第八節(jié)常系數(shù)線性齊次微分方程

第八節(jié)常系數(shù)線性齊次微分方程1第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四2.當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四3.當(dāng)時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四若特征方程含k重復(fù)根若特征方程含k重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四例3.解:由第七節(jié)例1(P293)知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為自由振動(dòng)方程,第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動(dòng)情況(

n=0)第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四解的特征:簡(jiǎn)諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四(n<k)小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t的增大物體趨于平衡位置.第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四(n>k)大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四(n=k)臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四例6.解:特征方程:即其根為方程通解:第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四例7.解:特征方程:特征根為則方程通解:第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四思考與練習(xí)求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四備用題1為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期四備用題2