2023高考數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)》微復(fù)習(xí)

2023高考數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)》微專(zhuān)題復(fù)習(xí)

1.函數(shù)/。)=61-&1111+(4-1)元有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2.已知函數(shù)/(x)=(x-"l)e*+6,若存在beR,對(duì)于任意xe[l,2],都有|/6)|埒，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

3.設(shè)函數(shù)-x+alnx(aeR)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x,x,若

X?2

?/”)-八\)(士i-2恒成立,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是_______.

X-x02-1

12

4.已知函數(shù)八*)=且”，g(x)=2￡_,若函數(shù)“x)=gG(x))+m有3個(gè)不同的零點(diǎn)

2xx-m

X1,X2,X3(X1<X2<X3),則2/0)+/(》,)+/(±)的取值范圍是.

5.已知函數(shù)f(x)=(x-2)e，-gx2+h(％是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828...)

在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

6.已知k>0⑦>0,且H+bZln(x+2)對(duì)任意的x>-2恒成立，則鄉(xiāng)的最小值為.

K

7.函數(shù)/G)的定義域和值域均為(0,鈣)，/G)的導(dǎo)數(shù)為/G),且

2/G)</'G)<3/G),則需黑的范圍是_____.

J\ZU1，)

8.已知函數(shù)/㈤Je-D.

ev

(1)討論〃X)的單調(diào)性；

(2)知a,b￡R,日一cibW0,右，aea+b—ae”=bea+8—be。,求證：〃+b>0.

9.已知函數(shù)/G)=ln(x+a).

(1)當(dāng)a=0,證明：/G)<e?-2;

(2)設(shè)若g(x)=/(x)-ar,且g(x)=g(x)=0(XHX),求證：x+x<0.

121212

10.已知函數(shù)/(x)=Inx+a\fx-2x(aeR).

(1)當(dāng)。=-2時(shí)?，求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x,x(x<x),

12I2

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍；②求證：X-X2>—.

I24

11.已知函數(shù)/(x)=ex-lnx,g(x)=xex+1.

e

(1)求函數(shù)/G)在+上的最小值；(2)證明：當(dāng)冗>0時(shí)，M1G)<g(x).

12.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+"(QER).

x

試卷第1頁(yè)，共2頁(yè)

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/G)有兩個(gè)零點(diǎn)x,x,求a的取值范圍，并證明：2a<x+x<1.

I212

13.設(shè)函數(shù)/(x)=e*-ax2-x-a,其中aeR.

(1)當(dāng)a=l,x>2時(shí)，求證：fM>0；

(2)若一,，為/⑶的極值點(diǎn)，且s>0,=求〃的值.

14.已知函數(shù)/(x)=g,feR,其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

ek

(1)若/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；

(2)若存在正數(shù)X,使得對(duì)任意x>0均有/Gb/G)成立.

00

證明：(i)e%>l+log2；

Ao

(ii)fG)<---(2x2-2.

0a3o

0

15.已知/G)=g，直線(xiàn)/為曲線(xiàn)y=/G)在Cj。))處的切線(xiàn)，直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=/G)

X

相交于點(diǎn)(sj(s))且s<r.

(1)求r的取值范圍；

(2)(i)證明：Inx41+l(x-e)--!—?(x-e)2+-J-.(x-e)3；

e2e23e3

(ii)證明：5>—r-3rlnr.

2

16.已知函數(shù)/(x)=lnx-ar.

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-2x+l,若g(x)40在其定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值:

(2)若方程/(x)=x2恰有兩個(gè)相異的實(shí)根、，x,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明

XX>\.

12

17.已知:函數(shù)力(犬)=以(a>0),Mx)=lnx.

⑴設(shè)gG)=-G)G),x>%>o時(shí)，滿(mǎn)足gG)=gG),求證:g'G)+g'G)<o；

2I2I12

(2)設(shè)/G)=Mx)xMx).對(duì)于正數(shù)入滿(mǎn)足\+入=1.求證：當(dāng)七>5>0時(shí)，

A,/(x)+X/(x)-/(A，x+九x)>0成立.

