2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題類(lèi)型總結(jié)含解析

2023屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題

類(lèi)型總結(jié)

一、重點(diǎn)題型目錄

【題型一】構(gòu)造函數(shù)力/3)型

【題型二】構(gòu)造函數(shù)e"7(⑼型

【題型三】構(gòu)造函數(shù)絆型

xn

【題型四】構(gòu)造函數(shù)與型

e

【題型五】構(gòu)造函數(shù)simr與函數(shù)/(⑼型

【題型六】構(gòu)造函數(shù)cose與函數(shù)/Q)型

【題型七】構(gòu)造e"與af(x)+bf(x)型

【題型八】構(gòu)造(kx+6)與/(x)型

【題型九】構(gòu)造ln(fcr+b)型

【題型十】構(gòu)造綜合型

二、題型講解總結(jié)

【題型】一、構(gòu)造函數(shù)小/(⑹型

例1.(2022-四川?鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/Q)滿(mǎn)足2口(乃+吐尸Q)V

0,/(2)=乎,則關(guān)于z的不等式/⑸>4的解集為()

4X

A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)

例2.(2022?河北?高三階段練習(xí))已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為廣(0,若對(duì)任意zC

[0,+8),都有3/(乃+>0恒成立,/(2)=2,則不等式(x-1)7(/-1)<16的解集是

【題型】二、構(gòu)造函數(shù)型

例3.(2022.河南?襄城高中高二階段練習(xí)(理))已知奇函數(shù)/(⑼的定義域?yàn)镽,其函數(shù)圖象連續(xù)不斷，

當(dāng)re>0時(shí)，(①+2)/3)+幻乂4)>0,則()

A?嚕>八2)B./(2)<0C./(—3)仔⑴>°D.^^>47(-2)

例4.(2022.江蘇?南師大二附中高二期末)已知/(c)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為7'Q),且對(duì)于任意

的;rCH,均有/(7)+廣(乃>0,則()

A.e-2021/(-2021)>/(0)，e2021/(2021)</(0)

B.e-2021y(-2021)</(0),e2021y(2021)</(0)

C.e-2021/(-2021)>/(0),e2021/(2021)>/(())

D.e-202l/(-2021)</(0),e2021/(2021)>/(0)

例5.(2022?遼寧?大連二十四中模板fl測(cè))已知函數(shù)9=Q),若/O)>0且f'Q)+時(shí)Q)>0,則有

()

A.f⑸可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B./(-I)>/(1)

C.j<c<專(zhuān)時(shí),/(sine)Ve-「/(cos:r)D./(0)<Ve/(1)

例6.(2022?黑龍江?哈爾濱三中方三階段練習(xí))/3)是定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足2/Q)+(Q)=xeS

/(-1)=—/,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A./O)在R上有極大值B./(①)在R上有極小值

C./(c)在R上既有極大值又有極小值D./(c)在R上沒(méi)有極值

【題型】三、構(gòu)造函數(shù)型型

例7.(2022?山東?潭坊一中高三期中)設(shè)函數(shù)/(立)是奇函數(shù)/3)Q€R)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)田〉

0時(shí)，/(c)>0，則使得/(。)>0成立的土取值范圍是()

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-oo,-l)U(0,l)D.(-1,0)U(l,+oo)

例8.(2022?安徽?馬山中學(xué)高三階段練習(xí))已知&=上￥2,6==,。=4匹則&,6,。的大小關(guān)系為

4e2兀

()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【題型】四、構(gòu)造函數(shù)孥型

e",

例9.(2022陜西?西安中學(xué)商二期中)已知定義在R上的函數(shù)/(為的導(dǎo)函數(shù)r(2)，且/0)<f'(x)<0,

則()

A.ef(2)>f(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>f(l),f(2)<ef(l)

C.ef(2)<f(l),f⑵<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef⑴

例10.(2022?江蘇?遂水縣第一中學(xué)高三階段練習(xí))f(x)是定義在R上的函數(shù)，;Q)是/(乃的導(dǎo)函數(shù),

已知F3)>/3),且AD=e，則不等式/(22-5)-e2"T>0的解集為()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+oo)D.(3,+°°)

例11.（2023?江西?筱州市段縣第三中學(xué)高三期中（理））設(shè)尸（乃是函數(shù)/Q）的導(dǎo)函數(shù)，且:（乃>

3/3）QeR）,/（+）=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,則不等式/（Int）</的解集為（）

A.（。號(hào)）B.）C.（0,</e）D.

