2023屆高中數(shù)學(xué)大題二輪復(fù)習(xí)第40講隱零點(diǎn)-解析版

第40講隱零點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會(huì)歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單

調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系,導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷、數(shù)值上的精確求解

或估計(jì)，是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最核心的問題.導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)其數(shù)值計(jì)算的差異

可分為以下兩類：

（1）數(shù)值上能夠精確求解的,稱為顯零點(diǎn).

（2）能夠判斷其存在但是無法直接表示的,稱為隱零點(diǎn).

對(duì)于隱零點(diǎn)問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧

妙的不等式應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高,往往是考查的難點(diǎn).

我們一般可對(duì)隱零點(diǎn)“設(shè)而不求”，通過一種整體的代換來過渡,再結(jié)合其他條

件，從而最終解決問題，一般操作步驟如下：

第一步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出一階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)方

程/'（不）=（），并結(jié)合/（x）的單調(diào)性，通過取特殊值逼近的方式得到零點(diǎn)的范圍.

第二步:以一階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)后為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)廣（力在％左、右兩邊的

正、負(fù)號(hào)，進(jìn)而得到/（x）的極值表達(dá)式“Xo）.

第三步:將零點(diǎn)方程/'（不）=0適當(dāng)變形，整體代人極值式子/（七）進(jìn)行化簡(jiǎn)

證明.

有時(shí)候第一步中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形，但只要抓

住特征（零點(diǎn)方程），判斷其范圍（用零點(diǎn)存在性定理），最后整體代人即可.請(qǐng)注意，進(jìn)

行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式用事函數(shù)替換,這是簡(jiǎn)化函數(shù)

的關(guān)鍵.

無參隱零點(diǎn)問題

隱零點(diǎn)證明無參不等式恒成立問題:已知無參函數(shù)/（X）,導(dǎo)函數(shù)方程

r（x）=o的根存在，卻無法精確求出,其一般解題步驟為：

第一步:求導(dǎo)，判定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)方程ra）=o的根為4.

第二步:寫出零點(diǎn)等式/'（而）=0成立.

第三步:取點(diǎn)找出注意確定X。的合適范圍。

第四步:把零點(diǎn)等式變形反帶回/（X）,進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而求解.

【例1］已知函數(shù)f(x)=3e*+X2,g(x)=9x-l.證明:

【解析】證明：設(shè)〃(x)=/(x)-g(x)=3e*+x2一9x+l,//(x)=3e*+2戈一9為增

函數(shù)，

二可設(shè)〃'(玉))=0.

//(0)=-6<〃(l)=3e—7>o

.?.而G(O,1).

當(dāng)x>x()時(shí),>0.當(dāng)x</時(shí)，

<0.

"1"=〃(％)=女"+%-9%+1.

又3e"+2x0—9=0,3e而=—2x0+9.

***=—2x()+9+玉；—9毛+1=—11%)+10=(%)—1)(不)—10)?

%)G(0,1),/.-1)(^-10)>0,

二〃(X)min>0J(x)>g(x).

【例2】已知函數(shù)/(x)=e'—ln(x+2),求證:.f(x)>0.

【解析】證明：r(x)=e，--L在區(qū)間(-2,+。)上單調(diào)遞增，

x+2

又r(-i)(o,r(o))o,

：.f\x)=0在(—2,+。)上有唯一實(shí)根為，且與e(-1,0).

當(dāng)xe(-2,題)時(shí),/'(x)<0.

當(dāng)X€(入0,+力)時(shí),/'(%)>0.

從而當(dāng)X=Xo時(shí),/(x)取得最小值.

1

由/'(不)=°，得e*,ln（x0+2）=-x0,

X。+2

；?/（%）?J（Xo）=-^+Xo='"+?〉0；./（x）〉0.

【例3】已知函數(shù)/(%)=*-x-xinx.

證明：〃力存在唯一的極大值點(diǎn)小,且匕一2</伉)<2一2.

【解析】證明：/(x)=x2-x-xlnx,/"(x)=2x-2-lnx.

設(shè)/z(x)=2x-2-lnx,

則Ar(x)=2--.

x

當(dāng)了￡(0《卜寸,"(x)<0.

當(dāng)X時(shí),”(%)>().

\2)

.?/(X)在(0,￡|單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又〃0)>0,〃出<0,72(1)=0,

/2(X)在(0,；］零點(diǎn)只有/，在零點(diǎn)只有1,且當(dāng)xe(CUo)時(shí),〃(x)>0.