I1221122

試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)

參考答案

1.(0,1)51,E)

【分析】

將函數(shù)f(x)=所1-分1口工+(4-1)%在(0,+00)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為廣(X)在(0,討)上有

兩個(gè)零點(diǎn)，討論參數(shù)。，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法判斷出函數(shù)/'G)的單調(diào)性，求出最值，判斷其符號(hào)，

可得。的范圍.

【詳解】

■,/G)=ex-i-avlnx+(a-l)x,尸(x)=ez-alnx-1,

/0)在(0,曲)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/'(x)在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)g(x)=rG)=ex-\-a\nx-\,g(l)=0,

所以只要找到gG)在(o,北)上的另一個(gè)零點(diǎn)，

‘??/(工)二⑥一1-2,

x

當(dāng)〃(()時(shí)，g'(x)〉0,gG)在(0,”)上單調(diào)增，g(Q至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意.

當(dāng)〃=1時(shí)，/g〃G)=ei+J->0,,(1)=0；

X2

X€(O,1),grG)<0,g(x)單調(diào)減;xe(l,+00),g(x)>0,g(x)單調(diào)增,

??.g(x)=g(1)=0,gQ)在(o,RO)上有唯一的零點(diǎn).

min

當(dāng)0<〃<1時(shí)，?/g"(x)=ei+—>0,

X2

，

gG)=e?-i-l<0,g，(1)=1-〃>0,AXeGzj),使g'G)=O,

(oo

當(dāng)xw(o,x)時(shí)，g(x)單調(diào)減,當(dāng)％W(x,+oo)時(shí),g(x)單調(diào)增;

00

所以gG)=?G)<g(D=o,又>0,

min0(J

.?.女.卜：,土),使g(f)=o

此時(shí)gG)在(0,”)上有兩個(gè)零點(diǎn)1H,即/G)在(。,討)上有兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)〃>1時(shí)，由g〃G)=ei+P~>0

X2

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

g'(l)=l-a<0,g'(4)=?aT-l>0;.，.fw(l,〃)，使gQ)=O,所以

00

當(dāng)xw(l,V)時(shí)，g(x)單調(diào)減，當(dāng)XEG',+OO)時(shí)，gG)單調(diào)增；

00

所以gG)=g(/)<g(D=o,又當(dāng)時(shí)，gG)—>的

min°

/.(x\-K)O),使gG")=O

0

此時(shí)g(X)在(o,”)上有兩個(gè)零點(diǎn)l,x”，fG)在(0,他)上有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上：?€(0,l)U(l,+=O)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，需對(duì)函數(shù)多次求導(dǎo)，討論參

數(shù)范圍，確定單調(diào)性，尋找零點(diǎn)，屬于常考題型.

【分析】

設(shè)g(x)=(x-a-l)ex,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意xJ,2],都有g(shù)(x)-g(x)<e,利用導(dǎo)數(shù)研

maxmin

究g(x)的最值，建立關(guān)于。的不等式即可求解.

【詳解】

設(shè)g(x)=(x-a-l)eA,

由匕的任意性，結(jié)合題意可知，對(duì)于任意xe[l,2],-]<f(x)<],

即g(x)-g(.x)<e,

maxmin

又g'(x)=(…)e*,易知函數(shù)g(x)在(Y0,a)單調(diào)遞減,在3,3)上單調(diào)遞增,

①當(dāng)。41時(shí)，g(x)在[1,21上單調(diào)遞增，

則g(x)=g(2)=(l-4)ez,g(x)=g(y)=-ae

maxmin

故g(x)-g(x)=(l-a)e2+ae<e,解得a>l,此時(shí)無(wú)解.

