第二章行列式

第二章行列式第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四§2.1

n階行列式二階、三階行列式（對角線法則）第二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四橫排稱為行，縱排稱為列.其中aij稱為行列式的元素．第一個(gè)下標(biāo)表示該元素所在的行數(shù)，第二個(gè)下標(biāo)表示表示該元素所在的列數(shù).第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例1計(jì)算三階行列式解：

第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四二階和三階行列式是最簡單的行列式.下面介紹n階行列式.首先需要弄清楚二階和三階行列式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，分析它們的共性,然后加以推廣,給出n階行列式的定義.為此,需要一些預(yù)備知識.第五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四2.排列定義:n個(gè)數(shù)碼1,2,…,n的一個(gè)排列指的是由這n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組，記為j1j2…jn．n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有n(n1)21=n！種．例如1234,2314都是四個(gè)數(shù)碼的排列例如1,2,3這三個(gè)數(shù)碼的所有不同的排列共有3?。?種．123,132,231,213,312,321第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例如，排列132有一個(gè)反序，321有三個(gè)反序．在一

(132)=1(321)=3在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在某一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)逆序(反序)．記為(j1j2…jn)．

(451362)=個(gè)排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)叫做反序數(shù),反序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,反序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.2+4+2+0+0+0=8

(523146879)=3+1+1+1+0+0+1+0+0=7第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四在一個(gè)排列里，如果交換兩個(gè)數(shù)碼i和j的位置，稱為進(jìn)行了一次對換.定理1

定理2在n個(gè)數(shù)碼的所有排列中,奇偶排列各占一半.任一對換(i,j)改變排列的奇偶性.

（各為個(gè)）第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四3.n階行列式有了前面的準(zhǔn)備工作,我們可以對二階和三階行列式作進(jìn)一步的研究,從而得出它們的結(jié)構(gòu)規(guī)律,利用這些規(guī)律來定義n階行列式.僅對三階行列式加以研究第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四1.三階行列式共有3！項(xiàng).總結(jié)三階行列式規(guī)律如下:3.每一項(xiàng)的元素都有兩個(gè)下標(biāo),第一個(gè)下標(biāo)都是按自然分析二階行列式也會發(fā)現(xiàn)完全類似的規(guī)律,根據(jù)這個(gè)規(guī)律來定義n階行列式.2.三階行列式的每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積,這三個(gè)元素既位于不同的行,也位于不同的列,而且所有既位于不同的行也位于不同的列的三個(gè)元素的乘積都在行列式中出現(xiàn).順序排列的,而第二個(gè)下標(biāo)構(gòu)成三個(gè)數(shù)碼的一切排列,與偶排列對應(yīng)的項(xiàng)取正號,與奇排列對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號.第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四定義

表示的n階行列式指的是n！項(xiàng)的代數(shù)和.用符號①也就是說,當(dāng)j1j2…jn是偶排列時(shí),這一項(xiàng)的符號為正,當(dāng)j1j2…jn是奇排列時(shí),這一項(xiàng)的符號為負(fù).這些項(xiàng)是一切可能的取自①的不同的行和不同的列上的n個(gè)元素的乘積項(xiàng)

的符號為第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四這一定義又可寫成表示對所有的n階排列求和.一個(gè)n階行列式正是前面二階和三階行列式的推廣.這里特別地,n=1時(shí),一階行列式|a|=a(與絕對值不同)注意：對角線法則只適用于二階和三階行列式的計(jì)算．第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例1

計(jì)算解：

這是一個(gè)四階行列式，展開后應(yīng)該有4！項(xiàng)，但是由于出現(xiàn)很多0，所以不為0的項(xiàng)就大大減少了.展開式中項(xiàng)的一般形式為第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四顯然，如果j14,則從而這一項(xiàng)就等于0，因此，只能是j1=4.同理，只能是j2=3，j3=2，j4=1即行列式中不為0的項(xiàng)只有因此，D=第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例2

計(jì)算n階下三角形行列式解:項(xiàng)的一般形式為顯然，只能是j1=1,

j2=2,…,jn=n因此，D=即下三角形行列式等于其主對角線上元素的乘積.第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四同理，上三角形行列式也等于其主對角線上元素的乘積.例3

計(jì)算第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四思考題：如何計(jì)算下面的行列式和第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四定理3

項(xiàng)在行列式中的符號為其中，s=(i1i2…in),t=(j1j2…jn)推論

項(xiàng)在行列式中的符號為第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即該性質(zhì)表明，行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡對行成立的對列也成立，反之亦然．例如容易算出D=60，DT=60.§2.2行列式的性質(zhì)第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)2互換行列式的兩行(列),行列式變號．推論若行列式兩行(列)完全相同，則此行列式為零．第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四將階矩陣的元素所在的第行第列處的元素劃去后，中剩下的個(gè)元素按原來的排列順序組成階矩陣所確定的行列式記作，稱之為的余子式，為的代數(shù)余子式第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)3