當(dāng)xe(x()，l)時(shí),用(述)<0.當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),/z(x)>0.

r(x)=〃a),

；.x=%是/(x)在(0,1)上的唯一極大值點(diǎn).

由/'（占）=0得1mo=2（玉）一1）.

?1'/（%）=玉）（1-x（））?

由與40,1)得o</(%0)<-.

=是/(x)在(0,1)的最大值點(diǎn)，由

e-i€(0,1),廣?)。0得

2

/(%0)>/(e-')=e-.

22

.-.e-</(x0)<2-.

含參隱零點(diǎn)問題

含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題:已知含參函數(shù)/(x,a),其中。為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程

/'(x,a)=0的根存在，卻無法求出，其解題步驟為：

第一步:設(shè)方程/'(x,a)=0的根為0.

第二步:寫出零點(diǎn)等式_f(x,a)=0成立時(shí)，含％,a的關(guān)系式.

第三步:取點(diǎn)找出方的合適范圍,該范圍往往和a有關(guān).

第四步:反帶回/(x)進(jìn)行求解，通?？梢韵麉?

［例1］設(shè)函數(shù)/(x)=e2x-?lnx.

⑴討論的導(dǎo)函數(shù)/'(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)證明:當(dāng)a>0時(shí)/(x)..2a+aln—.

【解析】⑴/(X)的定義域?yàn)?o,+e)J'(x)=2e2jt--(x>0).

X

①當(dāng)a,,0時(shí),/'(x)>0J'(x)沒有零點(diǎn).

②當(dāng)a>0時(shí)，e2*單調(diào)遞增,-應(yīng)單調(diào)遞增.

X

.?/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增.

又/'(a)>。,當(dāng)匕滿足0<沙<?且時(shí),/'e)<0,故當(dāng)a>0時(shí),/'(x)存在唯一

零占

y八、、?

⑵(證明)由⑴題，可設(shè)了'(X)在(0,+oo)的唯一零點(diǎn)為當(dāng)xw(O,x())時(shí)，

rw<o.

當(dāng)X€+。)時(shí),/'(%)>0.

故“X)在(0,與)單調(diào)遞減，在(x0,+⑹單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)X=/時(shí),/(X)取得最小值，最小值為/(/).

由于2e2M_￡?=(),

%

a22

jfXQ)=------F2CLX0+“In—..2a+41rl-.

2x0aa

2

故當(dāng)a>0時(shí),/(力..2。+<7111—.

【例2】已知函數(shù)/(x)=e*-ln(x+An).當(dāng)冉2時(shí)，證明"(x)>0.

【解析】證明：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-加,則

廣(什_?.二1.

x+mx+m

設(shè)g(x)=(x+加)e'-l.

g'(x)=(x+〃z+l)e'>0,

.?.g(x)在(-n+力)上單調(diào)遞增.

2-m

又..g(_m)=_i^0,g(2-/?)=2e-l)2xl-l>0

g(X)=0在(-機(jī)+8)上有唯一實(shí)根與.

當(dāng)X€/)時(shí),g(X)<0,廣(X)<0.

Z

當(dāng)X€(不,+8)時(shí),g(x)>O,/(x)>0,從而當(dāng)X=/時(shí),/(X)取得最小值為/(xo).

由方程g(x)=0的根為X。，得,ln(x0+m)=-x0

故/(x0)=-!—+x0=-5—+(x0+m')-m..2-m，當(dāng)且僅當(dāng)見+機(jī)=1時(shí)，取等號(hào).

x()+mxQ+m

又,/%,2時(shí),.

/(左)..0取等號(hào)的條件是%+加=1，e"=工;最及加=2同時(shí)成立，這是不可能的,

，/(西))>0,故/(x)>0.

［例3］已知函數(shù)/(x)=Ae*T,g(x)=Zdnx+&(x+l).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

⑵證明:當(dāng)人>0時(shí)，方程〃X)=攵在區(qū)間(0,母)上只有一個(gè)零點(diǎn).

⑶設(shè)〃(x)=/(x)-g(x),其中k>0,若/z(x)..O恒成立，求女的取值范圍.

［解析】(1)/(x)=xet+l,

:.f'{x)=e'T+xex+1=(x+l)ex+l,

令r(%)>o得萬>—i.

令r(6<o得x<-1.

故〃x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1),單調(diào)增區(qū)間為(T+功.