例12.（2022-河北廊坊.南三開(kāi)學(xué)考試）已知定義域?yàn)镠的函數(shù)/（為的導(dǎo)函數(shù)為/3）,且/3）-/（x）=

2跣，,/（0）=0,則以下錯(cuò)誤的有（）

A.f⑸有唯一的極值點(diǎn)

B.f⑸在（-3,0）上單調(diào)遞增

C.當(dāng)關(guān)于2的方程/Q）=m有三個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0,4e-'）

D./（x）的最小值為0

【題型】五、構(gòu)造函數(shù)8kls與函數(shù)f3）型

例13.（2022?云南牌大席中高三階段練習(xí)）已知a=sin*,b=4,c=lnl.l,則（）

XXQJ.

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

例14.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（⑼及其導(dǎo)函數(shù)/'（⑼的定義域均為H,且/Q）為偶函數(shù)，

/瞪）=—2,3/（x）cosx+r（z）sinz>0,則不等式/（c+如cosSa;—/>0的解集為（）

A.（―y,+00）B.（一專(zhuān)，+8）C.（―y-,y）D,（y,+00）

【題型】六、構(gòu)造函數(shù)8o與函數(shù)f（力型

例15.已知函數(shù)/Q）的定義域?yàn)椋ㄒ粚?zhuān)晝），其導(dǎo)函數(shù)是r3）.有rQ）cos;r+/3）sinzV0,則關(guān)于x的

不等式商（0V27信）COSX的解集為（）

A.（f,f）B,（f,f）C-（"f）D-（-f-f）

例16.（2021?重慶?赤二期末）已知/Q）的定義域?yàn)椋?,+8）且滿(mǎn)足0,/（'）為/?的導(dǎo)函數(shù),

/（X）-f（x）=6%/+85/）,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）有極大值無(wú)極小值B./（X）無(wú)極值

C..f（x）既有極大值也有極小值D./（x）有極小值無(wú)極大值

【題型】七、構(gòu)造寸與寸（力+?（初型

例17.（2022-陜西?西安中學(xué)高二期中）已知定義在R上的函數(shù)/Q）的導(dǎo)函數(shù)/⑺，且/Q）<f（x）<

0,則（）

A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)

C.ef(2)</(l),/(2)<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef(l)

例18.(2022?河南?高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)=az—e?！渲衑為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若kE

[-l,e2]時(shí)，函數(shù)/⑸有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的可能取值為()

A.eB.2eC.e2D.3e

例19.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)9=/(/)的導(dǎo)函數(shù)為g=/'Q),當(dāng)力>0時(shí),

73)+￥?v0，且*2)=-3,則不等式/(2工-1X玄匕的解集為()

A.UB.(告,+8)

例20.(2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(/)="一±+2+^—6-0,其中6是自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)，若/(a—2)+/02)>4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-2,1)B.(-00,-2)C.(l,+oo)D.(-oo,-2)U(1,+<?)

M型】八、構(gòu)造(far+&)與fQ)型

例21.(2022?河南?高三階段練習(xí)(文))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/Q)的導(dǎo)函數(shù)為(3),若尸Q)V

2,且/(4)=5,則不等式〃2工)>2I+1-3的解集是()

A.(0,2)B.(0,4)C.(-oo,2)D.(-oo,4)

例22.(2022?河南?臬城方中高二階段練習(xí)(理))已知奇函數(shù)/Q)的定義域?yàn)镠,其函數(shù)圖象連續(xù)不斷,

當(dāng)0時(shí),(x+2)/3)+xf(x)>0,則()

A.嚕>八2)B./(2)<0C./(-3)-/(1)>0D.^^>4/(-2)

【題型】九、構(gòu)造ln(feE+b)型

例23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))定義在(0,+8)上的函數(shù)/㈤滿(mǎn)足時(shí)?)+1>0,/(2)=1岐,則不

等式/(^)+久>0的解集為()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,1)D.(In2,+oo)

例24.(2022河南?需三階段練習(xí)(理))設(shè)a=cosy,b=々，c=In(普)，則a,b,c之間的大小關(guān)系為

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

例25.(2022?貴州?高三階段練習(xí)(理))己知命題p：在中，若/>?則sinA>手，命題q：Vc

>—Lx>ln(x+1).下列復(fù)合命題正確的是()

A.pf\qB.(np)A(-iQ)C.(np)AgD.pA(~IQ)

【題型】十、構(gòu)造綜合型

例26.（202%全國(guó)?高三階段練習(xí)（■））下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）

①log32>；②eln兀〈兀；③sinj>務(wù)；④3eln2<4V2.

o24o

A.1B.2C.3D.4

例27.（2022?江蘇?南京師大附中方三期中）已知函數(shù)/Q）=Inx-ad,則下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)aV*時(shí)，y=/（/）有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a>《時(shí)，/（工）40恒成立

