

方差越大風(fēng)險(xiǎn)越大投資者選擇方差較小的證券6/21/202341三、方差——兩個(gè)證券組合預(yù)期收益的方差（第四個(gè)概念）方差分別為與的兩個(gè)資產(chǎn)以w1與w2的權(quán)重構(gòu)成一個(gè)資產(chǎn)組合的方差為，如果一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成組合（第五個(gè)概念），則該組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。6/21/202342四、協(xié)方差協(xié)方差（第六個(gè)概念）是兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)測(cè)度，即它測(cè)度兩個(gè)隨機(jī)變量，如證券A和B的收益率之間的互動(dòng)性。特例(投資在每種資產(chǎn)上的量相等):6/21/202343協(xié)方差為正值表明證券的回報(bào)率傾向于向同一方向變動(dòng)——例如，一個(gè)證券高于預(yù)期收益率的情形很可能伴隨著另一個(gè)證券的高于預(yù)期收益率的情形。一個(gè)負(fù)的協(xié)方差則表明證券與另一個(gè)證券相背變動(dòng)的傾向——例如，一種證券的高于預(yù)期收益率的情形很可能伴隨著另一個(gè)證券的低于預(yù)期收益率的情形。一個(gè)相對(duì)小的或者0值的協(xié)方差則表明兩種證券之間只有很小的互動(dòng)關(guān)系或沒(méi)有任何互動(dòng)關(guān)系。

6/21/202344五、相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量度是相關(guān)系數(shù)（第七個(gè)概念）。事實(shí)上，兩個(gè)隨機(jī)變量間的協(xié)方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差的積。證券A與B的相關(guān)系數(shù)為

6/21/202345測(cè)量?jī)煞N股票收益共同變動(dòng)的趨勢(shì):Corr(RA,RB)或A,B -1.0+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0完全負(fù)相關(guān)會(huì)使風(fēng)險(xiǎn)消失完全負(fù)相關(guān)不會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險(xiǎn)但不是全部6/21/202346六、方差——多個(gè)證券組合的方差協(xié)方差矩陣（第八個(gè)概念）

6/21/202347七、證券組合的方差和風(fēng)險(xiǎn)的分散化

（一）證券組合風(fēng)險(xiǎn)分散的原因總結(jié)以上：證券組合的預(yù)期收益和方差是，假定市場(chǎng)上有證券1，2，，N證券i的期望收益率為Ei,方差為i,證券i與證券j的協(xié)方差為ij（或相關(guān)系數(shù)為ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投資者的投資組合為：投資于證券i的比例為wi，i=1，2，，N，則6/21/202348那么該投資組合的期望收益率和方差為6/21/202349由上可知，證券組合的方差不僅取決于單個(gè)證券的方差，而且還取決于各種證券間的協(xié)方差。隨著組合種證券數(shù)目的增加，在決定組和方差時(shí)，協(xié)方差的作用越來(lái)越大，而方差的作用越來(lái)越小。例如，在一個(gè)由30種證券組成的組合中，有30個(gè)方差和870個(gè)協(xié)方差。若一個(gè)組合進(jìn)一步擴(kuò)大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差的決定性因素。風(fēng)險(xiǎn)的分散化原理被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)中唯一“白吃的午餐”。將多項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合到一起，可以對(duì)沖掉部分風(fēng)險(xiǎn)而不降低平均的預(yù)期收益率，這是馬科維茨的主要貢獻(xiàn)。

6/21/202350假定資產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的預(yù)期收益率和收益率的方差分別記為E(r1)和E(r2)，21和22，組合的預(yù)期收益率和收益率的方差則記為E(r)和2。那么，

E(r)=wE(r1)+(1-w)E(r2)2=w221+(1-w)222+2w(1-w)1212因?yàn)?1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2]2

6/21/202351由上面右方的不等式可以看出，組合的標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)大于標(biāo)準(zhǔn)差的組合。事實(shí)上，只要<1，就有，∣∣<∣w1+(1-w)2∣,即證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)小于單個(gè)證券標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要證券的變動(dòng)不完全一致，單個(gè)有高風(fēng)險(xiǎn)的證券就能組成單個(gè)有中低風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，這就是投資分散化的原理。6/21/202352構(gòu)造一個(gè)投資每種資產(chǎn)等權(quán)重地組合來(lái)看分散化的力量：

