九年級上冊第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)“衡水杯”一等獎

中物理滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)

知識回顧y=ax2y=ax2+k(0,0)(0,k)y軸(直線x=0)y軸(直線x=0)上下平移個單位當(dāng)

k>0

時，向上平移；當(dāng)

k<0

時，向下平移.知識回顧二次函數(shù)y=ax2+k的圖像與性質(zhì)y=ax2+k

圖像

開口方向

開口大小

頂點坐標(biāo)

對稱軸

增減性

最值

a>0a<0k>0k<0k>0k<0yxoyxoyxoyxo開口向上開口向下越大，拋物線開口越??；越小，拋物線開口越大.(0,k)最低點(0,k)最高點y軸(直線x=0)

即x>0時，y隨x的增大而減??；

即x>0時，在對稱軸的左側(cè)，即x<0時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側(cè)，即x<0時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，當(dāng)x=0時，y最小值=k當(dāng)x=0時，y最大值=k(0,k)(0,k)(0,k)(0,k)知識回顧縱坐標(biāo)上加下減；點上下平移時，1、點平移的規(guī)律.點左右平移時，橫坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加，縱坐標(biāo)不變.直線y=kx+b，平移時k不變2、直線平移的規(guī)律.直線y=kx+b，上下平移時，左右平移時，b上加下減；x左加右減.3、拋物線上下平移的規(guī)律.拋物線y=ax2+k，上下平移時，k上加下減.平移時a不變探究新知

問題②

在同一平面直角坐標(biāo)系中，怎樣畫出函數(shù)y=x2、y=(x-1)2和y=(x+1)2

的圖象？

解：列表：xy=x2y=(x-1)2y=(x+1)2···············001112-1-31419···01416xyo12345-5-4-3-2-1-1-21234567894904描點、連線，即得各函數(shù)的圖象.39416-2491······y=x2y=(x-1)2y=(x+1)2xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=x2y=(x-1)2y=(x+1)2

觀察y=x2、y=(x-1)2和y=(x+1)2三個函數(shù)的圖像，回答下列問題.(1)這三個函數(shù)圖像的開口方向如何？頂點坐標(biāo)、對稱軸分別是什么？這三個函數(shù)圖像都是開口向上；y=x2

頂點坐標(biāo)是(0,0),對稱軸是直線x=0；y=(x-1)2頂點坐標(biāo)是(1,0),對稱軸是直線x=1；y=(x+1)2頂點坐標(biāo)是(-1,0),對稱軸是直線x=-1；(2)對于同一個y值，這三個函數(shù)對應(yīng)的x值之間有什么關(guān)系？這三個函數(shù)的圖像在位置上有什么關(guān)系？對于同一個y值，y=(x-1)2所對應(yīng)的x值比y=x2所對應(yīng)的x值

y=(x+1)2所對應(yīng)的x值小1.比y=x2所對應(yīng)的x值

y=x2y=(x-1)21個單位向右平移向左平移1個單位y=(x+1)2大1.y=x2y=(x-1)21個單位向右平移向左平移1個單位y=(x+1)2頂點(0,0)1個單位向右平移頂點(1,0)向左平移1個單位頂點(-1,0)對稱軸：y軸即直線x=01個單位向右平移直線x=1向左平移1個單位直線x=-1

由圖像可知，拋物線y=ax2+k與y=ax2的

、

和

相同，xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=x2y=(x-1)2y=(x+1)2(3)當(dāng)x分別取何值時，這三個函數(shù)取得最小值？最小值分別是多少？

觀察y=x2、y=(x-1)2和y=(x+1)2三個函數(shù)的圖像，回答下列問題.當(dāng)x=0

時，函數(shù)y=x2的最小值是0；當(dāng)x=1

時，函數(shù)y=(x-1)2的最小值是0；當(dāng)x=-1

時，函數(shù)y=(x+1)2的最小值是0；【歸納】只是

.當(dāng)h>0時，向

平移；拋物線y=a(x+h)2可由拋物線y=ax2

沿

軸方向平移

個單位得到，向

平移.當(dāng)h

時，形狀開口大小開口方向位置不同x左<0右拋物線y=a(x+h)2，方法規(guī)律：左右平移時，x左加右減.平移時a不變對應(yīng)練習(xí)1、在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、、的圖像.(1)填表：x0123-1-2-3······-13-13-3-3-43-43······0······(2)描點、連線：123456-6-5-4-3-2-1123456-1-2-3-4-5-6-13-13-3-43···0-163-253-13-13-3-43···0-163-253y=-x213y=-(x+2)213y=-(x-2)213123456-6-5-4-3-2-1123456-1-2-3-4-5-6y=-x213y=-(x+2)213y=-(x-2)213拋物線的開口方向是

，頂點坐標(biāo)是

，對稱軸是

，對應(yīng)練習(xí)2、觀察第1題所畫的圖像，并填空：y=-(x+2)213當(dāng)

時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；當(dāng)

時，函數(shù)值隨x值的增大而減小.

