第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念

第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念1第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2.1.1流體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)與固體運(yùn)動(dòng)相比復(fù)雜得多，在于:（1）流體由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，很難采用質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)理論來(lái)研究；（2）在運(yùn)動(dòng)中流體要變形，考慮流體團(tuán)塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，還必須考慮流體變形的因素。因此，流體運(yùn)動(dòng)學(xué)有鮮明的特點(diǎn)。2.1概述第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

在數(shù)學(xué)上，流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)就被表示為：空間和時(shí)間的函數(shù)。

vx=vx(x,y,z,t)vy=vy(x,y,z,t)

（2—1）

vz=vz(x,y,z,t)

場(chǎng)：由于流體團(tuán)所占據(jù)的空間每一點(diǎn)都是研究對(duì)象，因此就將其看成一個(gè)“場(chǎng)”。

流場(chǎng)：充滿流體的空間被稱為“流場(chǎng)”。相應(yīng)地有“速度場(chǎng)”、“加速度場(chǎng)”、“應(yīng)力場(chǎng)”、“密度場(chǎng)”等。

第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2.1.2流動(dòng)的分類(lèi)（1）流動(dòng)按其時(shí)間變化特性可分為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)

穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，也叫定常流動(dòng)、恒定流動(dòng)。

vx=vx(x,y,z)vy=vy(x,y,z)vz=vz(x,y,z)

非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間有關(guān)，也叫非定常流動(dòng)、非恒定流。如式（2-1）所示。（例1.2.3.）

說(shuō)明一點(diǎn)：流體流動(dòng)穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與所選定的參考系有關(guān)。（舉例說(shuō)明：等加速直線運(yùn)動(dòng)和等角速旋轉(zhuǎn)的容器中的液體）第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）流動(dòng)按其空間變化特性可分一、二、三維流動(dòng)

一維流動(dòng)：通常流體速度只沿一個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為一維流動(dòng)。

二維流動(dòng)：通常流體速度只沿二個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為二維流動(dòng)。錄像1錄像2

三維流動(dòng)：通常流體速度只沿三個(gè)空間坐標(biāo)變化的流動(dòng)稱為三維流動(dòng)。

第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四ZyxVx=0Vy=0Vz=Vz(x,y)Vz(a)二維流動(dòng)rzθVr=0Vθ=0Vz=Vz(r)(b)一維流動(dòng)

思考題：如果對(duì)于圖（a）中有Vx=0，Vy=0，Vz=Vz(x,y,z)則應(yīng)該屬于幾維流動(dòng)？其流動(dòng)有何特點(diǎn)？

說(shuō)明一點(diǎn)：流動(dòng)的維數(shù)與流體速度的分量數(shù)不是一回事。如圖（a）、(b)所示（詳細(xì)說(shuō)明）第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）按流動(dòng)狀態(tài)可分為層流和湍流（1.2.3.）1883年，著名的雷諾實(shí)驗(yàn)揭示出粘性流動(dòng)有兩種性質(zhì)不同的型態(tài)，層流和湍流。流態(tài)的判斷：判斷指標(biāo)是雷諾準(zhǔn)數(shù)Re=ρud/μ對(duì)于管內(nèi)流動(dòng)，Re<2300為層流，Re>4000為湍流。第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.2描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

2.2.1拉格朗日法（又稱質(zhì)點(diǎn)法）通過(guò)研究流場(chǎng)中單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而研究流體的整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。具體地說(shuō)：是沿流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行跟蹤研究。

基本思想：將流體質(zhì)點(diǎn)表示為空間坐標(biāo)、時(shí)間的函數(shù)。在描述流體時(shí)，跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)，指出各流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置和有關(guān)的物理參數(shù)（比如速度，壓強(qiáng)、密度、溫度）。

第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

要跟蹤流體，首先要區(qū)別流體質(zhì)點(diǎn)，最簡(jiǎn)單的方法是：以某一初始時(shí)刻t0質(zhì)點(diǎn)的位置作為質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置用直角坐標(biāo)系可表示為：r0r(a,b,c,t0)(x,y,z,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)2—3

