第十講三角比在幾何問題中應(yīng)用

第十講三角比在幾何問題中的應(yīng)用朱麗霞相似三角形對應(yīng)邊成比例【知識框架】在實際問題中的應(yīng)用銳角的三角比轉(zhuǎn)化解直角三角形的應(yīng)用應(yīng)用在幾何問題中的應(yīng)用例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，E【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BCD4260°A30°∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，E【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BCD4260°ARt△ABE30°EB

=

AB cot300

=

4

3S△ABE∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，EBC4260°ARt△CDERt△ABE30°S△EDCED

=

CD

cot

300

=

23

DEB

=

AB cot300

=

4

3S△ABES四ABCD∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，EBCD4260°A30°在Rt△ABE中，AB=4，∴

BE

=

AB cot300

=

4

3

.同理

DE

=

2

3S

=

1

AB BE

=

8

32#

ABES

=CD DE

=

2

312#

CDE∴四邊形ABCD的面積為63.∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．解:延長BC、AD

交于E，∵四邊形ABCD中∠A=600，∠B=∠D=900，∴∠E=300【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用CAD遇四邊形的問題，通?？商磔o助線將原四邊形分割或補(bǔ)全為熟悉的特殊圖形來解決．F例題1.

如圖，四邊形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=600，∠B=∠D=900，求四邊形ABCD的面積．【點評】E【思考】延長DC、AB，使它們相交于F，能不能解？四邊形三角形聯(lián)結(jié)對角線B直角三角形延長一組對邊【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用∠E=90°Rt△CDE∠A+∠B=90°4120°BC

BC=7A3150°30°60°E30°22

3DRt△ABEAB

=

2AE

=

6

3EB

=

AE cot300

=

9CE

=

CD sin300

=

2ED

=CD cos300

=

2

3AE

=

3

3例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，分析：

∠D=150°，AD= 3

，DC=4，求AB、BC

的長．【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用∴∠E=90°BC120°360°2DE3

30°150°例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，∠D=150°，AD= 3

，DC=4，求AB、BC

的長．解：延長AD、BC交于點E．∵∠EDC=180°-150°=30°，∠ECD=180°-120°=60°在Rt△DEC中，CD=4，∴CE=CDcos60°=2，DE=CDsin60°=

2在Rt△ABE中，∠B=30°A33

+ 3

=

3

3∴AE=

2BE=AEcot30°=9∴BC=7∴AB=2AE=

6330°【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題2.

如圖，四邊形ABCD

中，

∠B=30°，∠C=120°，120°∠D=150°，AD

=B3，DC=4，求AB、BC

的長．CD3150°EF430°60°30°G本題通過添線，把四邊形補(bǔ)成了一個直角三角形，這叫做“補(bǔ)形法”；有的時候是聯(lián)結(jié)對角線或作垂線段，把一個多邊形分割成三角形、直角梯形或其它圖形，這兩種方法統(tǒng)稱為“割補(bǔ)法”．A【點評】【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5BCAD分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用13例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5BCAD1512159

E1512F

5AB

5AE

=12CF=5DF=AE=12BE=9EF=AD=15BC=BE+EF+FC=29分析：sinB

=

AE

=

4【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5sinB

=

AE

=

4AB

5AE

=12DF=AE=12BE=9EF=AD=15BCAD1512159

E12

1315

C’

5

FCC’F=5BC’=BE+EF-FC’=19①

BC=BE+EF+FC=29②13【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5sinB

=

AE

=

4AB

5AE

=12DF=AE=12BE=9EF=AD=15BCAD1512159

E12

1315

C’

5

FCC’F=5BC’=BE+EF-FC’=19①

BC=BE+EF+FC=29②13【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題3.

梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=15，DC=13，∠B為銳角，sinB=

4

．求BC的長．5解：作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分別為點E、F易得四邊形AEFD為矩形，4在Rt△ABE中，AB=15，sinB=5∴BC=BE+EF+CF=29或BC’=BE+EF-C’F=19BE

= AB2

-

AE

2

=

9ADE

C’

F

CB∴

AE

=

AB sinB

=

12,∴

DF

=

AE

=

12,在Rt△ABE中，DC=5∴

CF

= DC

2

-

DF

2

=

5在梯形中“已知一底兩腰及高求另一底”這類問題中，經(jīng)常會遇到多解，應(yīng)引起注意．【點評】【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BCAD3E

36F例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．分析：【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BCDE336330°AF

=AC12Rt△CBEBCCE

==

2

3cos—

ACF∠ACF=30°AAEF例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．分析：Rt△ACF30°【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BCADE336330°F例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．解：作AF⊥直線BC，垂足為F，∵∠ADB=∠B，∴AD//BC，∵DB⊥BC，∴AF=DB=3∵AC=6，∴∠ACF=30°21∴AF=

AC在Rt△BCE中，BC3CE

==cos—

ACF

cos300=2

3∴

AE=AC－CE=6－2

3【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用例題4.