(2)證(明)設(shè)=(x)-左=xe'”-左，左>0,

則?x)=(x+l)e可由⑴題可知/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又(0)=-k?,t(k)=雇X—%=女仁川T》0，

.?/(X)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).

故當(dāng)2>0,方程/(%)=%在區(qū)間(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).

(3)由題意得〃(%)=/(x)-g(x)=xe*+i-Zdnx-Z(x+l),(x>0M>0),

"(x)=(x+l)eA+1———k=x+1(xe'+i-k).

XX

令〃'(x)=0,則肥㈤一Z=0.

由⑵題得r（x）=xe'M-N攵＞0,在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增且只有一個(gè)零點(diǎn).

不妨設(shè)r（x）的零點(diǎn)為%,

則當(dāng)xe（O,x（））時(shí),f（x）＜0,即”（x）＜0,止匕時(shí)//（%）單調(diào)遞減.

當(dāng)xe(x()+<?)時(shí),f(x)>0,即"(x)>0,此時(shí)7i(x)單調(diào)遞增,

/.函數(shù)的最小值為人(王),且〃(%))=~優(yōu)+|-4嗎)一%(王)+1)-

k

A+l

由xoe°—k-Q^xa-——-，故

k

fi(x0)=k-0n、.M-J(%o+1)=k-kink.

根據(jù)題意//(左)..0,即女-他次..0,

解得0〈匕,e.

故實(shí)數(shù)Z的取值范圍是（0,e].

隱零點(diǎn)求最值

利用隱零點(diǎn)求最值的步驟：

第一步:求出一階導(dǎo)函數(shù)r（x）,并判定其單調(diào)性（也可利用二階導(dǎo)函數(shù)來判

定）.

第二步:利用零點(diǎn)存在定理判定尸（力存在零點(diǎn),寫出零點(diǎn)方程廣（為）=0,并

確定零點(diǎn)取值范圍:玉）€（〃，》）?

第三步:通常極值就是最值，寫出最值表達(dá)式/（%）.

第四步:零點(diǎn)等式變形代人最值表達(dá)式，這里常用到一個(gè)指對(duì)互化的變形方式：

e，"—^-=0oe"=—＜=＞x（）e"=1o

玉）玉）

In(乙戶”>)=lnx0+%=0

x+lnx+1

【例1】求函數(shù)*x)=：(x>0)的最大值.

【解析】由已知得

1+-xex-(x+l)eAx(x+lnx+l)

F(x);二2——7—3—

-(x+l)(x+lnx)

令夕(％)=兀+111%(1>0),則(p\xj=1+—>0

函數(shù)夕(力在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

/.存在e，使得夕(毛)=/+*=0,

Atl

其中玉,+lrur0=0oxoe=1(指對(duì)互化).

/.當(dāng)0<x<x()時(shí)，夕(x)(0,F'(x(0.

當(dāng)尤>與時(shí),(p[x)>0,廣(x)<0.

.?.尸⑴在(0,天)上單調(diào)遞增，在(%,+8)上單調(diào)遞減.

【例2]求產(chǎn)(x)=x(e，-l)-lnx+2,x>0時(shí)的最小值.

【解析】F,(x)=ev-l+xev--=ev(x+l)-^^-=(x+l)^ev--j,x>0.

/?(x)=ex--,x>0.

令"(x)=e*+=>0.

.??〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

存在唯一的/e,1]使得)=e%-J=0

當(dāng)0cx<玉)時(shí),〃(x)<0,即尸(x)<0.

當(dāng)x>玉)時(shí),〃(x)>0,即尸，(x)>0.

故E(x)在(0,小)上單調(diào)遞減，在伍,+“)上單調(diào)遞增.

v,,

E(x)min=面(e%一1)-1叭+2=x0e-x0-lnx0+2,

vA(,

由于h(x0]=e°--^-=0得xoe=1,

v<l

再對(duì)xoe=1兩邊取對(duì)數(shù)得%+lnx0=0.

x

???/(x)min=Xoe°-x0-lrw0+2=l-0+2=3.

【例3】求°(x)=A^±—e、+2的最大值.

--x-(l+lnr).22

【解析】“3=^~~p----------4=-*工°./>0

令〃(x)=-Inx-,則一(2xe“+x2eA^=---xev(2+x)<0(x>0),

在(0,+oo)單調(diào)遞減

又〃(，)=l-ec2>0,〃(l)=—e<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一零點(diǎn)尤0e2,1),使〃)=0,即-1叫,=$.