式中：a,b,c被稱為拉格朗日變數(shù)。不同的一組（a,b,c）表示不同的流體質(zhì)點(diǎn)。2—4r=xi+yj+zk=r(a,b,c,t)

→→→→→或用矢量表示為第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2-5

其加速度可表示為：

2-6

式中：

vx=vx(a,b,c,t)vy=vy(a,b,c,t)vz=vz(a,b,c,t)ax=ax(a,b,c,t)ay=ay(a,b,c,t)az=az(a,b,c,t)

對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)，其速度可表示為：

第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

同樣流體密度、壓力和溫度可表示為：ρ=ρ（a,b,c,t）p=p（a,b,c,t）T=T（a,b,c,t）對(duì)于流體任一物理參數(shù)B均可類(lèi)似地表示為B=B(a,b,c,t).對(duì)于任一流體質(zhì)點(diǎn)的任一物理參數(shù)B的變化率都可以表示為：

第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

用拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，實(shí)際上函數(shù)B（a,b,c,t)一般是不容易找到的，往往不能用統(tǒng)一的函數(shù)形式描述所有質(zhì)點(diǎn)的物理參數(shù)的變化。所以這種方法只在少數(shù)情況下使用，在本書(shū)中主要使用歐拉法。第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.2.2歐拉法（也叫場(chǎng)法）

基本思想：在確定的空間點(diǎn)上來(lái)考察流體的流動(dòng)，將流體的運(yùn)動(dòng)和物理參量直接表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是沿運(yùn)動(dòng)的軌跡去追蹤流體質(zhì)點(diǎn)。例：在直角坐標(biāo)系的任意點(diǎn)（x,y,z）來(lái)考察流體流動(dòng)，該點(diǎn)處流體的速度、密度和壓力表示為：

v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+vy(x,y,z,t)j+vz(x,y,z,t)k

ρ=ρ(x,y,z,t)

p=p(x,y,z,t)

第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

按歐拉法，流動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的任意物理量φ（可以是矢量，也可以是標(biāo)量）均可表示為：

φ=φ（x,y,z,t）

若流場(chǎng)中任何一物理量φ都不隨時(shí)間變化，這個(gè)流場(chǎng)就稱之為穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)。相應(yīng)的流動(dòng)稱為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或定常流動(dòng)，或者說(shuō)對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)有：看錄像第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2.2.3質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

定義：流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率。拉格朗日法中，由于直接給出了質(zhì)點(diǎn)的物理量的表達(dá)式，所以很容易求得物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。

如速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（即加速度）為：

（2-15）第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)于歐拉法描述的流場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)以速度為例分析：

假設(shè)在直角坐標(biāo)系中存在速度場(chǎng)v(x,y,z,t)。設(shè)在時(shí)刻t和空間點(diǎn)p(x,y,z)處，流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：

vp=v(x,y,z,t)

zxypp?vΔt

經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔Δt后，該流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p′(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的距離為vΔt′。在p′點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

vp′=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)顯然，經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔Δt后，流體質(zhì)點(diǎn)的速度增量為：Δv=vp′-vp=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)-v(x,y,z,t)對(duì)上式右邊第一項(xiàng)作泰勒展開(kāi)并略去二階以上高階無(wú)窮小量得：又由矢量運(yùn)算公式：其中矢量算子叫哈密頓算子第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

于是質(zhì)點(diǎn)的速度增量可以表示為：

（2-16）

則速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)——加速度（2-17）

由上式可見(jiàn)，在歐拉法中，流體速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或加速度包括兩部分：第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

一部分是隨空間的變化率顯示流場(chǎng)在空間中的不均勻性。

另一部分是隨時(shí)間的變化率?v/?t

表示流場(chǎng)的非穩(wěn)態(tài)部分。

通常用符號(hào)Dv/Dt來(lái)表示歐拉法中的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，則（2-17）式可以寫(xiě)成：

