第五章等參數(shù)單元

第五章等參數(shù)單元第一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元第一節(jié)位移模式和形函數(shù)一、位移模式在前面幾章中已闡明位移模式就是：單元內(nèi)任意一點的位移，被表述為其坐標的函數(shù)。在平面問題的單元中，任一點的位移分量可用下列多項式表示：第二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元為了使有限元的解能夠收斂于精確解，任何單元的位移模式都必須滿足以下三個條件：（1）位移模式中必須包括反應(yīng)剛體位移的常數(shù)項。（2）位移模式中必須包括反應(yīng)常應(yīng)變的線性位移項。（3）位移模式必須能保證單元之間位移的連續(xù)性。第三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元第四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元連續(xù)性分析：第五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元二、形函數(shù)在前面幾章經(jīng)過推倒將位移模式表示成：形函數(shù)應(yīng)滿足下列兩個條件：掌握了形函數(shù)的上述特點，就可以直接寫出其表達式，而不必再由位移分量的多項式方程推導(dǎo)出來，在下面分析等參數(shù)單元時，將直接用形函數(shù)表述。第六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元母單元首先，根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單且規(guī)整的單元，我們稱之為母單元。

1.一維母單元采用局部坐標ξ，單元為直線段，即。具體形式如下：1）線性單元（2結(jié)點）21-110(a)線性單元第七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四1-12013(b)二次單元等參數(shù)單元3）三次單元（4結(jié)點）圖5-1一維母單元圖5-1一維母單元2）二次單元（3結(jié)點）第八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四如圖5-2所示，坐標原點在單位形心上。單元邊界是四條直線：，。為保證用形函數(shù)定義的未知量在相鄰單元之間的連續(xù)性，單元結(jié)點數(shù)目應(yīng)與形函數(shù)階次相適應(yīng)。因此，對于線性、二次和三次形函數(shù)，單元每邊的結(jié)點數(shù)分別為兩個、三個和四個。除四個交點外，其他結(jié)點位于各邊的二分點或三分點上。等參數(shù)單元2.二維母單元二維母單元是平面中的2×2正方形返回1111+￡￡-+￡￡-hx第九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四圖5-2二維母單元(a)線性單元1234等參數(shù)單元1)線性單元（4結(jié)點）以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1,2,3,4）其中第十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元2)二次單元（8結(jié)點）角點：邊中點：（i=1,2,3,4）（i=5,6）(8-9)（i=7,8）(b)二次單元12348756第十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元3)三次單元（12結(jié)點）角點：（i=1,2,3,4）邊三分點：（i=5,6,7,8）(8-10)（i=9,10,11,12）第十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四圖5-3三維母單元(a)線性單元(b)二次單元732145689101112131415161819201758732146等參數(shù)單元3.三維母單元三維母單元是坐標系中的2×2×2正六面體如圖5-3所示，坐標原點在單元形心上，單元邊界是六個平面。單元結(jié)點在角點及各邊的等分點上。1)線性單元（8結(jié)點）返回第十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元2)二次單元（20結(jié)點）角點：典型邊中點：(8-12)3)三次單元（32結(jié)點）角點：典型邊中點：(8-13)返回第十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)等參數(shù)元的概念等參數(shù)單元在平面問題的有限元中，最簡單的單元是三節(jié)點的三角形單元，由于這種單元中的應(yīng)變及應(yīng)力是常數(shù)，而通常計算對象的應(yīng)力場又往往隨坐標而急劇變化，所以在應(yīng)用常應(yīng)變的三角形單元時，必須劃分大量的微小單元，才能得到較好的計算精度，因而用三節(jié)點三角形單元算題時，往往節(jié)點數(shù)最多，原始輸入數(shù)據(jù)龐大。