C.當(dāng)a='■時(shí)，a?=1是y=/（刀）的極值點(diǎn)

D.若孫22是關(guān)于力的方程/（%）=0的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則XiX2>e

例28.（2022?黑龍江?齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）的定義域是（0,+8）,/（乃是

/（/）的導(dǎo)數(shù)，若/（%）=時(shí)'（z）—o，r（i）=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）在（0,卷）上單調(diào)遞減B./（x）的最大值為e

C.f⑸的最小值為一9D.存在正數(shù)g,使得/（g）Vlng

例29.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=N（e"+l）,g（力）=（力+l）ln①，若/（為）=g（x2）>0,

則生可取（）

A.1B.2C.eD.e2

導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題類(lèi)型總結(jié)

一、重點(diǎn)題型目錄

【題型一】構(gòu)造函數(shù)式"/(M型

【題型二】構(gòu)造函數(shù)e"7(⑼型

【題型三】構(gòu)造函數(shù)綽型

M型四】構(gòu)造函數(shù)黎型

【題型五】構(gòu)造函數(shù)sinx與函數(shù)/(⑼型

M型六】構(gòu)造函數(shù)cosx與函數(shù)/Q)型

【題型七】構(gòu)造e"與af(x)+bf(x)型

【題型八】構(gòu)造(%/+6)與/3)型

【題型九】構(gòu)造ln(fex+b)型

【題型十】構(gòu)造綜合型

二、題型講解總結(jié)

【題型】一、構(gòu)造函數(shù)獷/(⑼型

例1.(2022四川?起亭中學(xué)模擬演瀏(文))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(工)滿(mǎn)足2時(shí)(re)+x2f'(x)<

0,/(2)=乎,則關(guān)于z的不等式/⑸>4的解集為()

4X

A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)八(工)="/(c),得到函數(shù)以0的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令九(1)=x2f(x),則"(z)=2xf[x}+x2f'(x')V0,所以五(①)在(0,+°0)單調(diào)遞減，

不等式/(c)>3可以轉(zhuǎn)化為>4x-y=22/(2),即h⑸>h(2)，所以0VcV2.

故選：D.

例2.(2022?河北?高三階段練習(xí))已知奇函數(shù)”⑼的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為了'(/),若對(duì)任意力€

[0,+8),都有3/Q)+時(shí)'(0>0恒成立，/(2)=2,則不等式(x—-1)<16的解集是

【答案】(-1,3)

【分析】構(gòu)造新函數(shù)g(z)=//(￡),根據(jù)/Q)的性質(zhì)推出gQ)的性質(zhì)，最后利用g(x)單調(diào)性解不等

式.

【詳解】設(shè)9(0=d'/(2)，cCR,〃￡)為奇函數(shù)，；.g(—；r)=(一力十一工)=巾㈤=g(z),即g(rc)是

偶函數(shù),有g(shù)(x)=g(—x)=g(\x\),vVxE[0,+℃>),3/(x)+xf(x')>0恒成立，故kG[0,+?>)時(shí)，

g'(x)=3s2f(x)4-x3f'(x)=x2(3/(s)+xf'(x))>0,：.函數(shù)g(c)在[0,+<?)上為增函數(shù)，(2)=

2,g⑵=g(-2)=16,(x-1)-3-1)<16等價(jià)于gQ-1)<16=g⑵,g(x-1)=g(|c-1|)<g

(2),且函數(shù)gQ)在[0,+8)上為增函數(shù)，比一1|V2,解得一1VhV3.

故答案為：(一1,3)

【題型】二、構(gòu)造函數(shù)門(mén)3)型

例3.(2022?河南?泉城高中高二階段練習(xí)(理))已知奇函數(shù)/(切的定義域?yàn)镽,其函數(shù)圖象連續(xù)不斷,

當(dāng)0時(shí)，(c+2)/(c)+時(shí)，(土)>0,則()

A?嚕>八2)B./(2)<0。/(一3)力1)>°D.^^>4/(-2)

【答案】D

【解析】

令gQ)=/e7(a；),根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知其在[(),+oo)上單調(diào)遞增，由g(2)>,g(l)>g(0)=()可知AB錯(cuò)

誤，同時(shí)得到<4/(2),/(1)>0,/(3)>0,結(jié)合奇偶性知C錯(cuò)誤，D正確.