兩邊取對(duì)數(shù)可得ln(-lnxo)=21nxo+/,即ln(-l叫HI-IIUQ”七+1叫.

由函數(shù)y=x+lnx為單調(diào)增函數(shù)可得

x0=-liu0,

二.當(dāng)0卜?時(shí)

當(dāng)x>x()時(shí)，〃(x)<O,0'(x)<O.

二火同在(0,%)上單調(diào)遞增，在(內(nèi)),+8)上單調(diào)遞減.

夕(X),,夕(%)=1+"%-ex°+2=---—+2=1.

X。*0%

隱零點(diǎn)求參數(shù)取值范—一參變分離

參變分離法求解含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍問題，就是按參變分離的

基本步驟.不同的只是分離參數(shù)之后求最值時(shí),無法精確地求出極值，只能用隱零

點(diǎn)的方式求出一個(gè)范圍，所以所求最值也只是一個(gè)范圍.這一類題目，會(huì)有一個(gè)明

顯的特征,就是所求參數(shù)通常為正整數(shù)，只有這樣，參數(shù)才能取到一個(gè)確定的值。

【例1】已知函數(shù)/(%)=%(至+1)，若對(duì)任意的工€(1,+8),/(%)..租(％-1)恒成立，

求正整數(shù)〃?的最大值.

【解析】

由/(x)=x(lnx+l),則xe(l,+oo)時(shí)/(x)度-1)恒成立等價(jià)于xw(1,+e)時(shí)，相x(lnx+l)恒成立.

X-1

令g(上哈Dm,則g,(3若0

令/2(尤)=%—10%—2,貝肌'(犬)=1-1.

當(dāng)X€(1,+8)時(shí),/Z(x)>0,則〃(X)單調(diào)遞增

"(3)=1-ln3(0,0(4)=2-21n2)0,

.?.玉o?3,4),使得可修)=0。

當(dāng)xe(1,/)時(shí),g(O.xe(x0,+oo)當(dāng)0.

/、x)(lnx+1)

???g(X)min=g(%。)=-----(；)—?

xo-1

〃(毛)=5一1叫一2=0,1叫)=x0-2.

g(x)min=g(%)==X。e(3,4).

X?！?

m,,n)e(3,4),即正整數(shù)/加勺最大值為3.

［例2］已知函數(shù)/(%)=210￥-2依+2,且(工)="2_2］(?！?，若?！?,月.不等式

/(x)?g(x)在(0,+oo)上恒成立，求4的最小值.

【解析】不等式/(X),,g(x)為21nx-2利+2,加^2%在(0,+oo)上恒成立,

/.不等式2(lnx+l),,依2+2or-2x在(0,+8)上恒成立.

4

a..I,工在(°，+°°)上恒成立.

21nx+2+2x

設(shè)/?(x)=

x2+2x

2(x+l)(x+21ax)

則l(x)=-

(F+2犬J

當(dāng)x>0時(shí),x+l>0,(f+2x)->0.

2.

設(shè)°(x)=x+21nx.e(x)=1+—>0,夕(x)在(0,+。)上是增函數(shù),

3弓一21n2(0,奴1)=1)0,

(p

存在X。使得°伍)=0.

當(dāng)0<了<玉)時(shí)，o(x)(0,”(x))0.

當(dāng)%>/時(shí),勿(x)>0,/(x)<0.

.,./2(力在(0,天))上單調(diào)遞增，在5,+")上單調(diào)遞減.

0(x())=X。+21nA?()--0,lnx

02

則〃⑴M?(%)=2乜產(chǎn)=2±^=J

?VriI*4人Q人n"?乙人■fj八r

1(5,1),；.—e(l,2).又■_■aGZ,.'.

Q…---,,?XQG“min=2

X。

.'.a的最小值為2.

【例3】知函數(shù)/(6=史受，若"x),,e，+：-1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】由〃同,,6'+2—1可得電*,,6'+2_1

XXX

分離〃可得④—l)-lri￥+2,x>0.

令F(x)=x(e"—1)—lux4-2,x>0.

Fz(x)=ex-l+xeA--=ev(x+l)-^^=(x+l)ex--\x>0.

xx\x)

x+1>0,^/z(x)=eA--,x>0.

貝ij〃(x)=e*+J>0.

二./z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.〃[g]=捉一2<=e-l>o

存在唯一的與使得〃(x())=e*--—=0

當(dāng)0℃0時(shí)。(%)<0,即Fr(x)<0.