四節(jié)點的矩形單元能夠比三角形單元更好的反映實際應(yīng)力變化，但它不能適府曲線邊界和非直角的直線邊界，也不便隨意改變大小。所以上述的兩種單元都有其不足之處。第十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元如果有任意四邊形單元，如圖(a)所示就可以克服矩形單元之不足，但是這種單元的位移模式如何能否滿足前面所述的條體則是本節(jié)要解決的問題。第十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元在圖（a)中的任意四邊形單元上，作連接對邊中點的直線，稱之為及，取其交點為原點，并令四邊上的坐標值分別為1，就得出一新坐標系，稱之為單元的局部坐標系。將局部坐標系改畫成直角坐標系，則圖(a)中的任意四邊形單元就變成圖(b)所示的正方形單元。第十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元這正方形單元的位移模式是：而其中形函數(shù)為：由圖（b）可知第十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元假如圖(a)中的任意四邊形單元能用上式的位移模式及形函數(shù)進行計算，則前面所提的位移連續(xù)性條件就可以得到滿足，所以問題歸結(jié)為：如何將任意四邊形單元的整體坐標(x，y)，變換成正方形單元的局部坐標()。根據(jù)形函數(shù)的兩條性質(zhì)：第十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四或改寫成：同樣可得：

等參數(shù)單元顯然在四個節(jié)點處，上式所示的關(guān)系無疑是成立的現(xiàn)在要證明在四條邊上，這關(guān)系也是正確的。以1—2邊為例，在此邊上局部坐標＝-1，代入，得等號左邊(x,y)是整體坐標，等號右邊()是局部坐標，因此上式被稱為坐標變換式。第二十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元通常稱局部坐標的正方形單元為母單元或基本單元，稱整體坐標的任意四邊形單元為子單元或?qū)嶋H單元。描述位移和描述坐標都采用相同形函數(shù)，所以這種單元稱為等參數(shù)單元。第二十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元1.平面坐標變換在整體坐標系中，子單元內(nèi)任一點的坐標用形函數(shù)表示如下(8-14)其中，N是用局部坐標表示的形函數(shù)，(x,y)是結(jié)點i的整體坐標，上式即為平面坐標變換公式。返回第二十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四31-1120(a)線性單元123(b)二次單元等參數(shù)單元圖5-4一維單元的平面坐標變換返回圖5-4表示了一維單元的坐標變換。原來的直線狀的母單元分別變換成了直線、二次曲線和三次曲線狀的子單元，這是因為變換式中的形函數(shù)Ni分別是ξ的一次、二次和三次函數(shù)。第二十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四（a）母單元（b）子單元圖5-5二維單元的平面坐標變換1234875623154678等參數(shù)單元返回圖5-5表示了二維單元的平面坐標變換。母單元是正方形，子單元則分別變換成任意四邊形和曲邊四邊形。而且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標是連續(xù)的。以二次單元為例，兩個相鄰單公共邊界上都是二次曲線（拋物線），而在三個公共結(jié)點上具有相同的坐標。因此，整個公共邊界都有相同的坐標，即相鄰單元是連續(xù)的。第二十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四7=1=1=1321456891011121314151618192017=-1=-1=-1xyz12345681091112131415161817192070等參數(shù)單元（a）母單元（b）子單元圖5-6空間坐標變換返回第二十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元2.空間坐標變換空間坐標變換公式如下其中：N是用局部坐標表示的形函數(shù)，(x,y,z)為結(jié)點i的整體坐標。經(jīng)過空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線；原來的平面將變成空間曲面；而原來的空間正六面體則將變成曲面六面體，如圖5-6所示。同樣可證明相鄰子單元在整體坐標下是連續(xù)的。返回第二十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元3.兩類坐標系的關(guān)系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體坐標之間的一一對應(yīng)關(guān)系。如果給定了局部坐標的值，則可以求出整體坐標的對應(yīng)值，反之亦然。從圖形變換的角度看，和可以分別看成是母單元和子單元這兩個不同單元的坐標系，它們都是直角坐標系。而從另一角度看，和又可以看成是同一單元（子單元）的兩種不同的坐標系。