【詳解】

對(duì)于AB,令g(rr)=7%,/(0：),則g(0)=0,

g'(x)=x(x+2)e叭a;)+x^f'(x),

當(dāng)%>0時(shí)，g'(c)=xex[(x+2),/(re)+時(shí)'(￡)]>0,??.g(/)在[0,+o0)上單調(diào)遞增，

???g(0)Vg⑴Vg(2)，即0Vef(l)<4/⑵,

f(r)

.?J(2)>0,發(fā)</(2),AB錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由71的推理過(guò)程知：當(dāng)a;>0時(shí)，g(x)=x2exf(x')>0,

則當(dāng)0時(shí)JQ)>0,.-./(1)>0,/(3)>0,

又八工)為奇函數(shù)，.-.f(-3)=-f(3)<0,-/(I)<0,C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,由力的推理過(guò)程知：嚕<4/(2),又/(-1)=-/(I),/(-2)=-/(2)，，一生父<

f(T)、

-4/(-2),則>4/(-2),D正確.

故選：D.

例4.(2022?江蘇?南新大二附中商二期末)已知了(⑼為A上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(/),且對(duì)于任意

的;rCR,均有/3)+廣(乃>0,則()

A.e-20217(-2021)>/(0),e2027(2021)</(0)

B.e-2021/(-2021)</(0),e2021/(2021)</(0)

C.e-2021f(-2021)>y(0),e2021/(2021)>/(0)

2022

D.e-11f(—2021)</(0),e021f(2021)>/(0)

【答案】D

【解析】

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)F(z)=ex-f(x),F'(x)—[fix')+f,(a?)]?eI>0,

所以F(x)在R上遞增，

所以F(—2021)<F(0),F(0)<F(2021),

即e-20217(-2021)</(()),/(())<e2,,21-/(2021).

故選：D

例5.(2022-遼寧?大連二十四中模擬fl測(cè))已知函數(shù)?/=/(工)，若fQ)>0且/⑵+#(x)>0,則有

()

A./(T)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B./(-I)>/(1)

C.亍Va?V夕時(shí),/(sine)Ver/(cosx)D./(0)<Ve/(1)

【答案】D

【解析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合/(工)>0即可判斷A;令g(rc)=e7/(^)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知判斷函數(shù)g(工)的

單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)9(工)的單調(diào)性逐一判斷BCD即可得解.

【詳解】

解：若/3)是奇函數(shù)，則f(一工)=TQ),

又因?yàn)?(工)>0,與/(一式)=-f(rr)矛盾，

所有函數(shù)y=/(rr)不可能時(shí)奇函數(shù)，故4錯(cuò)誤；

令g(a?)=eV(?)?

則g'(jc)=趾量/(工)+e句'(z)=e1(女T)+1f⑸),

因?yàn)閑'2>0,f'(x)+xf[x}>0,

所以g'(a;)>0,所以函數(shù)gQ)為增函數(shù)，

所以g(一l)Vg⑴，即eV(-l)<eV(l),

所以/(-1)V/(l),故8錯(cuò)誤；

因?yàn)榕c<亨，所以0<COST<<sine<1,

所以sin力＞COST,

故g(sini)>g(cosi),R]7e2/(sina?)>e2/(cosrc),

ro67T-sin'rcoe<2x

所以/(sino;)>e2/(COST)=e2/(COSN)，故。錯(cuò)誤；

有g(shù)(0)Vg(l),即/(0)V何(1),故。正確.

故選：D.

例6.(2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí))/(x)是定義在7?上的函數(shù)，滿(mǎn)足2/Q)+f\x)=xex,

f(—l)=—a,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.“乃在R上有極大值B./Q)在R上有極小值

C./(⑼在R上既有極大值又有極小值D./(x)在R上沒(méi)有極值

【答案】

【分析】先由題意得/'(-1)=0,再構(gòu)造g(c)=e2#Q),得到g'Q)=加3,,進(jìn)而再構(gòu)造從c)=e2/⑸

=既3工—2g(2),判斷出h^X)>0,即/'(6)>0,由此得到選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，2/(⑼+f\x)=xe\故2/(—I)+r(T)=_據(jù)\

又汽T)=一蚩，得2(一*)+/'(-1)=-卷，故1(-1)=0,

令g?=e2V(a:),則g'(x')=2e2l/(?)+e2xf'(x)-e2l[2/(x)+/'Q)]=e21-xeT=xe3x,

又2e&/(a：;)+G2xf'(x)=記h(x')=e巧'(/)=xe^—2eixf(x)=xeiT—2g(x),

所以h'(x)=e31+'3xeix-2g'(x)=e3x+3;re址—2xei:C=eto(x+1),

當(dāng)①V—1時(shí)，片(工)<0,h(H)單調(diào)遞減;當(dāng)①>—1時(shí)，h'(x')>0,h(x)單調(diào)遞增,

所以八(⑼>MT)=?呷'(-1)=0,即e2?'Q)>0,即/3)>0,

所以/(⑼在E上單調(diào)遞增，故/(乃在R上沒(méi)有極值.