拋物線可由拋物線向

平移

個單位得到.y=-(x+2)213y=-x213開口向上(-2,0)直線x=-2x<-2x>-2左2對應(yīng)練習(xí)3、當(dāng)a>0時，拋物線

y=a(x+h)2的開口方向是

，頂點坐標(biāo)是

，對稱軸是

.當(dāng)x=

時，函數(shù)y=a(x+h)2取得最

值=

.

當(dāng)a<0時，拋物線y=a(x+h)2

的開口方向是

，頂點坐標(biāo)是

，對稱軸是

.當(dāng)x=

時，函數(shù)y=a(x+h)2取得最

值=

.開口向上(-h,0)直線x=-h-h小0開口向下(-h,0)直線x=-h-h大0歸納總結(jié)二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖像與性質(zhì)y=a(x+h)2

圖像

開口方向

開口大小

頂點坐標(biāo)

對稱軸

增減性

最值

a>0a<0h>0h<0h>0h<0yxoyxoyxoyxo開口向上開口向下越大，拋物線開口越?。辉叫?，拋物線開口越大.(-h,0)最低點(-h,0)最高點直線x=-h即x>-h時，y隨x的增大而減??；即x>-h時，在對稱軸的左側(cè)，即x<-h時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側(cè)，即x<-h時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，當(dāng)

x=-h

時，y最小值=0當(dāng)x=-h時，y最大值=0(-h,0)(-h,0)(-h,0)(-h,0)歸納總結(jié)

今天我們學(xué)會了頂點在x軸上的拋物線

，它的開口方向由

所決定，它的開口大小由

所決定，它的頂點坐標(biāo)是

,對稱軸是

.y=a(x+h)2(a≠0)a的符號

直線x=-h(-h,0)y=ax2y=ax2+k(0,0)(0,k)y軸(直線x=0)y軸(直線x=0)上下平移個單位當(dāng)

k>0

時，向上平移；當(dāng)

k<0

時，向下平移.y=a(x+h)2(-h,0)直線x=-h左右平移

個單位當(dāng)h>0時，向左平移；當(dāng)h<0時，向右平移.鞏固練習(xí)

1、(濟(jì)寧中考)下列圖中是二次函數(shù)y=-(x-1)2的大致圖像的是().A2、(沈陽中考)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖像可能是()D鞏固練習(xí)3、拋物線y=3x2

向右平移個單位得到的拋物線的解析式為

，它的頂點為

，對稱軸為直線

，當(dāng)x

時，它有最小值

，當(dāng)x

時，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x

時，y隨著x的增大而增大.4、(達(dá)州中考)拋物線y=-2(x-1)2

的頂點坐標(biāo)與對稱軸分別是()A.(-1,0)，

直線x=-1B.(1,0)，直線x=1C.(0,-1)，直線x=-1D.(0,1)，直線x=112

y=3(x-)2

12(,0)12直線x=120=12<12>12B鞏固練習(xí)

5、對于二次函數(shù)y=3x2+1和y=3(x-1)2，有以下說法:①它們圖像都是開口向上；②它們圖像的對稱軸都是y軸，頂點坐標(biāo)都是(0,0);③當(dāng)x>0時，它們的函數(shù)值y都是隨著x的增大而增大；④它們圖像的開口大小是一樣的.A、1個B、2個C、3個D、4個其中正確的說法有()B鞏固練習(xí)6、拋物線y=3(x-1)2上有三點A(-1,y1)，B(,y2)，C(2,y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是().A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2D.y3<y2<y17、已知拋物線y=-(x+1)2上的兩點A(x1,y1)和B(x2,y2)，如果x1<x2<-1,那么下列結(jié)論一定成立的是()A.y1<y2<0B.0<y1<y2C.0<y2<y1D.y2<y1<0BA鞏固練習(xí)8、將拋物線

y=-(x-1)2

向左平移2個單位后，得到的拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是()A.