當(dāng)時(shí),/?(%)>0,即F<(x)>0.

故尸(x)在(0,無。)上單調(diào)遞減，在(如+”)上單調(diào)遞增.

A

尸(x)min=%(e聞一1)-1叫+2=x0e0-x0-lnx0+2,

由于〃(Xo)=e"--=1.

%0

再對(duì)x0e=1兩邊取對(duì)數(shù)得x0+lnx0=0.

x

F(x)min=xQe0-x()—lri￥()+2=1—0+2=3.

/.3.

即實(shí)數(shù)〃的取值范圍④3.

隱零點(diǎn)縮小參數(shù)取值范圍一一分類討論

分類討論法求解含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍問題，也是按前面的分類

討論的基本步驟.不同的是，在驗(yàn)證某一類參數(shù)范圍是否滿足條件時(shí)，要利用隱零

點(diǎn)來輔助驗(yàn)證，從而排除并縮小范圍.

【例1］若不等式力在［1,+8)上恒成立，求人的取值范圍.

【解析】由題意,。(工-1,，-1111..0在［1,+00)上恒成立.

⑴若”,0,當(dāng)乂.1時(shí)，顯然有〃(％-1)@-1叫,0恒成立,不符題意.

⑵若力>0,記/i(x)=5(％-1)e"—liw,則〃(x)=bxe,x-->

顯然“(X)在［1,+8)單調(diào)遞增.

⑴當(dāng)嗎x1時(shí),力'(丘)廉'(1)=加_10.

.?.工￡［1,+8)時(shí)，〃(%)..//(1)=0.

(2)當(dāng)0<0<1時(shí),〃'(1)=從一1<0,

存在x°〉l,使〃'(x)=0.

當(dāng)時(shí),〃'(x)<0.

當(dāng)xe(x(),+oo)時(shí),〃(x)>0.

在(1,拓)上單調(diào)遞減，在［，+“)上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),〃(》)<〃(1)=0,不符合題意.

綜上所述,所求匕的取值范圍是

注意:本題可用后面章節(jié)的端點(diǎn)效應(yīng)快速【解析】決.

【例2】設(shè)函數(shù)/(x)=(ax+l)eT(aeR),對(duì)任意XG[0,+OO),/(X),,x+1恒成

立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】令/i(x)=(ox+l)eT-x-l,則—,x+1成立等價(jià)于五(%),,0,

①若4,0,當(dāng)X..0,則辦+喇,0<b1=/(%)?1,

而尤+L.1,即/(%),,x+1恒成立.

②若0<4,2，則//(x)=e7(a-l-ox)-l,

當(dāng)x..0,由0=4-1-0￥,「(尤)=-1<0得0是減函數(shù),

[()Lax=r(0)=aT,L

又e：,1,:.〃'(x)<0,〃(x)在[0,+句上是減函數(shù)，

此時(shí)當(dāng)倔〃(0)=0.

③若

?>2,A,(O)=e^(?-l-axO)-l=?-2>O,/z,(l)=e-|(?-l-?)-l=-e-I-l<O,

.?."(x)=()在(0,1)有零點(diǎn).

在區(qū)間xe(0,1),設(shè)g(%)=〃'(x)=>g'(x)=e~x(6Lx+l-2iz)<e~A(1-iz)<0,

.?.”(?x)在xe(0,1)上是減函數(shù),

即”(力=0在(0,1)有唯一零點(diǎn)了,且在(0,國)上,〃(切>0.

在(0,%)為增函數(shù)，即在((),/)上⑼=0.

二/(x)>x+1,不合題意.

綜上可得，符合題意的。的取值范圍是(80,2].

注意:本題可用后面章節(jié)的端點(diǎn)效應(yīng)快速解決.

【例3】已知/(x)=(x—l)e'-a(x2+D.XWL+OO),若/(%)…一2a+lnx恒成

立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】令g(x)=(x-l)e*-a(尤2-1)-Inx

問題轉(zhuǎn)化為g(x)..O在xe[l,+oo)上恒成立.

g'(x)=求"一2必一工,注意至ijg(l)=0.

①當(dāng)時(shí)，g'(l)=e-2aT<0,

1

g，(ln(2a+1))=ln(2a+l)

ln(2a+l)

2a+1>e,

.?.ln(2a+l)>l,gr(ln(2?+l))>0.

存在%e(l,ln(2a+l)),使g'(玉J