故選項(xiàng)ABC說(shuō)法錯(cuò)誤，選項(xiàng)。說(shuō)法正確.

故選：ABC

【題型】三、構(gòu)造函數(shù)型型

例7.(2022?山東?潭坊一中高三期中)設(shè)函數(shù)八⑼是奇函數(shù)/㈤QeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(一1)=0，當(dāng)c>

O0't，xfz(x)-/(x)>O，則使得/(6)>0成立的土取值范圍是()

A.(-oo.-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

C.(―8,—l)U(0,l)D.(―l,0)U(l,+8)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(0=A?,由求導(dǎo)公式和法則求出g'Q),結(jié)合條件判斷出g'3)的符號(hào)，

即可得到函數(shù)s(x)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)制奇函數(shù)判斷出s(x)是偶函數(shù)，由/(-I)=()求出。-1)=(),

結(jié)合函數(shù)gM)的單調(diào)性、奇偶性，再轉(zhuǎn)化/(x)>0,由單調(diào)性求出不等式成立時(shí)工的取值范圍.

【詳解】由題意設(shè)=與，則g'(c)=.'⑺-⑺

XX"

當(dāng)⑦>0時(shí)，有xf\x)—f(x)>0,當(dāng)1>0時(shí)，g\x)>0,

函數(shù)g(￡)=工?在(0,+oo)上為增函數(shù)，

???函數(shù)/(c)是奇函數(shù)，

???g(-%)=g(N),

函數(shù)gQ)為定義域上的偶函數(shù)，

g(i)在(-8,0)上遞減，

由/(一1)=0得，g(—1)=0,

,/不等式/(%)>0<=>x,g(x)>0,

frr>0弋(x<0

AAJ

b(x)>5(l)b(x)<g(-l)

即有x>1或一lVrcVO,

，使得>0成立的乙的取值范圍是：(T,0)u3+8),

故選:D

例8.(2022?安徽?馬山中學(xué)高三階段練習(xí))已知&=嗎2,匕==，。=歲則叫6,。的大小關(guān)系為

4e/冗

()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【詳解】令"為=崢，則1⑸=x-2fnx,

X

令/'(%)V(),解得

因此/(z)=上學(xué)在(Ve,+oo)上單調(diào)遞減，

m%lnV2ln4八,1Ine、In兀IIIA/TF廠(chǎng)、

又因?yàn)閍=^—=而=/(4),b=/=亨=/￡(6i),c=%=—^―=/(，元)，

因?yàn)?>e>VTT>Ve,所以aVbVc.

故選：C.

【題型】四、構(gòu)造函數(shù)要型

e

例9.(2022陜西?西安中學(xué)高二期中)已知定義在凡上的函數(shù)/Q)的導(dǎo)函數(shù)#Q),且/(⑼<f(x)<0,

則()

A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)

C.e/(2)</(l)，/(2)<叭1)D.v/(l)，/⑵>ef⑴

【答案】D

【分析】據(jù)已知不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)9(r)=幺?=>9'(工)=’(⑸,因?yàn)?(z)<f'(x),

ee

所以g'Q)>(),因此函數(shù)g(x)是增函數(shù)，

于是有g(shù)(2)>g(l)=華>粵■=/(2)>ef(l),

ee

構(gòu)造函數(shù)九3)=/(4)-e，="Q)=e，［/(a?)+f'(x)］，因?yàn)?(工)</\?)<0,

所以"(1)<0,因此h(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，

于是有/1(2)<h(l)ne2/(2)<ef(l)=>ef(2)</(l),

故選：D

例10.(2022?江蘇?注水縣第一中學(xué)高三階段練習(xí));(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是/(乃的導(dǎo)函數(shù),

已知r(±)>/(c)，且/(D=e,則不等式/(2c—5)—e2，f>o的解集為()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+co)D.(3,+°°)

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由r(c)>/3),得3)一/3)>0,

*(X_f(x)而“、一廣⑸一/儂)rn

設(shè)g［x)=——，則g(立)=----------->0,

ee;

f⑴

所以函數(shù)g(z)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)?(I)=3所以g(l)=—r-=1,

e

所以不等式/(2工-5)—e*5>o等價(jià)于以綜“>i

e

即g(2x-5)>g(l),所以2工一5>1,解得c>3,

所以不等式/(2/一5)-e2T-->>0的解集為(3,+8).