類(lèi)似地，可用同樣方法得到其他物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，如密度和壓力的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)分別為：第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

推而廣之，歐拉法中任意物理量Ф的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)成：第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子。以D/Dt表示的導(dǎo)數(shù)通常稱為隨體導(dǎo)數(shù)。為使用方便，給出柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子的表達(dá)式：柱坐標(biāo)：r—徑向坐標(biāo)，θ—周向坐標(biāo)，z—軸向坐標(biāo)

球坐標(biāo)：r—徑向坐標(biāo)，θ—周向坐標(biāo)，Ф—軸向坐標(biāo)第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2-1.已知流場(chǎng)的速度為v=xti+ytj+ztk，溫度為T(mén)=At2/(x2+y2+z2)。求：1）流體質(zhì)點(diǎn)溫度的變化率。2）速度變化率即加速度。第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：1）第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四思考題：1.流體流動(dòng)與固體運(yùn)動(dòng)有何區(qū)別？2.流體流動(dòng)如何分類(lèi)？3.拉格朗日法和歐拉法的基本思想有何不同？4.兩種方法質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的求法是否相同？為什么？5.流體的速度導(dǎo)數(shù)包括那兩部分？6.試寫(xiě)出哈密頓算子、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子的表達(dá)式。第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.2.4兩種方法的關(guān)系

拉格朗日法和歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同方法，對(duì)同一流場(chǎng)，兩種方法都可以使用。因此兩種方法在數(shù)學(xué)上是可以互相推導(dǎo)的。在拉格朗日法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)被表示成拉格朗日變數(shù)(a,b,c,t)的函數(shù)；在歐拉法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)則被表示成歐拉變數(shù)(x,y,z,t)的函數(shù)。因此，兩種方法之間的關(guān)系就是兩種變數(shù)之間的數(shù)學(xué)變換。第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四(1)拉格朗日表達(dá)式→歐拉表達(dá)式可解得：則代入Ф=Ф(a,b,c,t)后，就得到該物理參數(shù)的歐拉法表達(dá)式Ф=Ф(x,y,z,t)。若已知拉格朗日法變數(shù)(a,b,c,t)表示的物理參數(shù)Ф=Ф(a,b,c,t)。由式第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)歐拉法表達(dá)式→拉格朗日表達(dá)式

對(duì)上面微分方程進(jìn)行求解，其結(jié)果為：

其中c1，c2，c3，是積分常數(shù)，由t=t0時(shí)的初始條件(a,b,c)決定。于是有

若已知用歐拉法變數(shù)(x,y,z,t)表示的物理量Ф=Ф(x,y,z,t)，則首先由歐拉法的速度表達(dá)式求出歐拉變數(shù)第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四并代入歐拉方法表達(dá)式Ф=Ф(x,y,z,t)后就得到該物理量的拉格朗日法表達(dá)式Ф=Ф(a,b,c,t)。第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.3.1跡線

定義：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線。跡線是某一流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路徑。(看錄像)

拉格朗日法表達(dá)式就是跡線的參數(shù)方程，即：2.3跡線和流線第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

從這個(gè)方程組中消去參數(shù)t并給定(a,b,c)的質(zhì)點(diǎn)就可以得到以x,y,z表示的流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的軌跡。在歐拉方法中，將速度定義v=dr/dt中的dr理解為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔dt內(nèi)所移動(dòng)的距離。因此，軌跡的微分方程即解這個(gè)方程并消去參數(shù)t后可得到跡線方程。第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2-2.已知用歐拉法表示的速度場(chǎng)

v=Axi-Ayj其中A為常數(shù)。求：流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：方法一

用速度場(chǎng)的跡線的微分方程為分離變量得：分別積分上式得：其中，c1，c2是積分常數(shù)。消去參數(shù)t得跡線方程:該流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的跡線為一雙曲線。

（b）

(a)第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

方法二拉格朗日法由(b)式得：

對(duì)于t=t0時(shí)位于x=x0=a,y=y0=b的流體質(zhì)點(diǎn)，由上式可得拉格朗日變數(shù)為：

于是可得積分常數(shù)