maxmin

②當(dāng)a22時(shí)，g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，

則g(x)=^(l)=-ae,g(x)=g(2)=(l-a)e2

maxmin

e+1

故g(x)max=-ae-(l-a)e2<e,解得太a<-——

min6-1

③當(dāng)l<a<2時(shí)，g(x)在口，回-上單調(diào)遞減，在(。,2]上單調(diào)遞增，

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

則g(x)=g(a)=-e?,g(x)=max{g(l),g(2)},

minmax

故只需g⑴_(tái)g(。)=久_QC<e且g(2)_g(〃)=0"+(1-4)?2<e

記函數(shù)m(a)=ea-ae-e,則”(a)=e”-e>0,函數(shù)用3)在(1,2)上遞增,

則加(a)<m(2)=e2—3e=e(e-3)<0,

t己函數(shù)n(a)=e。+(l-a)e2-e則n\a)=一C2<0,

函數(shù)n(a)在(1,2)上遞減，則n(a)<〃⑴=.+0-e=0

故當(dāng)1<。<2時(shí)，g⑴-g3)<e且g⑵-g(a)<?恒成立，滿(mǎn)足題意，

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為，言)，

故答案為：(1,工j')

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，查了不等式的恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論

思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

3.67>^+-

e

【分析】

由函數(shù)f(x)=4-x+alnx(aeR)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x,x,可知/Q)不單調(diào)，利用導(dǎo)數(shù)求

X*2

得。的范圍，運(yùn)用韋達(dá)定理可得a=5+x,=x+，>2,作差),再由條件，結(jié)

I22元|2

2

合恒成立思想，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=1-x+竺二l/nx,(x>l),通過(guò)求導(dǎo)，

xe

判斷單調(diào)性可得x,2e,即可得到。的范圍.

【詳解】

解：???函數(shù)/(x)=，-x+alnx(4cR)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x,x,

X>2

了。)的定義域?yàn)?0,內(nèi))，

?、1.ax2-ax+1

f(x)------14--=-----------，

X2XX2

令g(R)=X2-數(shù)+1,其判別式△=02-4.

當(dāng)-時(shí)，△W0，r(x)40J*)在?”)上單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)。<-2時(shí)，A>0,g(x)=0的兩根都小于零，在(0,M)上，f'M<0,則/G)在(0,+8)上

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)a>2時(shí)，A>0,設(shè)g(x)=O的兩個(gè)根x,x都大于零,

12

a-Ja2-4a+J2a-4.

令X,x=----------,xx=1,

2-22------12

當(dāng)0</<工時(shí)，rw<o,當(dāng)時(shí)，r?>o,當(dāng)…時(shí),r(x)<o,

I122

故/(x)分別在(0，x)，(X，口)上單調(diào)遞減，在(x,x)上單調(diào)遞增，

I2I2

，々的取值范圍是(2,+8).

hill?=x+x=x+—>2,

?22X

,/f(x)-fG)=--x4-alnx---x+〃lnx

>2X?11%2；

1'2

+-x)+〃(lnx-\nx),

XX2I12

I2

1,Inx-InxcInx-Inx

-----]+a---1-------------a-=-2+a--------1-------------

X-xXXX-xX-x

12121212

/(x)-/(x)2e__Inx-Inx

若^―?—:——?-<----Q—2恒成立，則一2+Q.-?--------a-

X-X62-1X-X

12?2

Inx-Inx/2e

-------1------------<--------------,

x-xei-\

I2

不妨設(shè)x<x，則x-x<—―-(inx-Inx).

12?22ei2

1

又5

X

2

---x+-----Inx<0(x>1)①恒成立.

X2e22

、口\102—1八廠(chǎng)/\162-11

記F(%)=-x+Inx(x>l),F(x)=--1+?

xeX2ex

尸co在GxJ上單調(diào)遞增，在Q,y)上單調(diào)遞減,

22

且易知0<*<1<*<e.又/⑴=O,F(e)=O,

I2

；?當(dāng)?！?,e)時(shí),F(x)>0；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)<0.

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

故由①式可得，X“，代入方程g(x)=X2-?+1=0,

2222

得a=x+->e+-f(a=x+'在xw[e,+oo)上遞增).