故選：D

例11.(2023?江西??州市哀縣第三中學(xué)方三期中(理))設(shè)(Q)是函數(shù)/(土)的導(dǎo)函數(shù)，且(Q)>

3/(乃QeR),/傳)=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式工㈤<爐的解集為()

A.(。號(hào))B.(十號(hào))C.(0,^6)D.

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(?)=---■,由已知可得函數(shù)g(i)在R上為增函數(shù)，不等式/(Inc)<x｝即為

e

9(1同〈9田，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

/(①)rf'Q)—3/Q)

【詳解】解：令9(/),則9’(工)_3x

因?yàn)?3)>3/(*)QeR),

.(xJ\x)-3/(s)

所以gQ)=-----麗----->0,

所以函數(shù)g(w)在R上為增函數(shù)，

f/(Inx)

不等式即不等式｛鎮(zhèn)41,

[x>0

V\"同/(Inc)/1\_，借)_1

-1

又g(lnx)-e31nM=①3，g(3)--v-，

所以不等式/(Inc)V/即為g(lnrc)Vg(專(zhuān))，

1QL

即Ina;<—,解得0V1V建、

o

所以不等式/(hm)V/的解集為(0,加).

故選：C.

例12.(2022-河北廊坊?方三開(kāi)學(xué)考試)已知定義域?yàn)榉驳暮瘮?shù)/0)的導(dǎo)函數(shù)為/3)，且/'Q)-/(x)=

2碇，,/(0)=0,則以下錯(cuò)誤的有()

A.7(X)有唯一的極值點(diǎn)

B./(⑼在(-3,0)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)關(guān)于/的方程/Q)=m有三個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,4e-i)

D./(x)的最小值為0

【答案】48。

【分析】構(gòu)造g?=/學(xué)，結(jié)合已知求g[x｝的解析式，進(jìn)而可得/(①)=立紜,再利用導(dǎo)數(shù)研究/(/)的

極值點(diǎn)、單調(diào)性，并判斷其值域范圍，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】令。⑸=空)則或⑼=/叫‘㈤=2x,故g(0=x2+C,(C為常數(shù))，

ee

所以/(力)—er(x2+C),而/(0)=e°(0+(7)=0,故(7=0,

所以f(力=x2ex,則f，(x)=(①2+2x)ex,

令/'(N)=0,可得/=-2或%=0,

在(-oo,-2).(0,+co)上/3)>0J3)遞增;在(-2,0)上廣⑸<0,f(x)遞減;

所以/(“)有2個(gè)極值點(diǎn)，在(一3,0)上不單調(diào)，46錯(cuò)誤；

由久趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)/3)趨向于()，/(—2)=3,/(0)=0,工趨于正無(wú)窮時(shí)/(力趨向于正無(wú)窮，

e

所以,f(a)=皿有三個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)a的范圍為(0,4€-2),/(±)的最小值為0,C錯(cuò)誤，。正確；

故選：ABC

【題型】五、構(gòu)造函數(shù)sinx與函數(shù)，(力型

例13.(2022?云南舜大附中商三階段練習(xí))已知a=sin[j-,b=尋,c=lnl.l,則()

1.XOX

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)/3)=%—sin6,c￡[0停],利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到aVb;根據(jù)結(jié)

構(gòu)構(gòu)造函數(shù)g(c)=lnc+1—宏，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到aVc;根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)拉3)=In

3+1)一方誓，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到cvb.

6x

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/3)=i—sinz,a€[0,y],則/'(n)=1—cosz—0,故函數(shù)g=/(①)在今]上單

調(diào)遞增，故H《)>/(0)=0^A>sin?以^~>^^aVb.

構(gòu)造函數(shù)g(c)=lnx+1一％,則g'Q)=十一1,易知函數(shù)g=g(z)在i=1處取得最大值g⑴=0,故

(7()V0,即Inf，+1—jy-V0,即-j-j-V-In^j-=ln-^-=lnl.1,由前面知sinypV三-，故aVc.

構(gòu)造函數(shù)九(％)=ln(x+1)—,則h!{x)=—-丁，-/=

3+x6+1(3+④)-(/+1)(3+6)-

x(a:—3),故知函數(shù)y=八3)在(0,3)上單調(diào)遞減，故從0.1)〈40)=0,即lnl.1〈賢=余,

(力+1)(3+X)2o?JLJJL

故cVb.綜上，a<c<b.

故選:B.

例14.(2022全國(guó)?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(⑼及其導(dǎo)函數(shù)廣e)的定義域均為H,且/Q)為偶函數(shù),

/倩)=-2.3/(①)854+(3)5m0：>0,則不等式/(0：+1>0的解集為()

A.(-?+8)B.(-號(hào)+8)C.(-多奇)D.信,+8)

【答案】B

【分析】令g(c)=/(2：)sin3x-結(jié)合題設(shè)條件可得g(c)為R上的增函數(shù)，而原不等式即為

9(工+￡)>0,從而可求原不等式的解集.