是子單元的直角坐標系，而可看成是子單元的曲線坐標系?？梢钥闯鍪冀K扮演同一角色，即子單元的直角坐標；而則扮演兩種角色，它既是母單元的直角坐標，又是子單元的曲線坐標。在有限元分析中，兩者的作用是不同的。直角坐標系在整個結(jié)構(gòu)的所有子單元中共同采用，所以稱為整體坐標。返回第二十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元而曲線坐標系則只適用于單個獨立的子單元，所以稱為局部坐標。整體坐標在整體分析中采用，局部坐標則在單元分析中采用。現(xiàn)在討論兩類坐標系中有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以二維坐標為例：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有上式可寫成矩陣形式返回第二十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四其中：[J]稱為雅可比（Jacobi）矩陣

式（8-17）表示的是由和推導(dǎo)，的變換式，其逆變換式為

等參數(shù)單元返回第二十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元其中，[J]-1是[J]的逆陣返回第三十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)平面等參元等參數(shù)單元平面問題的常用等參元有四結(jié)點四邊形單元、八結(jié)點曲邊四邊形單元和6~8可變結(jié)點曲邊四邊形單元等，本節(jié)以八結(jié)點曲邊四邊形等參元為例介紹平面問題分析過程。一、母單元八結(jié)點曲邊四邊形等參元的母單元是二維二次單元。八個結(jié)點分別為正方形的四個角點和四個邊中點，母單元采用直角坐標系（ξ,η）。如圖5-7所示。單元的位移模式為其中，ui和vi是結(jié)點i的位移。返回第三十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四圖5-8等參元1234875623154678等參數(shù)單元圖5-7母單元返回第三十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元二、等參元等參元的整體坐標為直角坐標（x,y）。等參元的任意指定的八個結(jié)點的整體坐標值分別為（xi,yi），（i=1,2,…,8），如圖5-8所示。采用坐標變換可使母單元的八個結(jié)點與等參元的八個結(jié)點（xi,yi）一一對應(yīng)。整體坐標和局部坐標的變換式為(8-34)其中：是母單元的形函數(shù)。根據(jù)等參元的思想，等參元的位移模式仍取為：返回第三十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元(8-35)這樣，就確定了平面八結(jié)點曲邊四邊形等參元的幾何形狀和位移模式。在實際應(yīng)用中需要注意以下幾個問題：1）在劃分單元時，只需確定單元結(jié)點的整體坐標值，而不必畫出其拋物線形狀的邊界。因為在計算中實際使用的只有單元八個結(jié)點在整體坐標下的位置坐標（xi,yi）（i=1,2,…,8）。2）在劃分單元和布置結(jié)點時，單元的各邊長度相差不能太大；各邊上結(jié)點間距應(yīng)盡量均勻，以減少計算誤差。3）為了計算簡單，當(dāng)求解區(qū)域為曲線邊界時，只將位于邊界的單元取為曲邊四邊形，而內(nèi)部單元仍然劃分為直邊四邊形。這樣，即能較好地處理曲邊邊界，又能提高單元內(nèi)部插值的精度。第三十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元三、單元分析將八結(jié)點曲邊四邊形等參元的位移模式代入平面問題的幾何方程，便得到單元應(yīng)變分量的計算式其中：是單元的結(jié)點位移列陣(i=1,2,…,8)返回第三十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元是單元應(yīng)變矩陣(i=1,2,…,8)由于，形函數(shù)是局部坐標的函數(shù)。因此，需要進行偏導(dǎo)數(shù)的變換返回第三十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元其中，由式（8-20）給出根據(jù)坐標變換式可知返回第三十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元而以上各式中的和，可由式（8-9）分別對偏微分而求得。這樣就把和轉(zhuǎn)化成了局部坐標的函數(shù)，從而求的應(yīng)變矩陣[B]和單元應(yīng)變[ε]。將單元應(yīng)變代入平面問題的物理方程式，就得到平面八結(jié)點等參元的應(yīng)力列陣（i=1,2,…,8）式中，[S]為應(yīng)力矩陣返回第三十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣式中，t為單元厚度。把（8-43）式寫成分塊矩陣，可分成8×8個子矩陣，每個子矩陣都是2×2階矩陣，即返回第三十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)該指出，上式是對ξ和η的重積分，盡管其積分區(qū)域十分簡單，但其被積函數(shù)卻比較復(fù)雜，需要采用數(shù)值積分法求解（通常是采用高斯積分法）。