相似三角形的性質(zhì)提高題及答案

-.z.相似三角形的性質(zhì)知識(shí)精要相似三角形對應(yīng)邊的比稱為這兩個(gè)三角形的相似比，形似比用字母k表示。如△ABC∽△A'B'C'，則,注意：相似比具有方向性，假設(shè)寫作△A'B'C'∽△ABC，則相似比為。根據(jù)合比容易得到"相似三角形的周長比等于相似比〞，記△ABC和△A'B'C'的周長分別為和，則.類型一相似比與周長比在有關(guān)相似三角形的計(jì)算問題中，通過對應(yīng)邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，過重心G作DE//BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.點(diǎn)P在BC上，假設(shè)△BDP與△CEP相似，求BP的長。點(diǎn)評：這是一類常見的有關(guān)三角形相似的分類討論的問題。圖中只能確定一組相等的角〔∠B=∠C〕為對應(yīng)角，但"這個(gè)角的兩組夾邊對應(yīng)成比例〞的比例式排列順序還不能完全確定，因此要分為兩種情況進(jìn)展討論?！九e一反三】如圖，△ABC中，CD是角平分線，E在AC上，CD2=CB·CE.求證：△ADE∽△ACD；如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的長。點(diǎn)評：先根據(jù)判定定理2得到△BCD∽△DCE，再根據(jù)判定定理1得到△ADE∽△ACD，這種類似于"二次全等〞的"二次相似〞是證明相似三角形常用的方法。如圖，△ABC中,DE//BE,分別交AB于D，交AC于E。AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE與四邊形BCED的周長相等，求DE的長。點(diǎn)評：無論是以相似比k作為未知量，還是以DE=*作為未知量，目的都是為了把其他的量用k或*來表示，根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系列方程。這一解題思路可稱為"方程思想〞，這是用代數(shù)方法解決幾何問題的根本思想。如圖，正三角形ABC的邊長為1，點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC上，沿EF將△AEF翻折，使點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D.AE:AF=5:4，求BD的長。點(diǎn)評：此題的難點(diǎn)是將比值轉(zhuǎn)化為△BED和△CDF的相似比和周長比。類型二相似比與對應(yīng)線段之比如圖△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，假設(shè)AH,AM,AE和A'H',A'M',A'E'分別是△ABC和△A'B'C'的高、中線和角平分線，則。廣義地說，所謂"對應(yīng)線段〞應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)相似三角形對應(yīng)位置上的所有對應(yīng)線段，如上圖2中BE和B'E'，ME和M'E'等；而相似三角形對對應(yīng)位置上的所有三角形也都是相似三角形，如圖2中的△ABE∽△A'B'E',△AME∽△A'M'E'等。例2如圖，△ABC中，D在BC上，∠DAC=∠B,角平分線CE交AD于F.BD=1，DC=3.求CF:EF的值。點(diǎn)評：此題考察了相似三角形中對應(yīng)角平分線的相似比問題?！九e一反三】如圖，∠BAE=90°，AB=AC=CD=DE,F是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE,BD,DF.找出圖中的相似三角形并說明理由；求DF:DB的值。點(diǎn)評：第〔2〕小題也可以將看作是△CFD∽△CDB的對應(yīng)邊之比。如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分別為E,F。求證：DE2:DF2=AD:DB.點(diǎn)評：解題思路從相似三角形的面積比入手。一方面，相似三角形的面積比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面積之比等于相應(yīng)的邊長之比，從而建立起與線段平方比有關(guān)的比例式。一塊直角三角形木板的兩條直角邊AB長為1.5米，BC長為2米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的的正方形桌面，請甲乙兩位同學(xué)進(jìn)展設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1-4-9，乙設(shè)計(jì)方案如圖1-4-10.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案中正方形面積較大？試說明理由?！布庸p耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保存分?jǐn)?shù)〕點(diǎn)評：利用"相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比〞，是解三角形的內(nèi)接矩形問題的常用方法。類型三相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平方。例如，如圖1-4-12，△ABC中，D,E和F,G分別是AB和AC的三等分點(diǎn)，則△ADF,△AEG,△ABC的周長比是1:2:3，面積比是1:4:9，而DF,EG將△ABC分成的三局部面積之比1:3:5.另外，兩個(gè)有公共高的三角形的面積之比等于對應(yīng)的底邊之比。例如，如圖1-4-13，△ABC中，∠C=90°，CD是高，則△ADC∽CDB,,另外，CD是它們的公共高，故,這樣我們就很容易得到一個(gè)比例式：.這種證明方法稱為"面積法〞例3如圖，△ABC中，過重心G作DE//BC分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,作DF//AC交BC于點(diǎn)F.