其中關(guān)鍵結(jié)論.隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，組合收益的方差將越來(lái)越依賴(lài)于協(xié)方差－若這個(gè)組合中的所有證券不相關(guān)，即

當(dāng)隨證券數(shù)目增加，這個(gè)組合的方差將為零（保險(xiǎn)原則）。6/21/202353結(jié)論組合的方差是協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權(quán)重相乘的加權(quán)總值，它除了與各個(gè)證券的方差有關(guān)外，還取決于每證券間的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)。證券組合的預(yù)期收益可以通過(guò)對(duì)各種單項(xiàng)資產(chǎn)加權(quán)年均得到，但風(fēng)險(xiǎn)卻不能通過(guò)各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均得到(這只是組合中成分證券間的相關(guān)系數(shù)為一且成分證券方差相等，權(quán)重相等時(shí)的特例情況)。6/21/202354在證券方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合的每對(duì)證券的相關(guān)系數(shù)越高，組合的方差越高。只要每?jī)煞N證券的收益間的相關(guān)系數(shù)小于一，組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)。如果每對(duì)證券的相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成分證券方差和權(quán)重相等時(shí)，則可得到一個(gè)零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除，所以這種情況在實(shí)際中是不存在的、6/21/202355（二）證券組合消除的是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)失敗，等等。可稱(chēng)為可分散風(fēng)險(xiǎn)、特有風(fēng)險(xiǎn)、特定資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)主要通過(guò)分散化減少，因此由許多種資產(chǎn)構(gòu)成的組合將幾乎不存在非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是指整個(gè)市場(chǎng)承受到的風(fēng)險(xiǎn)，如經(jīng)濟(jì)的景氣情況、市場(chǎng)總體利率水平的變化等因?yàn)檎麄€(gè)市場(chǎng)環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)?？煞Q(chēng)為不可分散風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)影響所有的資產(chǎn)，不能通過(guò)分散化來(lái)去除6/21/202356下表假設(shè)每一成分證券間的協(xié)方差為零，每一成分證券的標(biāo)準(zhǔn)差為40％。對(duì)每一成分證券的投資都相等

成分證券數(shù)1281632128510組合標(biāo)準(zhǔn)差40·028·314·110·07·13·51·86/21/202357總風(fēng)險(xiǎn)=系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)+非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于一個(gè)好的分散化組合，非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)可以忽略，幾乎所有的風(fēng)險(xiǎn)都是系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)造成的。如果一種資產(chǎn)的收益同其它資產(chǎn)的收益有較高的相關(guān)性，那么總風(fēng)險(xiǎn)將主要是由系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成。如果一種資產(chǎn)的收益同其它的資產(chǎn)組合收益有相對(duì)較低的相關(guān)性，那么在代數(shù)上的組合分散化將導(dǎo)致相當(dāng)大的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和較小的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。6/21/202358系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能通過(guò)分散化去除。.因?yàn)榉窍到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)能夠沒(méi)有成本的消除，所以對(duì)它沒(méi)有回報(bào)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)定理:“一種資產(chǎn)的預(yù)期收益僅依賴(lài)于它的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。.”測(cè)度系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（第四章的內(nèi)容）Beta或Beta測(cè)度一種資產(chǎn)相對(duì)于一種市場(chǎng)平均收益率資產(chǎn)有多大的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).進(jìn)攻型股票(>1);防御型股票(<1)betas越大說(shuō)明系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)越大6/21/202359組合的風(fēng)險(xiǎn)–標(biāo)準(zhǔn)差組合中的股票數(shù)量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)特定公司風(fēng)險(xiǎn)總風(fēng)險(xiǎn)可分散風(fēng)險(xiǎn)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不可分散風(fēng)險(xiǎn)6/21/202360分散投資消除非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)成分股數(shù)平均回報(bào)率％標(biāo)準(zhǔn)差％可消除風(fēng)險(xiǎn)份額％市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分額％1940·045552932·438628926·6208016924·0128832923·6892128922·8298500922·001006/21/202361分散投資降低或消除風(fēng)險(xiǎn)效應(yīng)主要通過(guò)下列途經(jīng)發(fā)揮作用：選擇兩兩股票相關(guān)系數(shù)小于一的股票組合組合的證券成分?jǐn)?shù)要足夠多改變不同風(fēng)險(xiǎn)收益特性股票的投資比例6/21/202362第三節(jié)證券投資組合的可行集、有效集與最優(yōu)投資組合