如圖，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°,BD=BC=3，AC=6．求AE的長．BCAD8E

915FBD=9BC=8AC=15三角比是一種特殊的線段之比，在直角三角形的背景下求線段之比常可以歸結(jié)為求三角比．在解題中運用三角比的定義和特殊角的三角比值進(jìn)行線段的長度計算常能達(dá)到事半功倍的效果．【點評】9【典型例題講解】1、在幾何計算中的應(yīng)用BPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用sin—

ABC

=

PDBPPE

=

PC

sinCPD

=

BP

sin—

ABCsinC

=

PEPCBH

=

BC

sinCBHsinC

=BC例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．分析：ABAPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用PD

=

BP

sin—

ABCPE

=

PC

sinCsin—

ABC

=

sinCPD+PE=(BBPP++PPCC)sinCPD+PE=

BBCC

sinCBH

=

BC

sinCPD+PE=BH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．分析：①利用銳角三角比BAPDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用同理，PE

=

PCsinCBP∴

PD

=

BP sin—

ABC證明：在Rt△PBD中，

sin—

ABC

=

PD∴

PE

+

PD=

BPsinC

+

PCsinC=

(BP

+

PC)sinC

=

BCsinC在Rt△BCH中，BH=BCsinC∴

PD+PE=BH∴

PD

=

BP

sinC∵

AB=AC∴

∠ABC=∠C例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．APDBHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用F△BPF≌△PBDPD=BFPE=FHPD+PE=BBFH+FH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC

于點E．求證：PD+PE=BH．②利用全等三角形（截長補(bǔ)短）作PF⊥BH于FBAPHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用聯(lián)結(jié)APΔABP1

1ΔABPΔACPΔABCS +

S =

SΔAPC1S

=

AC

PE2ΔABC1S

=

AC

BH2S =

1

AB

PD2AC

1PD

AB+

PE

ACAC=

BH

AC2

2

2AC

DPD+PE=

BH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，③面積法APDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用PD+PE=

BHBP

=

PC

=

BCPD

PE

BHBP+

PC

=

BCPD

+

PE

BHBC

=

BCPD

+

PE

BHB④利用相似三角形△BPD∽△CPE∽△BCH例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，APDHEC【典型例題講解】2、在幾何證明中的應(yīng)用PD+PE=

BHBP+

PC

=

BCPD

+

PE

BHBC

=

BCPD

+

PE

BHB④利用相似三角形△BPD∽△CPE∽△BCHPPDDPPEEBBPP

=

PPCC

=

BBCBBHsin∠ABCsinCsinC銳角三角比例題5.如圖，△ABC中，AB=AC，BH是AC邊上的高，點

P是BC上任意一點，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．求證：PD+PE=BH．，BCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．1SΔADE

=

2

SΔABCS⊿ADE=S四BCDE【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用BCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．∠A=∠A△ADE∽△ABC【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用1SΔADE

=

2

SΔABC⊿ADES

=S四BCDEAE

=

ADAC

ABBCADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．cosA

=

AE

cosA

=

ADAC

ABAE

=

ADAC

AB∠A=∠A△ADE∽△ABC1SΔADE

=

2

SΔABC)2=

(ΔADESΔABCS

ADABAD

=

2AB

22cosA

=2【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用BADE例題6.

如圖，BD、CE是△ABC邊AC、AB上的高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE與四邊形BCDE的面積相等．求∠A的度數(shù)．又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABCC1∵S⊿ADE=S四邊形BCDE，即SΔADE

=2

SΔABC又∵∠A是銳角，∴∠A=45°

AD解：在Rt△ABD中，cosA

=

AB在Rt△ACE中，cosA=AEAC∴

AD

=

AEAB

AC=

(

AD

)2SΔABCAB∴

SΔADEAB

2∴

AD

=

2即cosA=22【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用【點評】在本題中，三角比起了兩個作用，一是根據(jù)三角比定義得到線段比例式，從而證明三角形相似，二是根據(jù)特殊角三角比的值求出銳角的大小．顯然，在幾何問題中恰當(dāng)?shù)剡\用三角比知識能使解題過程變得更為簡捷明快．BCADE【思考】下面兩道變式題：（1）在△ABC中，BD、CE是高，聯(lián)結(jié)DE，已知△ADE的面積是四邊形

BCDE面積的3倍，求∠A的度數(shù)．（2）在△ABC中，BD、CE是高，聯(lián)結(jié)DE，∠A=60°，求△ADE與四邊形BCDE面積的比．CADEFGBx例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點,DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（1）若∠DAF=

β

，試用x、β

的代數(shù)式表示BG

EC；AB∥CDBG

=

EBFC

ECBG EC

=

BE

FCBG EC

=

x (xcotβ

-

x)BE=DF=xxβ【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用DC=AD=xcotβ問當(dāng)tan—DAF=2

時，△AEF的面積是多少？3例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（2）當(dāng)tan—DAF=1

時，△AEF的面積為10，3BCADEGxFtan—

DAF

=13△AEF為等腰Rt△AD=

3

233x2ΔAEFS

=

1

AF

22AF2=10x2SΔAEF=

10DF=x=2【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用問當(dāng)tan—DAF=2

時，△AEF的面積是多少？3例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（2）當(dāng)tan—DAF=1

時，△AEF的面積為10，3CADEFG=ΔAEFSAF

2123

2tan—

DAF

=

23ΔAEFBS

=

13tan—DAF

=13AD=

32DF=

22AF2=262

2【典型例題講解】3、三角比的綜合應(yīng)用例題7.如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)是邊DC上一動點DF=x，AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，交CB的延長線于E，聯(lián)結(jié)

EF，交AB于點G．（3）如果

cos—

FAD

=

cot—

AFD，求

sin—

FAD

的值BCAEDFGcos—

FAD

=

cot—

AFDAD