9、已知y=2x2

的圖象是一條拋物線，若拋物線不動，把y軸向左平移3個單位，則在新坐標(biāo)系中拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

.23

y=-(x-3)2

23B.

y=-(x+1)2

23C.

y=-(x-2)2

23D.

y=-(x+2)2

23By=2(x-3)2鞏固練習(xí)10、拋物線y=-2(x+3)2

與拋物線

關(guān)于x軸對稱，拋物線y=-2(x+3)2

與拋物線

關(guān)于y軸對稱.y=2(x+3)2y=-2(x-3)2拋物線y=a(x+h)2：關(guān)于x軸對稱的拋物線為

，關(guān)于y軸對稱的拋物線為

.y=-a(x+h)2y=a(x-h)2方法規(guī)律：鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)

11、在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=a(x+c)2

的圖像可能是()ABCDa<0,c<0a>0,c>0a<0,c>0a<0,c>0a>0,c>0a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0B12、若拋物線的頂點在x軸正半軸上，則m的取值范圍為().A、m=5B、m=-1C、m=5或m=-1D、m=-5

13、已知二次函數(shù)y=-2(x+m)2，當(dāng)x<-3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-3時，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=1時，y的值為()AA、-12B、12C、32D、-32D鞏固練習(xí)14、已知拋物線y=a(x-h)2，當(dāng)x=2時，有最大值，且拋物線過點(1,-3).(1)求拋物線的表達(dá)式(2)當(dāng)y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍；(3)求拋物線與y軸的交點坐標(biāo).解:(1)∵拋物線y=a(x-h)2，當(dāng)x=2時，有最大值

∴拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2∵拋物線經(jīng)過點(1,-3)∴-3=a(1-2)2解得a=-3∴此拋物線的表達(dá)式為y=-3(x-2)2(2)∵拋物線y=-3(x-2)2的對稱軸為直線x=2，且拋物線的開口向下∴當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大.(3)∵當(dāng)x=0時，y=-3×(0-2)2=-12∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-12).1、[2018·山東濰坊中考]已知二次函數(shù)y=-(x-h)2(h為常數(shù))，當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1，則h的值為()A、3或6B、1或6C、1或3D、4或62、已知二次函數(shù)y=3(x-a)2，當(dāng)x>2時，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是

.拓展提升Ba≤23、如圖，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O為坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OA=AB=1，現(xiàn)把Rt△OAB沿x軸正方向平移1個單位長度后得△AA1B1．(1)求以A為頂點，且經(jīng)過點B1的拋物線的表達(dá)式；(2)若(1)中的拋物線與OB交于點C，與y軸交于點D，求點D、C的坐標(biāo)．解:(1)∵OA=AB=1，∠OAB=90°∴A(1,0),B(1,1)由平移的性質(zhì)，得

A1(2,0)，B1(2,1)∵拋物線的頂點為A(1,0)∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)2∵拋物線經(jīng)過點B1(2,1)∴1=a(2-1)2解得a=1∴以A為頂點，且經(jīng)過點B1的拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=(x-1)2∴直線OB的表達(dá)式為y=x3、如圖，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O為坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OA=AB=1，現(xiàn)把Rt△OAB沿x軸正方向平移1個單位長度后得△AA1B1．(1)求以A為頂點，且經(jīng)過點B1的拋物線的表達(dá)式；(2)若(1)中的拋物線與OB交于點C，與y軸交于點D，求點D、C的坐標(biāo)．解:(2)設(shè)直線OB的表達(dá)式為y=kx∵直線OB經(jīng)過(1,1)∴1=k∴

y=(x-1)2y=x解得

或

(舍去)∴

點C的坐標(biāo)為(,)∵拋物線與OB交于點C又∵拋物線與y軸交于點D∴當(dāng)x=0時，y=1∴點D的坐標(biāo)為(0,1)綜上：C(,)，D(0,1)

4、二次函數(shù)y=(x-h)2的圖像如圖所示，已知已知拋物線的頂點為A，與y軸交于點B，且OA=OB.(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)請寫出該拋物線關(guān)于y軸對稱的圖像表達(dá)式.12(h,0)(0,h)解:(1)∵點A為拋物線y=(x-h)2的頂點12∴A(h,0)∴OA=h∵OA=OB,且點B在y軸的正半軸上∴B(0,h)∴

h=(0-h)212解得h1=0h2=2(舍去)，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

y=(x-2)212(2)該拋物線關(guān)于y軸對稱的圖像表達(dá)式為y=(x+2)212

變式練習(xí)：如圖，拋物線y=a(x+1)2的頂點為A，與y軸