【2022年三維設(shè)計(jì)一輪】第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來(lái)演練

[備考方向要明了]考

什

么1.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(對(duì)多項(xiàng)式函

數(shù)不超過(guò)三次)．2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.怎

么

考1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值以及解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，

已成為近幾年高考的考點(diǎn)且每年必考！2.選擇題、填空題主要考查函數(shù)的最值，而解答題則考查

函數(shù)綜合問(wèn)題，一般難度較大.1．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比

較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．極值端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)2．生活中的優(yōu)化問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟答案：C1．函數(shù)f(x)＝x3－3x(－1<x<1) (

)A．有最大值，但無(wú)最小值B．有最大值，也有最小值C．無(wú)最大值，也無(wú)最小值D．無(wú)最大值，但有最小值2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝12x－x3在區(qū)間[－3,3]上的最小值是 (

)A．－9

B．－16C．－12 D．－11解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最小值為－16.答案：B解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．當(dāng)0<x<9時(shí)，y′>0；當(dāng)x>9時(shí)，y′<0，則當(dāng)x＝9時(shí)，y取得最大值．答案：C4．(教材習(xí)題改編)函數(shù)g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______．答案：05．面積為S的一矩形中，其周長(zhǎng)最小時(shí)的邊長(zhǎng)是______．實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，一般指的是單峰函數(shù)，也就是說(shuō)在實(shí)際問(wèn)題中，如果遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么不與區(qū)間端點(diǎn)比較，就可以知道這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(小)值點(diǎn)．[例1]

(2011·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．[自主解答]

(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)與f′(x)的情況如下：所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．x(－∞，k－1)(k－1)(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0<k－1<1，即1<k<2時(shí)，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1時(shí)，即k≥2，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.本題條件不變，求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值．[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)2．[文](2012·濟(jì)寧模擬)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象在點(diǎn)

p(1,0)處的切線與直線3x＋y＝0平行．(1)求a，b；(2)求函數(shù)f(x)在[0，t](t>0)內(nèi)的最大值和最小值．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)f′(x)與f(x)隨x變化情況如下：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2－2由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3因此根據(jù)f(x)的圖象當(dāng)0<t≤2時(shí)，f(x)的最大值為f(0)＝2最小值為f(t)＝t3－3t2＋2；當(dāng)2<t≤3時(shí)，f(x)的最大值為f(0)＝2，最小值為f(2)＝－2；當(dāng)t>3時(shí)，f(x)的最大值為f(t)＝t3－3t2＋2，最小值為f(2)＝－2.[沖關(guān)錦囊]

函數(shù)的最大(小)值是在函數(shù)極大(小)值基礎(chǔ)上的發(fā)展．從函數(shù)圖象上可以直觀地看出：如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，只要把函數(shù)y＝f(x)的所有極值連同端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大(小)值.[例2]

(2011·江蘇高考)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9，顯然，當(dāng)x∈(6,9)時(shí)，y′>0；當(dāng)x∈(9，＋∞)時(shí)，y′<0，∴函數(shù)y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是減少的，∴當(dāng)x＝9時(shí)，y取最大值，且ymax＝135，∴售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元．[沖關(guān)錦囊]利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，構(gòu)造出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，并根據(jù)實(shí)際意義確定定義域；(2)求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所

求的最大(小)值；(4)還原到實(shí)際問(wèn)題中作答.[精析考題][例3]

(2011·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲線y＝f(x)過(guò)P(1,0)，且在P點(diǎn)處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤2x－2.[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)(2)證明：設(shè)h(x)＝xlnx－2x＋e(x≥1)，令h′(x)＝lnx－1＝0得x＝e，列表分析函數(shù)h(x)的單調(diào)性如下：∴h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.x1(1，e)e(e，＋∞)h′