求證：。點(diǎn)評：這個(gè)結(jié)果說明，三角形ADE與四邊形DECF面積相等，這種等積變換很難通過畫平行線的方法驗(yàn)證，只有利用相似三角形的性質(zhì)通過計(jì)算來驗(yàn)證。【舉一反三】如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠DAC=∠B.求證：AB2:AD2=BC:DC.如圖，梯形ABCD中，AD//BC,AC交BD于O.假設(shè),求;假設(shè)〔m,n為正數(shù)〕，試用m,n表示梯形ABCD的面積S.點(diǎn)評：在梯形中，兩條對角線將梯形分為4個(gè)小三角形，其中分別以兩底為邊的兩個(gè)小三角形是相似關(guān)系，它們不可能全等〔因?yàn)閮傻资菍?yīng)邊，不可能相等〕；另兩個(gè)以腰為邊的小三角形是等積關(guān)系〔面積相等〕，它們可能全等〔當(dāng)?shù)妊菪螘r(shí)〕，但不可能是非全等的相似關(guān)系。如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD于F，聯(lián)結(jié)EF,AC.求證：△ABC∽△EAF.假設(shè)AB=3BE,AD=9，平行四邊形ABCD的面積為，求EF的長。內(nèi)容提煉相似三角形的性質(zhì)包括三個(gè)方面：由定義確定的性質(zhì)----相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)邊的比值稱為相似比，用k表示；注意相似比的"方向性〞，必須是排在前面的三角形邊長除以排在后面的三角形邊長。假設(shè)△ABC∽△DEF,則當(dāng)k>1時(shí)，說明由△ABC到△DEF是縮小的；當(dāng)k<1時(shí)，說明由△ABC到△DEF是放大的；當(dāng)k=1時(shí)，△ABC≌△DEF,因此，全等是相似的特殊情況。性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比，"對應(yīng)線段〞包括對應(yīng)角的角平分線，對應(yīng)邊上的中線和對應(yīng)邊上的高。實(shí)際上"對應(yīng)線段〞還可以推廣到兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)位置上的任何一種對應(yīng)線段，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓半徑的比、內(nèi)切圓半徑的比都等于相似比。性質(zhì)2：相似三角形面積的比等于相似比的平方，實(shí)際上還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對應(yīng)位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓面積的比、內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要克制一些常見的錯(cuò)誤。例如：在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，在書寫過程中忘記交代"相似〞這一條件，或是沒有注意對應(yīng)關(guān)系。誤認(rèn)為通過"兩個(gè)三角形的周長比等于*一對應(yīng)邊的比〞或"兩個(gè)三角形的面積的比等于對應(yīng)邊的平方比〞就可以判斷這兩個(gè)三角形相似。在運(yùn)用性質(zhì)2時(shí)忘記加平方，認(rèn)為面積比等于相似比。穩(wěn)固提高〔必做題，要求步驟完整，邏輯清晰〕如圖，DF//EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3，如果為△ADF面積，為梯形DEGF面積，為梯形EBCG面積，則為〔〕〔A〕1:4:9;(B)1:9:36;(C)1:8:27;(D)1:7:19一個(gè)三角形的三邊之比為3:4:5，與此三角形相似的另一個(gè)三角形最短邊的邊長為6cm，則另一個(gè)三角形的周長為〔〕〔A〕12cm;(B)24cm;(C)36cm;(D)48cm假設(shè)一個(gè)三角形的一條邊長為6cm，平行于這條邊的直線將該三角形分成面積相等的兩局部，則該直線被這個(gè)三角形兩邊所截得的線段長為〔〕〔A〕3cm;(B)cm;(C)cm;(D)cm假設(shè)兩個(gè)相似三角形面積之比為3:4，則它們的周長之比為如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)中線之比為2:3，其中較大的一個(gè)三角形的面積是36cm2,則另一個(gè)三角形的面積是cm2.如圖，AB//DC,AC交BD于O，過O作直線分別交AB,DC于M,N。假設(shè)2OM=3ON,則△AOB與△COD的周長之比為如圖，AB//DC,AC交BD于O，過O作直線分別交AB=3，AC=2，假設(shè)將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，則△ABB'與△ACC'的面積之比為梯形ABCD中，AD//BC,且AD:BC=3:4，BA與CD的延長線相交于點(diǎn)P，假設(shè)梯形ABCD的高是3cm，則點(diǎn)P到BC的距離為cm.如圖，△ABC中，D在AC上，假設(shè)AD=2DC,AB2=AC·AD，則BD:BC的值等于如圖，△ABC中，AB=6，AC=9，DE//BC分別交AB,AC于D,E，且DE=8，四邊形DBCE的周長是25，求BC的長。如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得△AB'C'，當(dāng)AB'⊥BC時(shí)AC'//BC,且點(diǎn)C恰好在B'C'上。求△ABB'與△ACC'的面積之比。如圖，△ABC中，∠C=2∠B，D在BC上，AC2=BC·DC,且∠BAD=90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。試判斷△AEC的形狀并說明理由。探究題如圖①，