(詳解】/(2+與)cos%—[?>0可化為/(re+專(zhuān))sin3(x+￡)—}>。，

令g(c)=/(±)sin%一十，

則g'(%)=/'(i)sin%+3/(x)sin2a;cosx=siirx(ff(T)sinx+3/(T)COSX),

因?yàn)?f(x)cosx+ff(x)sinx>0,故g'Q)>0(不恒為零)，

故g(z)為R上的增函數(shù)，

故f（x+y）COS3T->0即為g（x+-y）>0,

而9（-*）=/（一專(zhuān)即『（一專(zhuān)）-}=_/■（強(qiáng)）sin1得）_/=0,

故g（i+-^）>0的解為①+$>一■嬴，

故i>一與即/（a7+^）cos%一}>0的解為（一華,+8）.

故選：B.

【題型】六、構(gòu)造函數(shù)CO8X與函數(shù)，3）型

例15.已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)椋ㄒ?爰），其導(dǎo)函數(shù)是/‘（力有/'（力）857+/（小也2〈0,則關(guān)于力的

不等式V3/（x）<2/倩）cos力的解集為（）

兀__7TD（2L一三）

B.（c.（中一32'6/

【答案】B

【分析】

令砥,）=鑒7,根據(jù)題設(shè)條件，求得R'3）V0,得到函數(shù)尸（宏）=鑒7在（一半￡）內(nèi)的單調(diào)遞減

）f（—]

函數(shù)，再把不等式化為旦旦<—結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.

cosxcos專(zhuān)

【詳解】由題意，函數(shù)/（力）滿(mǎn)足/'（力）cosc+/（N）sin4V0,

/（x）r（N）cosi+/（i）sini

令F（x）=-----,則F（X）=-----------3---------<0

cosxcos2x

函數(shù)尸（工）=駕；是定義域（一號(hào),需）內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于COST〉。，關(guān)于C的不等式何1㈤

COS^Z^2乙

V2/信）cosrr可化為f'（，J,即F（x）〈下信），所以一^VwV■且:r>■，解得￡〉土

一COSt

>X

6，

不等式《/㈤V2/（勻cost的解集為傳,奪）.故選:B

UU

例16.（2021?直慶?商二期末）已知“為的定義域?yàn)椋?,+8）且滿(mǎn)足”為>0,/3）為/Q）的導(dǎo)函數(shù),

/\x）—f（x）=e"3+cos/）,則下列結(jié)論正確的是（）

A./Q）有極大值無(wú)極小值B./（x）無(wú)極值

C.f（x）既有極大值也有極小值D.f（x）有極小值無(wú)極大值

【答案】B

【解析】

令F(s)=――,根據(jù)題意得到F'(x)=x+COSH,設(shè)gQ)=x+cosa：,a：>0,利用導(dǎo)數(shù)求得g(a：)在

e

區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增，得到尸(乃>0,由/(⑼=—9Q),得到/'(乃>0,即函數(shù)/3)為單調(diào)遞增

函數(shù)，得到函數(shù)無(wú)極值.

【詳解】

人j、一/(?)、，、-reL，/、一/'(立)一，⑸

令白(X)=一可付F(①)=----------,

ee

因?yàn)閒，(x)—/(x)=1(工+COST),可得斤'(c)=x+cosx,

設(shè)。(/)=工+cosrr,o;>0,可得9'(6)=1-sino;>0,

所以g(i)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增，

又由g(0)=1,所以g(a;)>g(0)=1,所以F'Q)>0,所以F(:r)單調(diào)遞增，

因?yàn)?(乃>0且e，>0，可得尸(力)>0,

因?yàn)镕(x)=,可得f(x)=ex-F(x),x>0,

e

則f(x)=e-FQ)+F'Q)]>0,所以函數(shù)fQ)為單調(diào)遞增函數(shù),

所以函數(shù)/(乃無(wú)極值.

故選：B.