2Xe2X2

22

又。>2,

???”的取值范圍是aZe+L

e

故答案為：a>e+—.

e

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查極值的運(yùn)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解

題的關(guān)鍵，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題.

4.(—1,())U((),5)

【分析】

先根據(jù)題意，求出"x)=gG(x))+w的解得/G)=￡,或然后求出f(x)的導(dǎo)函

數(shù)，求其單調(diào)性以及最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)〃Q)=gG(x))+，〃有3個(gè)不同的零點(diǎn)、，

X2,X3(X1<X2<X3),分情況討論求出2/0)+/G,)+/Q;)的取值范圍.

【詳解】

解：令t=f(x),函數(shù)Mx)=gG(x))+m有3個(gè)不同的零點(diǎn)，

即g(f)=±+m=0有兩個(gè)不同的解，解之得?==,t=-m

即/(x)=￡,或/G)=-m

因?yàn)?(。=萼的導(dǎo)函數(shù)

2x

((口=包二應(yīng)(*>0),令/'G)<o,解得x>e,rG-)>o,解得o<x?,

2x2

可得f(x)在(0,e)遞增，在(e,+oo)遞減；

f(x)的最大值為f(e)=；,且x->0jG)f-O0；xf田,/G)-o

且f⑴=o；

要使函數(shù)Mx)=gG(x))+"i有3個(gè)不同的零點(diǎn)，

(1)/G)=￡,有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/G)=-m有一個(gè)解；

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

(2)/G)=-m有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/G)=],有一個(gè)解

當(dāng)/(A)=有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/G)=-機(jī)有一個(gè)解，

此時(shí),不符合題意；

或是-m=0,機(jī)=0不符合題意；

-m<0

所以只能是八m1解得0<〃7<1

[22

/6)=-m，/G)=/G)=g,

1232

此時(shí)2/(x)+/(x)+/(x)=-m,

123

此時(shí)一1<一"7<0

/(、)=-機(jī)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)/(x)=T，有一個(gè)解

ynI

此時(shí)彳=不加=1,不符合題意；

22

或是g=0,m=0不符合題意；

m八

—<0

所以只能是「解得-；<皿<0

0<—m<—

[2

yG)=y,f(jc)=f(jc)=-m

此時(shí)2/(x)+/(x)+/(A-)=-m,

123

八1

0<-m<一

2

綜上：2/G)+/(x)+fG)的取值范圍是(-1，o)u(0,j

故答案為(-i，o)u(o，￡|

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合

的思想、分類(lèi)討論的思想，屬于綜合性極強(qiáng)的題目，屬于難題.

5.(1,e)U(e,e2).

【詳解】

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

解：由函數(shù)的解析式可知：/'(x)=&G-D+Mi-x),

函數(shù)的極值點(diǎn)滿(mǎn)足：/'(x)=ex(x-D+Ml-x)=(V.ex(x-D=k(l-x),

很明顯x=l是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，

函數(shù)的另外一個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足：％=e.,x€(0,lXXl,2),

函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

則函數(shù)＞的圖象與函數(shù)y=e”的圖象在區(qū)間(0,l)U(L2)有一個(gè)交點(diǎn),

故：4e(l,e)u(?,e2).

6.1

【解析】

設(shè)/(x)=fcr+b-ln(x+2),則由/'(x)=A--匚=0得：x=--2,當(dāng)當(dāng)xe(-2」一2)時(shí)，

x+2kk

((x)<0,當(dāng)XW(!-2,M)時(shí)，f\x)>0,所以當(dāng)x=!-2時(shí)，/(X)有唯一極值，也是最小

KK

^f(--2)=\-2k+b+\nk,所以由Ax+6Nln(x+2)對(duì)任意的x>-2恒成立，得

k

/J-2)=1—2k+/7+lnkZ0,可得622k-l-lnk,因?yàn)閗>0,故022-1一"“成立，

kkkk

^h(k)=2---—(Z>0),=~=~,當(dāng)％e(O,l)時(shí)，h\k)<0,當(dāng)

kkk2k2左2

讓(1,小)時(shí)，h\k)>0,所以當(dāng)％=1時(shí)，〃(％)=〃⑴=1,所以鄉(xiāng)21,故填1.