一、可行集二、有效集三、有效前沿均值與方差的關(guān)系四、最優(yōu)投資組合的選擇6/21/202363一、可行集

N個(gè)證券可以形成無(wú)窮多個(gè)組合，由N種證券所形成的所有預(yù)期收益率和方差的組合的集合就是可行集。它包括了現(xiàn)實(shí)生活中所有可能的組合，也就是說(shuō)，所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。一般說(shuō)來(lái)，可行集的形狀像傘形，如圖所示：PPT676/21/202364兩個(gè)證券組合的可行集舉例證券預(yù)期收益標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)5%20%B15%40%6/21/202365組合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.00相關(guān)系數(shù)分別為1，-1，0時(shí)，組合的期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？6/21/2023666/21/2023676/21/202368三種證券的可行集6/21/202369收益風(fēng)險(xiǎn)ANHBN種證券的可行集6/21/202370二、有效集或有效前沿

1.有效集的定義可行集中有無(wú)窮多個(gè)組合，但是投資者有必要對(duì)所有這些組合進(jìn)行評(píng)價(jià)嗎？對(duì)于一個(gè)理性投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益的。對(duì)于同樣的風(fēng)險(xiǎn)水平，他們將會(huì)選擇能提供最大預(yù)期收益率的組合；對(duì)于同樣的預(yù)期收益率，他們將會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的投資組合的集合被稱(chēng)為有效集（EfficientSet）或有效邊界。有效集描繪了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的最優(yōu)配置。

6/21/202371l

有效邊界（有效集）：因?yàn)橥顿Y者是不知足且厭惡風(fēng)險(xiǎn)，即風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)追求收益最大，收益一定時(shí)追求風(fēng)險(xiǎn)最小。所以，同時(shí)滿足在各種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益和在各種預(yù)期收益下能提供最小風(fēng)險(xiǎn)這兩個(gè)條件就稱(chēng)為有效邊界。即雙曲線的上半部。上面各點(diǎn)所代表的投資組合一定是通過(guò)充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的組合。6/21/202372收益風(fēng)險(xiǎn)最小方差組合MVP2.有效集的形狀6/21/202373有效集曲線的形狀具有如下特點(diǎn)：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風(fēng)險(xiǎn)”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點(diǎn)所代表的兩個(gè)組合再組合起來(lái)得到的新的點(diǎn)（代表一個(gè)新的組合）一定落在原來(lái)兩個(gè)點(diǎn)的連線的左側(cè)，這是因?yàn)樾碌慕M合能進(jìn)一步起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用，所以曲線是向左凸的；（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方。