等參數(shù)單元其中子矩陣返回第四十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元四、等效結(jié)點載荷整體結(jié)構(gòu)結(jié)點載荷列陣是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結(jié)點后，經(jīng)過組集得到1.集中力的等效結(jié)點載荷設(shè)單元任意點c作用有集中載荷，則移置到單元各有關(guān)結(jié)點上的等效結(jié)點載荷為式中(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，可通過以下返回第四十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元步驟計算：1）根據(jù)作用點c的整體坐標，得到其局部坐標。式中：均為已知數(shù)。解此聯(lián)立方程式就得到c點的局部坐標。2）將局部坐標代入式（8-9），得到c點的形函數(shù)值(Ni)c。實際計算時，應(yīng)盡量把集中力作用點取為結(jié)點，從而把載荷直接加在該結(jié)點上。返回第四十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元2.體積力的等效結(jié)點載荷3.表面力的等效結(jié)點載荷設(shè)單元上作用的體力為，則移置到單元各有關(guān)結(jié)點上的等效載荷為式中：t為單元厚度。設(shè)單元的某邊界上作用的表面力為，則這條邊上三個結(jié)點的等效載荷為式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微段弧返回第四十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四長；t是單元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式給出的，使用時不太方便。在實際結(jié)構(gòu)上往往給出的是沿單元曲線邊界的法向和切向的面力qn和qt。因此，需要對式（8-50）進行適當(dāng)?shù)男薷摹，F(xiàn)規(guī)定：法向面力qn以沿邊界曲線的外法線方向為負，切向面力以沿單元受載邊界方向前進使單元保持在左側(cè)為正。如圖5-9所示，其中的qn和qt都是正的。qt12347568xy0等參數(shù)單元圖5-9面力載荷示意圖返回第四十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元設(shè)圖6-9所示的八結(jié)點平面等參元的邊界上受面力qn和qt，且qt與x軸的夾角為θ，則qn得與x軸的夾角為θ-90°。由圖5-9可知所以(8-51)代入式（8-50），得(8-52)返回第四十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元對于圖5-9所示得等參元的邊界，其局部坐標η=1，ξ是變化的，因此代入式（8-52），得(8-53)上式中Ni，及都是關(guān)于ξ的復(fù)雜函數(shù)，因此也要用數(shù)值積分法（常用高斯積分法）來求解。有了單元的等效結(jié)點載荷列陣和剛度矩陣，經(jīng)疊加建立結(jié)構(gòu)剛度方程，再考慮結(jié)構(gòu)的約束條件，可求解出離散結(jié)構(gòu)上各結(jié)點的位移分量列陣和各單元的結(jié)點位移分量列陣。再根據(jù)式（8-36）和式（8-41）便可以求得單元的應(yīng)變和應(yīng)力。返回第四十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四第四節(jié)空間等參元等參數(shù)單元一、20結(jié)點三維等參元很多實際工程結(jié)構(gòu)屬于空間三維問題，在有限元分析中可以采用空間等參元?？臻g等參元的原理及推導(dǎo)方法與平面問題是類似的?？臻g等參元有8結(jié)點任意六面體單元、20結(jié)點三維單元和8-21可變結(jié)點三維單元等。本節(jié)討論一種應(yīng)用較廣的空間等參元──20結(jié)點三維等參元。20結(jié)點三維等參元的母單元是邊長為2的20結(jié)點正方體單元，通過坐標變換得到邊界為曲面和曲邊的六面體子單元，如圖5-10所示。返回第四十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四圖5-1020結(jié)點空間等參數(shù)單元xyz123456810911121314151618171920707321456891011121314151618192017（a）（b）等參數(shù)單元返回第四十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標變換式應(yīng)采用相同的形函數(shù)。20結(jié)點三維等參元的坐標變換關(guān)系可表示為(8-54)單元的位移函數(shù)可表示為(8-55)返回第四十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元式中：和分別為結(jié)點i的位移值和整體坐標值。對于單元的二十個結(jié)點分別寫出二十個形函數(shù)，如式（8-12）所示。也可以合并成一個統(tǒng)一的表達式如下(8-56)式中其中，ξi，ηi及ζi是結(jié)點i在ξηζ局部坐標系中的坐標。例如，結(jié)點1的局部坐標是（-1，-1，-1），結(jié)點5的坐標是（-1，-1，1）等。返回第五十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元二、單元分析