mink

7-(發(fā))

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=△2,xw(O,E),利用gG)的導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，由

e2x

g(2019)>g(2018)得空黑<’.構(gòu)造函數(shù)心)=小2,xw(0,小)，利用〃Q)的導(dǎo)數(shù)判斷

/(2019)e2e^x

出/式。在(0,+勸上為減函數(shù)，由〃(2019)<〃(2018)得名黑綜上所述可得嫖盤(pán)

f(2019)e3/(2019)

的取值范圍.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/也,xe(0,+O

e2x

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

則g,(x)==/'(x)-2/(x),

e4xe2x

又由2/(x)</'(x),則g，(x)>0,則函數(shù)gG)在(0,+s)上為增函數(shù)，

則g(2019)〉g(2018),即3>3,變形可得嫖魯<仝」，

02x2019?2x2018J(2019)￡2x201902

設(shè)力(x)=彌土Xe(0,+oo)

e3x

則h'(x)=f，M'e3x~3e3，/(x)=f'M-3/(x),

e6xC3x

又由/G)<3f(x),則"G)<0,則函數(shù)力Q)在(0,y)上為減函數(shù)，

則/?(2019)</?(2018),即/Q019)<“2018),變形可得上也經(jīng)吧=J_,

63x201903x2018/(2019)03x201903

殘AJ汨1J(2018)Jm/(2018)的計(jì)國(guó)旦(11)

綜合可得：一<rccic、<-'即r/cnic、的/圍是I—，-I；

e37(2019)e?/(2019)[e3e2)

故答案為：(一?,一].

[03e2)

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法求表達(dá)式的取值范圍，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難

題.

8.

(1)/(x)在單調(diào)遞減，在(0,+°0)單調(diào)遞增

(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】

U)對(duì)Ax)求導(dǎo)，注意至U/'(0)=。，研究尸(x)的分子，最終求出〃x)的單調(diào)性；(2)先對(duì)

aei-ae"=加“+〃-加“同除以e“+b,變形為f(")=/S),再構(gòu)造差函數(shù)解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

(I)

/'(x)="+xT,令g(x)=e*+x-l,則g'(x)=ex+l>0,

e.r

g(x)=e、+x—l在/?單調(diào)遞增，

注意到g(o)=o

.,.當(dāng)xe(-oo,0)時(shí),g(x)v0,此時(shí)/(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(0,+<?)時(shí)，g(x)>0,

此時(shí)尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

????〃外在(-0),0)單調(diào)遞減，在(0,他)單調(diào)遞增

(2)

aea+b—atb=加“+》-加°,等式兩邊同除以ea+b得：

a%.一1Jb—1)

-______=2______,即/⑷=/S)

e。eb

由(1)知：/(X)在(F,0)單調(diào)遞減，在(0,”)單調(diào)遞增

：.a,6一正一負(fù)，不妨設(shè)。<0<6

構(gòu)造新函數(shù)〃(X)=/G)―/(—X),則力(0)=0

..垢)=/心)+/，(-)=^^+^^1=[('+謳+1]"。)

e.re-x6X

令<pCv)=G+l)e*+x-l9則(p，G)=G+2)e.r+1

當(dāng)x>0時(shí)，顯然(P'G)>O恒成立，所以(pG)>(p(0)=0

又l-e.<<0對(duì)xe(0,+<?)恒成立，

所以在xe(0,+oo)時(shí)，h'(x)<0,即a(x)單調(diào)遞減

h{x}<A(0)=0

'：h>0

：.h(b)<0,g|]f(b)<f(-b)

；f(a)=f(b)

/(?)</(-/?)

其中a<0,-方<0,且/(x)在(YO,0)單調(diào)遞減

a>—b,HPa+>0

【點(diǎn)睛】

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的

應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，

但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、

化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，

這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一

種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

的功效

9.