M型】七、構(gòu)造M與4Q)+bf(x)型

例17.(2022-陜西?西安中學(xué)高二期中)已知定義在R上的函數(shù)/Q)的導(dǎo)函數(shù),且/(乃<f(x)<

0,則()

A.e/(2)>/(1)，/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l)，/(2)<ef(l)

C.e/(2)</(l)，/(2)<ef(l)D.叭2)Vf⑴，f(2)>叭1)

【答案】D

【分析】據(jù)已知不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)9(￡)=幺?=>g'3)=因?yàn)?(工)<f(x),

ee

所以g'(x)>0,因此函數(shù)g(x)是增函數(shù)，

于是有g(shù)(2)>g(l)=整〉上乎=/(2)>e/(l),

構(gòu)造函數(shù)九3)=f(x)-ex=>h!(x)=er[f(x)+f'(x)],因?yàn)?(z)<f'(x)<0,

所以<0,因此4a;)是單調(diào)遞減函數(shù)，

于是有M2)<九⑴0e2/(2)<ef(l)=>/⑵Vf⑴,

故選：D

例18.(2022河南?高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/Q)=3—e，—配其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若ke

[-l.e2]時(shí)，函數(shù)/Q)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的可能取值為()

A.eB.2eC.e2D.3e

【答案】D

【分析】由題意可知方程a“一W[-l,e2]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令g(c)=ar—e]，則g(①)的圖象與直

線(xiàn)?/=",卜6[-有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)gQ)的單調(diào)性與極值情況即可解決問(wèn)題.

【詳解】由題意可知方程Q%-ei=A;,kW[-l,e2]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

令g(c)=ax—ex,則g(%)的圖象與直線(xiàn)y=E[―l,e2]有兩個(gè)交點(diǎn),g\x)=a-eT.

(1)若Q&O,g'(c)VO在R上恒成立，所以g(i)在R上單調(diào)遞減，

g(i)的圖象與直線(xiàn)沙=阮k6至多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；

(2)若Q>0,當(dāng)eVIna時(shí)，g'(rr)>0,當(dāng)i>Ina時(shí)，g'3)<0,

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,lna)，單調(diào)遞減區(qū)間是(hm,+8),

所以當(dāng)出二Ina時(shí)，。3)取得極大值，也是最大值，為alna-a.

當(dāng)_8時(shí)，g(z)T_8,當(dāng)NT+8時(shí)，gQ)T-8,

所以要使g(z)的圖象與直線(xiàn)y=[―l,e2]有兩個(gè)交點(diǎn)，只需alna-Q>e,.

alna—a—a(lna-1),當(dāng)OVaWe時(shí)，alna—0,當(dāng)Q>e時(shí)，alna-Q>0,

所以alna—a>e2,a>e,

設(shè)九(a)=alna—a,a>e,則拉'(a)=Ina>0,

所以/I(Q)在(e,+8)上單調(diào)遞增，而/i(e2)=e2,

所以alna—a>e?的解為a>e?,而3e>e?,

故選：D.

例19.(2023?全國(guó)?方三壽題練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)g=/(0的導(dǎo)函數(shù)為g=/'(力)，當(dāng)c>0時(shí),

/'(c)+3V0，且/(2)=-3,則不等式/(2c-1)<與*的解集為()

X/NJL

A.(-8弓)U傳,+8)B.(~|~,+8)

c-(i'f)D-

【答案】A

【分析】根據(jù)題干中的不等式，構(gòu)造函數(shù)F(c)=01(2),結(jié)合y=/3)在在R上為偶函數(shù)，得到F(x)=

叭c)在R上單調(diào)遞減，其中9(2)=2/(2)=-6,分工>/與工〈4，對(duì)/(2工一1)〈就37變形，利

用函數(shù)單調(diào)性解不等式，求出解集.

【詳解】當(dāng)」>()時(shí),*，)+與=時(shí)<。,

所以當(dāng)1>0時(shí)，xf\x)+/(N)<0,

令尸(土)=時(shí)(力)，則當(dāng)c>0時(shí),F⑺=xfr(x)+f(x)<0,

故尸(①)=xf(x)在①>0時(shí)，單調(diào)遞減，

又因?yàn)閚=于㈤在在A上為偶函數(shù)，

所以尸(c)=時(shí)(，)在A上為奇函數(shù)，

故F*(N)=xf(x)在7?上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(2)=-3,所以F⑵=2/(2)=-6,

當(dāng)c>)時(shí)，八2工-1)<可言可變形為(2x-1)/(2c-l)<-6,

即F(2x-1)<F(2),

因?yàn)镕(x)=xf(x)在H上單調(diào)遞減，

所以2①一1>2,解得：X>y,

1Q

與化>5■取交集，結(jié)果為1〉可；

當(dāng)eV*時(shí)J(2z—l)V后:可變形為(2①一l)f(2a;-l)>—6,

即R(2z-1)>F(2),

因?yàn)镕(x)=xf(x)在A上單調(diào)遞減，

所以2x—1V2,解得：rrVj",

與7■取交集,結(jié)果為rc<y;

綜上:不等式/(2/一1)v/j的解集為(-82)U(1,+?)).

故選:A

例20.(2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/3)