根據(jù)幾何方程，可以得到單元應(yīng)變列陣(8-57)返回第五十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元其中：[B]是單元的應(yīng)變矩陣，其分塊形式(8-58)上式中的形函數(shù)Ni是局部坐標的函數(shù)。對整體坐標求導(dǎo)時，返回第五十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元類似于平面問題，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，有以下關(guān)系式(8-59)(8-60)其中[J]為三維雅可比矩陣，其表達式為返回第五十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元式中(8-61)上式中的等可以通過對式（8-56）求到得到返回第五十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四利用式（8-59）可求出等參數(shù)單元返回第五十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元其中，是雅可比矩陣的逆矩陣。將單元應(yīng)變代入空間問題的物理方程式，就得到單元的應(yīng)力(8-63)式中，[S]為應(yīng)力矩陣（i=1,2,…,20）(8-64)(8-62)返回第五十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-65)其中子矩陣(8-66)單剛矩陣的每個元素其被積函數(shù)都很復(fù)雜，必須采用數(shù)值積分（常用高斯求積法）求解。得到每個元素后，按直接剛度法疊加成整體剛度矩陣。返回第五十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元三、等效結(jié)點載荷與平面問題相似，整體結(jié)構(gòu)結(jié)點載荷列陣也是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結(jié)點后，經(jīng)過組集得到(8-67)

1.集中力的等效結(jié)點載荷如果三維等參元上任意點c作用有集中力，則移置到單元各有關(guān)結(jié)點上的等效結(jié)點載荷為(8-68)式中：(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，需通過類返回第五十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元似二維等參元的處理步驟，先計算得到c點局部坐標值，再得到形函數(shù)的取值。在實際有限元計算時，在劃分網(wǎng)格時應(yīng)盡量把集中力作用點取為結(jié)點，從而把載荷直接加在該結(jié)點上。2.體積力的等效結(jié)點載荷設(shè)單元上作用的體力為，則移置到單元各有關(guān)結(jié)點上的等效載荷為(8-69)返回第五十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元3.表面力的等效結(jié)點載荷設(shè)單元的某邊界面上作用的表面力為，則這個邊界面上有關(guān)結(jié)點的等效載荷為(8-70)式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微分面積。設(shè)結(jié)構(gòu)中的那個邊界面S上受到面力作用。該曲面在整體坐標下的參數(shù)方程可由坐標變換式直接寫出(8-71)返回第六十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四等參數(shù)單元在局部坐標系中，該曲面的方程為。曲面上任一點的切平面由下述兩個相切的矢量組成。式中，i，j，k分別為x，y，z方向的單位矢量。上述兩矢量的矢量積所得到的新矢量為c返回第六十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四微分面積ds就是由矢量dξ和dη所構(gòu)成的平行四邊形面積，其大小為兩矢量矢量積的絕對值。面積ds為等參數(shù)單元(8-72)式中將式（6-72）代入式（6-70），就得到表面力的等效結(jié)點載荷返回第六十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期四實際工程結(jié)構(gòu)中，面力往往是垂直作用在邊界面上的，這時的面力向量{q}變成了邊界面上的法向載荷。設(shè)n表示邊界面的外法線單位向量，q0是單位面積上的面力，則n的表達式為等參數(shù)單元其它表面受到面力作用時，其算