(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)作差法，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-e?+2,研究其單調(diào)性和極值，得到Mx)<0,從而

inax

得到結(jié)論；(2)先對(duì)函數(shù)兩邊變形為指數(shù)形式，然后構(gòu)造新函數(shù)，解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

(1)

當(dāng)”=0時(shí)，/(x)=lnx,

令/?(x)=lnx-e、+2,定義域?yàn)?0,400)

則〃令(p(x)=L-ex

xx

則6(k)=-1-0<0在x￡(0,+<x))上恒成立

X2

所以<pG)=—以在x￡(0,+°0)單調(diào)遞減

x

因?yàn)?lt;p(￡|=2-而>0,(p(l)=l-e<0

所以存在唯一的兀使得甲G)=0,即

oI2)ox

0

且當(dāng)xw(0,x)時(shí)，(p(x)>0即〃(工)>0；當(dāng)XE(X,+OO)時(shí)，(p(x)<0即/fG)<0

00

故〃(x)=lni+2在xe(0,x。)單調(diào)遞增，在x式十包)單調(diào)遞減,

/?G)=\nx-e、+2=Ine-%+2=-x---+2,

max0X0X

00

因?yàn)橛蓪?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：-X-，+2在X單調(diào)遞增

。(2J。R0o12J

所以〃G)=-x-—+2<//(1)=0

max°X

0

故/?G)=lnx—ex+2<0恒成立，所以1g一。+2<0,即/(犬)〈。一2

(2)

XG(-6f,+co),不妨設(shè)一4<大<X

12

In(x+a)=ox

由題意得:即產(chǎn),「q二〃

InG+a^=ax[eax-x=a

222

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

令”(x)=em-x,則曠=a€0與y=a的圖象的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,x

I2

/(九)=〃6加一1,令/(x)=0得：X=-^-^-<0

a

Ina(\ln〃a^—\na

其中一一-=

aaa

因?yàn)闀r(shí)，〃2>ln〃，所以---^一(一〃)>0,即-e(-a,4-oo)

aa

所以函數(shù)〃G)=e，“-x在區(qū)間,a,-學(xué))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-岑,+8)上單調(diào)遞增

口_,Inci

于是可r知一〃<-----<x

2\na

要證5+%<°，只需證5+弓<-

nr.、2Ina\na

即證：X<-------X￡‘一,+oo

2a?a

Ina，位)上單調(diào)遞增，只需證“(X,)〈“,2lntz

又因?yàn)椤?-----x

ai

21ntz

因?yàn)椤啊?=蟲(chóng))，只需證"G)<"------x

a?

21ntz

令p(x)=〃(九)-〃------xxe一〃,=0

a

P-2\na

=aeax—2+ae-2\na-ax=aeax4-

p(x)單調(diào)遞增，且P，￥J=O

由于-a<x<-巫，故p(x)<0

?a?

即"(X)<］成立，即x+x<()成立

21aiJ?2

【點(diǎn)睛】

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題一般處理思路為構(gòu)造差函數(shù)，利用構(gòu)造的差函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行證明，函數(shù)

的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題

從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)

用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、

準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適

當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解

決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

10.

答案第11頁(yè)，共26頁(yè)

(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,3,單調(diào)遞減區(qū)間是(!，+8)

(2)①。>2；②證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)尸(x),由廣。)>0得增區(qū)間,由尸(幻<0得減區(qū)間；

(2)①函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x,x(x<x),等價(jià)于方程。=2?-也￡有兩個(gè)不同的

121277

實(shí)根x,x(x<x).設(shè)r=《，即方程-四■有兩個(gè)不同的實(shí)根/JG<f).

設(shè)g(t)=r-乎”>0),由導(dǎo)數(shù)確定g(，)的單調(diào)性、極值、函數(shù)值的變化趨勢(shì)后可得；

②由①f=J7,r=JT,要證x-x2>竺，只需證ri2>:.由①知，0<r<1<，，故有

，即，>巴.下面證明：f<>i即可.引入函數(shù)％0)=g0)-g(L),由導(dǎo)

2

2t2221222t

22

數(shù)證明g(0“)>0,利用單調(diào)性即可得結(jié)論.