6/21/2023743.有效集的得出

所有可能的點(diǎn)（rp,p）構(gòu)成了（rp,p）平面上可行區(qū)域，對(duì)于給定的rp，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規(guī)劃：6/21/202375PPT76到PPT89不作要求6/21/2023764、有效證券組合前沿的性質(zhì)假定市場(chǎng)上有N>2種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許賣(mài)空。假設(shè)期望收益率為ej，j=1,…n.權(quán)重為wj.假設(shè)任一資產(chǎn)的收益率不能由其他資產(chǎn)的收益率線性表出，方差--協(xié)方矩陣V滿足對(duì)稱(chēng)非奇異正定的6/21/202377定義:稱(chēng)一個(gè)證券組合是前沿證券組合(afrontierportfolio),如果它在所有等均值的證券組合中具有最小方差值。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：p是一個(gè)前沿證券組合當(dāng)且僅當(dāng)它的證券組合權(quán)重是二次規(guī)劃問(wèn)題P的解。6/21/202378求解結(jié)果：任何前沿資產(chǎn)組合都可用上式表示,另一方面,任何可用上式表示的資產(chǎn)組合都是前沿邊界的資產(chǎn)組合.6/21/202379命題1g是具有0期望收益率的前沿邊界資產(chǎn)組合相應(yīng)的權(quán)重向量。g+h是期望收益率為1的前沿邊界資產(chǎn)權(quán)重向量。命題2整個(gè)資產(chǎn)組合的前沿邊界可以由g和g+h這兩個(gè)前沿邊界的資產(chǎn)組合生成。命題3由性質(zhì)2得出:資產(chǎn)組合前沿邊界可以由任意兩個(gè)相異的前沿邊界資產(chǎn)組合生成。（由此我們可以得到兩基金分離定理，見(jiàn)第四節(jié)）6/21/202380三、有效前沿的均值與方差的關(guān)系均方空間的幾何結(jié)構(gòu)任何兩個(gè)前沿邊界資產(chǎn)組合p和q的收益率協(xié)方差為：資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與期望收益率之間的關(guān)系：圖形6/21/202381什么是有效資產(chǎn)組合？期望收益率嚴(yán)格高于最小方差組合期望收益率A/C的前沿邊界資產(chǎn)組合稱(chēng)為有效資產(chǎn)組合。什么是非有效資產(chǎn)組合？位于資產(chǎn)組合前沿邊界，既不是有效資產(chǎn)組合，又不是最小方差資產(chǎn)組合的資產(chǎn)組合稱(chēng)為非有效資產(chǎn)組合。對(duì)于每一個(gè)非有效資產(chǎn)組合，存在一個(gè)具有相同方差但更高期望收益率的有效資產(chǎn)組合。6/21/202382性質(zhì)1最小方差組合mvp，與任何資產(chǎn)組合（不僅僅是前沿邊界上的）收益率的協(xié)方差總是等于最小方差資產(chǎn)組合的收益率的方差,即性質(zhì)2任何前沿邊界組合的線性組合仍在前沿邊界上。有效資產(chǎn)組合的任何凸組合仍是有效組合，有效組合的集合因此是一個(gè)凸集。6/21/202383性質(zhì)3資產(chǎn)組合邊界的一個(gè)重要性質(zhì)是，對(duì)于前沿邊界上的任何資產(chǎn)p，除了最小方差資產(chǎn)組合，存在唯一的前沿邊界資產(chǎn)組合，用zc(p)表示，與p的協(xié)方差為0。性質(zhì)4最小方差資產(chǎn)組合與任何其他前沿邊界資產(chǎn)組合的協(xié)方差為1/C.從而不存在與最小方差資產(chǎn)組合具有0協(xié)方差的前沿邊界資產(chǎn)組合

6/21/202384性質(zhì)5如果p是有效資產(chǎn)組合，則這樣的zc(p)是一個(gè)非有效的資產(chǎn)組合。6/21/202385zc(p)位置的確定。見(jiàn)圖在標(biāo)準(zhǔn)差-期望收益率空間中，經(jīng)過(guò)與任何前沿邊界資產(chǎn)組合（除最小方差資產(chǎn)組合）相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，與資產(chǎn)組合前沿邊界相切的直線在期望收益率坐標(biāo)軸上的截矩是。相應(yīng)的，在方差-期望收益率空間中，連接任何前沿邊界資產(chǎn)組合p和mvp的直線在期望收益率坐標(biāo)軸上的截矩等于6/21/202386四、最優(yōu)投資組合的選擇確定了有效集的形狀之后，投資者就可以根據(jù)自己的無(wú)差異曲線群選擇能使自己投資效用最大化的最優(yōu)投資組合了。這個(gè)組合位于無(wú)差異曲線與有效集的相切點(diǎn)O，如圖所示：收益風(fēng)險(xiǎn)BN6/21/202387O點(diǎn)所代表的組合就是最優(yōu)投資組合。有效集向上凸的特性和無(wú)差異曲線向下凸的特性就額定了有效集和無(wú)差異區(qū)縣的相切點(diǎn)只有一個(gè)，也就是說(shuō)最優(yōu)投資組合是唯一的。對(duì)投資者而言，有效集是客觀存在的，它是由證券市場(chǎng)線決定的。而無(wú)差異曲線則是主觀的，它是由自己的風(fēng)險(xiǎn)—收益偏好決定的。由第一節(jié)的分析可知，厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度越高的投資者，其無(wú)差異曲線的斜率越陡，因此其最優(yōu)投資組合越接近N。厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度越低的投資者，其無(wú)差異曲線的斜率越小，因此其最優(yōu)投資組合越