第十講三角比在幾何問題中應用

第十講三角比在幾何問題中的應用朱麗霞相似三角形對應邊成比例【知識框架】在實際問題中的應用銳角的三角比轉(zhuǎn)化解直角三角形的應用應用在幾何問題中的應用例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，E【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BCD4260°A30°∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，E【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BCD4260°ARt△ABE30°EB

=

AB cot300

=

4

3S△ABE∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，EBC4260°ARt△CDERt△ABE30°S△EDCED

=

CD

cot

300

=

23

DEB

=

AB cot300

=

4

3S△ABES四ABCD∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，EBCD4260°A30°在Rt△ABE中，AB=4，∴

BE

=

AB cot300

=

4

3

.同理

DE

=

2

3S

=

1

AB BE

=

8

32#

ABES

=CD DE

=

2

312#

CDE∴四邊形ABCD的面積為63.∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．解:延長BC、AD

交于E，∵四邊形ABCD中∠A=600，∠B=∠D=900，∴∠E=300【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用CAD遇四邊形的問題，通?？商磔o助線將原四邊形分割或補全為熟悉的特殊圖形來解決．F例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．【點評】E【思考】延長DC、AB，使它們相交于F，能不能解？四邊形三角形聯(lián)結(jié)對角線B直角三角形延長一組對邊【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用∠E=90°Rt△CDE∠A+∠B=90°4120°BC

BC=7A3150°30°60°E30°22

3DRt△ABEAB

=

2AE

=

6

3EB

=

AE cot300

=

9CE

=

CD sin300

=

2ED

=CD cos300

=

2

3AE

=

3

3例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，分析：

∠D=150°，AD= 3

，DC=4，求AB、BC

的長．【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用∴∠E=90°BC120°360°2DE3

30°150°例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，∠D=150°，AD= 3

，DC=4，求AB、BC

的長．解：延長AD、BC交于點E．∵∠EDC=180°-150°=30°，∠ECD=180°-120°=60°在Rt△DEC中，CD=4，∴CE=CDcos60°=2，DE=CDsin60°=

2在Rt△ABE中，∠B=30°A33

+ 3

=

3

3∴AE=

2BE=AEcot30°=9∴BC=7∴AB=2AE=

6330°【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，120°∠D=150°，AD

=B3，DC=4，求AB、BC

的長．CD3150°EF430°60°30°G本題通過添線，把四邊形補成了一個直角三角形，這叫做“補形法”；有的時候是聯(lián)結(jié)對角線或作垂線段，把一個多邊形分割成三角形、直角梯形或其它圖形，這兩種方法統(tǒng)稱為“割補法”．A【點評】【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5BCAD分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用13例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5BCAD1512159

E1512F

5AB

5AE

=12CF=5DF=AE=12BE=9EF=AD=15BC=BE+EF+FC=29分析：sinB

=

AE

=

4【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5sinB

=

AE

=

4AB

5AE

=12DF=AE=12BE=9EF=AD=15BCAD1512159

E12

1315

C’

5

FCC’F=5BC’=BE+EF-FC’=19①

BC=BE+EF+FC=29②13【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5sinB

=

AE

=

4AB

5AE

=12DF=AE=12BE=9EF=AD=15BCAD1512159

E12

1315

C’

5

FCC’F=5BC’=BE+EF-FC’=19①

BC=BE+EF+FC=29②13【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5解：作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分別為點E、F易得四邊形AEFD為矩形，4在Rt△ABE中，AB=15，sinB=5∴BC=BE+EF+CF=29或BC’=BE+EF-C’F=19BE

= AB2

-

AE

2

=

9ADE

C’

F

CB∴

AE

=

AB sinB

=

12,∴

DF

=

AE

=

12,在Rt△ABE中，DC=5∴

CF

= DC

2

-

DF

2

=

5在梯形中“已知一底兩腰及高求另一底”這類問題中，經(jīng)常會遇到多解，應引起注意．【點評】【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BCAD3E

36F例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BCDE336330°AF

=AC12Rt△CBEBCCE

==

2

3cos—

ACF∠ACF=30°AAEF例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．分析：Rt△ACF30°【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BCADE336330°F例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．解：作AF⊥直線BC，垂足為F，∵∠ADB=∠B，∴AD//BC，∵DB⊥BC，∴AF=DB=3∵AC=6，∴∠ACF=30°21∴AF=

AC在Rt△BCE中，BC3CE

==cos—

ACF

cos300=2

3∴

AE=AC－CE=6－2

3【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．BCAD8E

915FBD=9BC=8AC=15三角比是一種特殊的線段之比，在直角三角形的背景下求線段之比?？梢詺w結(jié)為求三角比．在解題中運用三角比的定義和特殊角的三角比值進行線段的長度計算常能達到事半功倍的效果．【點評】9【典型例題講解】1、在幾何計算中的應用BPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用sin—