2

(1)

對(duì)函數(shù)"X)求導(dǎo)，得.(x)4+；」_2=_4x+a1+2

x24x2x

當(dāng)。=一2時(shí)，/(幻=---24+2=-(6+1)(24-1),

2xx

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域(0,+8)，

由尸(幻>0,得0<x<4，

由廣(x)<0,得x>L

4

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(?，+?>).

44

(2)

由/(冗)=0,得InX+a\[x-2x=0f

①函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)XjX,(\<x),

等價(jià)于方程。=2正-勁更有兩個(gè)不同的實(shí)根x,x(x<x).

yJX1212

設(shè)即方程年?有兩個(gè)不同的實(shí)根管,(1,).

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

設(shè)g?)=f-一Q>o),

t

，/、[1-lnr/2+ln/-l

g⑺=1-------=---------，

12力2

再設(shè)〃(/)=/2+ln/-1,wV)=2r+->0

t

所以函數(shù)“⑴在，￡O+8)上單調(diào)遞增,

注意到〃⑴=12+Ini-1=0,

所以當(dāng)0<，<1時(shí)，w(r)<0,當(dāng).>1時(shí)，w(0>0.

所以g")在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,”)上單調(diào)遞增.

當(dāng)1-0時(shí)，g?)f+00,

+

當(dāng)f->+8時(shí)，g⑺—+OO,

當(dāng)，=1時(shí)，g(f)=l,

只需

即所求a>2.

②注意到f=J7,t=JT,要證X-X2>"2,只需證

1vI2v2124122

由①知，故有;=｛一｝<'2，即

2

下面證明：/1>1.

12

\n-

設(shè))=g。)-g(1)=(/-1n1)-(1一A)=r-1-(r+1)ln/,

22t2ff1212f2

22222

t

2

有〃。)=1+1-(1-1)lnr-(r+1)-1=-(l-1)lnr<0,

2t2t222ttt22

22222

所以函數(shù)〃(f)在(1,也)上單調(diào)遞增，

2

所以)>萬(wàn)⑴=0,

2

所以g(/,)-g(J)>°,故有g(shù)(;)<g(f,)=g(().

22

又0<r<1,且g(/)在fe(0,l)上單調(diào)遞減，所以!>4,即得，?/>1.

t1r112

22

因此結(jié)論得證.

122

【點(diǎn)睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)變量的處理，換

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

元f=4是一種技巧同，目的是使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題化為證明丫,>1,雙變量的

處理，先分離，(>：,利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性，表面上復(fù)雜化，證明g(()>g(：),實(shí)質(zhì)

22

上利用兩個(gè)變量的關(guān)系，此時(shí)可以進(jìn)行消元：g")=g(r),因此只要證g(f,)>g(,),為此

122I

2

引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)加以證明.本題考查了學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與

化歸能力，屬于困難題.

11.

(1)當(dāng)時(shí)，/(A)=eG+l)—ln(/+l)；當(dāng).2,時(shí)，/G)=et-\nt；當(dāng)

CminCmin

，時(shí)，/G)=2.

€6min

(2)見(jiàn)詳解

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)，討論函數(shù)/G)在+上的單調(diào)性，即可求解.

(2)根據(jù)題意，先證e-ex,放縮得e心-xlnxVexz+L化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)，即可證明.

e

(1)

由/(x)=ex-lnx,得r(x)=e-4=^l,xe(0,^),

XX

令r(x)>0,得0―1>0,即X”因此函數(shù)")在(o,j上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

遞增.

①當(dāng)ou+l/,即Ouv'e時(shí)，函數(shù)/(X)在憶+1］。>0)上單調(diào)遞減，因此

ee

f(x)=/(r+l)=(?G+l)-ln(f+l);

min

②當(dāng)年，時(shí)，函數(shù)/(X)在［u+l］(f>0)上單調(diào)遞增，因此/(x)=f(t)=et-\nt.