行列式按行（列）展開法則行列式等于它的任一行(列)的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和，即

或

第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四推論

行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和或

即等于零.第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)4把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一常數(shù)，等于用此數(shù)乘行列式．推論1行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2若行列式的某一行（列）的元素全為零，則此行列式為零；若行列式某兩行(列)成比例，則此行列式等于零．第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如，第行的元素都是兩數(shù)之和：第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四則D等于下面兩個(gè)行列式之和：第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四計(jì)算行列式的一種基本方法是利用性質(zhì)將其化成三角行列式后計(jì)算．性質(zhì)6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常數(shù)后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變．第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例1

計(jì)算第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四解：第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例2計(jì)算解：把第2，3，4列均加到第一列上，得到第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例3

計(jì)算第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四解:第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例4

計(jì)算第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例5計(jì)算設(shè)A41+A42+A43+A44(Aij為aij的代數(shù)余子式)解:根據(jù)性質(zhì)3的推論,第2行各元素與第4行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘機(jī)之和等于0,所以A41+A42+A43+2A44=0A41+A42+A43+A44=A44即第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四又因?yàn)樗訟41+A42+A43+A44=9第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四*例6這里記號“”表示全體同類因子的乘積．證明范德蒙（Vandermode）行列式第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四證:用數(shù)學(xué)歸納法．為此，從第n行開始，后行減去前行的x1倍，所以,當(dāng)n=2時(shí)等式成立.現(xiàn)假設(shè)等式對n－1階范德蒙行列式成立.要證明等式對n階范德蒙行列式也成立,因?yàn)閯t有第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四就有按第一列展開，并把每列的公因子提出，第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四故上式右端的行列式是一個(gè)n1階范德蒙行列式,其中按歸納法假設(shè)，它等于所有

因子的乘積第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四解

行列式中每行元素之和均為，從第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行減去第1行：例7

計(jì)算n階行列式第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四在上述諸例的計(jì)算過程中，起關(guān)鍵作用的是性質(zhì)3，6，特別是性質(zhì)6，即運(yùn)算ri+krj,其它幾種運(yùn)算只是使計(jì)算過程變得簡單一點(diǎn)而已．

稍作分析，便不難發(fā)現(xiàn)任何行列式總能利用運(yùn)算ri+krj化為上三角行列式，或化為下三角行列式．類似地，利用運(yùn)算ci+kcj也可把行列式化為上三角行列式或下三角行列式．第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例8設(shè)證明第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四證對作運(yùn)算，把化為下三角行列式，設(shè)為對作運(yùn)算，把化為下三角行列式，設(shè)為第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四于是，對的前行作運(yùn)算，再對的后列作運(yùn)算，把化成下三角行列式即第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例9

計(jì)算n階行列式第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四解：按第1列展開，得第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四這個(gè)式子對于任何n(n≥2)都成立.因此有而所以第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四§2.3

克萊姆（Cramer）法則對于方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的如下的線性方程組有下面的定理第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四定理1（克萊姆法則）如果線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行列式D=|A|≠0，那么線性方程組（1）有解并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表示為第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四注意：將行列式按第列展開，顯然其中是把矩陣中的第列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣行列式，即

第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四對于齊次線性方程組顯然一定是解，稱為零解.將克萊姆法則用于齊次線性方程組（5），可得定理1′

如果線性方程組（1）無解或至少有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四定理2如果齊次線性方程組（5）的系數(shù)矩陣的行列式D=|A|≠0，那么它只有零解.也就是說，如果方程組（5）有非零解，那么必有D=|A|=0第五十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四例1:解方程組第五十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四因?yàn)镈≠0,所以，根據(jù)Cramer

規(guī)則，它有唯一解解:系數(shù)行列式第五十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四因此第六十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四解：由定理2，如果方程組有非零解，那么它的系數(shù)矩陣的行列式例2：為何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？第六十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四由此得第六十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四將行列式化為上（下）三角行列式來計(jì)算，這是計(jì)算行列式的最常用方法.第二章小結(jié)計(jì)算行列式的方法特殊的行列式或者是大多數(shù)元素為零的行列式的計(jì)算.(1)利用行列式的定義計(jì)算：但這種方法只適用于一些(2)利用行列式的性質(zhì)計(jì)算：利用行列式的基本性質(zhì)(3)利用降階法計(jì)算：利用按行（列）展開公式將高階行列式化為低階行列式來計(jì)算.第六十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期四(4)利用遞推關(guān)系計(jì)算：利用行列式的性質(zhì)或展開公式找出遞推關(guān)系來進(jìn)行計(jì)算，此方法一般適用于含有字母的行列式的計(jì)算。(5)利用升階法計(jì)算：在行列式值不變的情況下，加上特殊的一行