ABC

=

PDBPPE

=

PC

sinCPD

=

BP

sin—

ABCsinC

=

PEPCBH

=

BC

sinCBHsinC

=BC例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．分析：ABAPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用PD

=

BP

sin—

ABCPE

=

PC

sinCsin—

ABC

=

sinCPD+PE=(BBPP++PPCC)sinCPD+PE=

BBCC

sinCBH

=

BC

sinCPD+PE=BH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．分析：①利用銳角三角比BAPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用同理，PE

=

PCsinCBP∴

PD

=

BP sin—

ABC證明：在Rt△PBD中，

sin—

ABC

=

PD∴

PE

+

PD=

BPsinC

+

PCsinC=

(BP

+

PC)sinC

=

BCsinC在Rt△BCH中，BH=BCsinC∴

PD+PE=BH∴

PD

=

BP

sinC∵

AB=AC∴

∠ABC=∠C例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．APDBHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用F△BPF≌△PBDPD=BFPE=FHPD+PE=BBFH+FH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC

于點E．求證：PD+PE=BH．②利用全等三角形（截長補短）作PF⊥BH于FBAPHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用聯(lián)結(jié)APΔABP1

1ΔABPΔACPΔABCS +

S =

SΔAPC1S

=

AC

PE2ΔABC1S

=

AC

BH2S =

1

AB

PD2AC

1PD

AB+

PE

ACAC=

BH

AC2

2

2AC

DPD+PE=

BH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，③面積法APDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用PD+PE=

BHBP

=

PC

=

BCPD

PE

BHBP+

PC

=

BCPD

+

PE

BHBC

=

BCPD

+

PE

BHB④利用相似三角形△BPD∽△CPE∽△BCH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，APDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應用PD+PE=

BHBP+

PC

=

BCPD

+

PE

BHBC

=

BCPD

+

PE

BHB④利用相似三角形△BPD∽△CPE∽△BCHPPDDPPEEBBPP

=

PPCC

=

BBCBBHsin∠ABCsinCsinC銳角三角比例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，BCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．1SΔADE

=

2

SΔABCS⊿ADE=S四BCDE【典型例題講解】3、三角比的綜合應用BCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．∠A=∠A△ADE∽△ABC【典型例題講解】3、三角比的綜合應用1SΔADE

=

2

SΔABC⊿ADES

=S四BCDEAE

=

ADAC

ABBCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．cosA

=

AE

cosA

=

ADAC

ABAE

=

ADAC

AB∠A=∠A△ADE∽△ABC1SΔADE

=

2

SΔABC)2=

(ΔADESΔABCS

ADABAD

=

2AB

22cosA

=2【典型例題講解】3、三角比的綜合應用BADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABCC1∵S⊿ADE=S四邊形BCDE，即SΔADE

=2

SΔABC又∵∠A是銳角，∴∠A=45°

AD解：在Rt△ABD中，cosA

=

AB在Rt△ACE中，cosA=AEAC∴

AD

=

AEAB

AC=

(

AD

)2SΔABCAB∴

SΔADEAB

2∴

AD

=

2即cosA=22【典型例題講解】3、三角比的綜合應用【點評】在本題中，三角比起了兩個作用，一是根據(jù)三角比定義得到線段比例式，從而證明三角形相似，二是根據(jù)特殊角三角比的值求出銳角的大?。@然，在幾何問題中恰當?shù)剡\用三角比知識能使解題過程變得更為簡捷明快．BCADE【思考】下面兩道變式題：（1）在△ABC中，BD、CE是高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE的面積是四邊形

BCDE面積的3倍，求∠A的度數(shù)．（2）在△ABC中，BD、CE是高，聯(lián)結(jié)DE，∠A=60°，求△ADE與四邊形BCDE面積的比．CADEFGBx例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點,DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（1）若∠DAF=

β

，試用x、β

的代數(shù)式表示BG

EC；AB∥CDBG

=

EBFC

ECBG EC

=

BE

FCBG EC

=

x (xcotβ

-

x)BE=DF=xxβ【典型例題講解】3、三角比的綜合應用DC=AD=xcotβ問當tan—DAF=2

時，△AEF的面積是多少？3例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（2）當tan—DAF=1

時，△AEF的面積為10，3BCADEGxFtan—

DAF

=13△AEF為等腰Rt△AD=

3

233x2ΔAEFS

=

1

AF

22AF2=10x2SΔAEF=

10DF=x=2【典型例題講解】3、三角比的綜合應用問當tan—DAF=2

時，△AEF的面積是多少？3例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（2）當tan—DAF=1

時，△AEF的面積為10，3CADEFG=ΔAEFSAF

2123

2tan—

DAF

=

23ΔAEFBS

=

13tan—DAF

=13AD=

32DF=

22AF2=262

2【典型例題講解】3、三角比的綜合應用例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（3）如果

cos—

FAD

=

cot—

AFD，求

sin—

FAD

的值BCAEDFGcos—

FAD

=

cot—

AFDAD