Cmin

③當(dāng)/<_L</+i,即上￡</<，時(shí)，函數(shù)/G)在。,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

eee\e)\e)

因此/(X)=/f->|=l-ln-=2.

min(ej6

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(x)=e(/+l)-lnG+l)；當(dāng)時(shí)，/G)=et-\nt；當(dāng)

eminCmin

^^<1/時(shí)，f(Q=2.

CCmin

(2)

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

證明：設(shè)〃（尤）=6-勿，xe（0,+oo）,則易得函數(shù)%Q）在（0,1）上單調(diào)遞減,

在（l,+oo）上單調(diào)遞增，因此"X）=/2（1）=0,故e*2ex恒成立.

min

要證4（x）<g（x），只需證ex2-x\nx<xex+—,

e

因?yàn)榫弥?jīng)，所以

ee

故只需證夕2-xlnxKex?+1（因x=l時(shí)，左邊小于右邊，所以可以帶等號(hào)），即xlnxN-L

ee

令（p（x）=xlnx,則。G）=lnx+1,易得函數(shù)（pG）在（0,j上單調(diào)遞減，在（卜母）上單調(diào)遞

因此當(dāng)x>0時(shí)，V（x）<g（x）.

【點(diǎn)睛】

分類(lèi)討論思想是高中數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容.分類(lèi)討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決

問(wèn)題的時(shí)候，將問(wèn)題劃分成不同的模塊，通過(guò)分塊來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的

分析處理能力和解決能力.

12.

（1）當(dāng)aVO時(shí)，/G）在0,3上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/（x）在（0,。）單調(diào)遞減，在（",+<?）

單調(diào)遞增

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）由（1）可得/（x）的極小值點(diǎn)為犬=。，則不妨設(shè)0cx<a<x,證明x+x>2a,即

I212

證：/（26Z-X）</G）=/（A；）,構(gòu)造函數(shù)

g（x）=/（2a-x）-/（x）=ln（2a-x）+lnx-@,證明g（x）<0即可，設(shè)x=tx,r>1,

2a—xx21

則ln（x+x）=『0+"一箸］,設(shè)八。）=曳，判斷單調(diào)性可得EG+1）〈生,進(jìn)而得證.

121/t-\）/-I/Z-1

（1）

解：（1）由f（x）=lnx+2,x>0,可得r（x）=1-2=^^,x>0.

XXX2X2

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

當(dāng)aVO時(shí).，fx>0,所以/（x）在0,3上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/G）=—>0,得x>a,令尸（x）=U<0,得0<x<a,

X2X2

所以/（X）在（0,。）單調(diào)遞減，在Q,母）單調(diào)遞增；

證明：（2）因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=lnx+3有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得a>0,

X

此時(shí)/（X）的遞增區(qū)間為（凡口），遞減區(qū)間為（0,a）,/G）有極小值/Q）=lna+1.

所以/Q）=lna+1<。，可得〃<1.所以0<〃<,.

ee

由（1）可得/G）的極小值點(diǎn)為x=。，則不妨設(shè)

設(shè)gG）=/（2"x）-/（x）=In（2〃-/）+------lnx~—,xG（0,6f）,

2a-xx

可得

所以gG）在（o,a）上單調(diào)遞增,所以gG）<gQ）=O,

即/（2a-x）-/（x）<0,則/（2a-x）</O,xc（0,a）,

所以當(dāng)0<x<〃<x時(shí)，2a-x>a,^f（2a-x）<f（x）=f（x）.

12III2

因?yàn)楫?dāng)X￡（a,+oo）時(shí)，/G）單調(diào)遞增，所以2〃-x,即x+x>2a.

1212

Inx+=0,

1

xInxX2=t,即Inx=t\x\x=t\v\tx=r（inx+Inr）.

設(shè)工=比，r>l?則，1,則I1