（c）第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四其結(jié)果與歐拉法結(jié)果相同。

說(shuō)明一點(diǎn)：拉格朗日法的結(jié)果也可寫(xiě)成

再代入(c)式的該質(zhì)點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2.3.2流線(1)流線的定義與性質(zhì)

定義：流線是任一時(shí)刻流場(chǎng)中存在的這樣一條曲線，該曲線上任一點(diǎn)的切線方向與流體在該點(diǎn)的速度方向一致。（看錄像）

注意：流線與跡線是兩個(gè)不同的概念。流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的一條流體線(可用照相機(jī)實(shí)現(xiàn))；而跡線是同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)的空間點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡線(可用錄像機(jī)實(shí)現(xiàn))。（看錄像）第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

流線的性質(zhì)：

1）除了在速度為零（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不確定或任意）和無(wú)窮大的那些點(diǎn)（該點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)是不連續(xù)）以外，經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能相交，因?yàn)樵诳臻g每一點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向；2）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有的流線形成流線譜；3）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，并與跡線重合。非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的。第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）流線方程流線上矢量增量與質(zhì)點(diǎn)速度流線zxryr′vdr0設(shè)r是流線上某點(diǎn)的位置矢量，v是流體在該點(diǎn)的速度矢量。根據(jù)流線的定義，由于速度與流線相切，所以流線微元段對(duì)應(yīng)的矢徑增量必然與該點(diǎn)的速度平行，由于兩個(gè)平行矢量的乘積為零，所以有即第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

上式即為流線方程的矢量表達(dá)式。在直角坐標(biāo)系中表示為：（解釋?zhuān)?/p>

說(shuō)明：由于流線是對(duì)同一時(shí)刻而言的，所以在上面方程積分時(shí)，變量t被當(dāng)作常數(shù)處理。在非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)下，流體速度是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在積分結(jié)果中則包含t，因此不同時(shí)刻有不同的流線。第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2-3.已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)

vx=x+t，vy=y+t試求：①跡線方程；②流線方程；③以拉格朗日變數(shù)表示的流體速度。第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

解：①將vx=x+t，vy=y+t代入跡線微分方程得：

解這個(gè)一階常系數(shù)微分方程得：

其中a，b為積分常數(shù)。

②將vx=x+t，vy=y+t代入流線微分方程得：第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四t被看成常數(shù)，則積分上式得：即：

由這個(gè)流線方程可見(jiàn)，流線是隨時(shí)間變化的，不同時(shí)刻有不同的流線。③將跡線方程代入歐拉速度表達(dá)式或由跡線方程求時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)可得拉格朗日法表示的速度為：第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四總結(jié)：1.拉格朗日法和歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種不同方法，對(duì)同一流場(chǎng)，兩種方法都可以使用。因此兩種方法在數(shù)學(xué)上是可以互換的。2.拉格朗日法表達(dá)式就是跡線的參數(shù)方程為：

從這個(gè)方程組中消去參數(shù)t并給定(a,b,c)的質(zhì)點(diǎn)就可以得到以x,y,z表示的流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的軌跡。第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.流線微分方程在直角坐標(biāo)系中表示為：3.在歐拉方法中解下面方程并消去參數(shù)t后可得到跡線方程。第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.3.3流管

定義：在流場(chǎng)中，作一條不與流線重合的任意封閉曲線，則通過(guò)此曲線的所有流線將構(gòu)成一個(gè)管狀曲面，這個(gè)管狀曲面稱為流管。幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）根據(jù)流線不相交的性質(zhì)，流管表面不可能有流體穿過(guò)；（2）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置都不隨時(shí)間變化；（3）非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流管的形狀和位置一般都是隨時(shí)間而變化的。第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四n2v2流線流線v1n1dAθdAA1A2如圖所示，流管表面與兩個(gè)流管截面A1，A2構(gòu)成一個(gè)封閉