排列組合問題的分類解法

排列組合問題的分類解法第一頁，編輯于星期六：十九點十二分。1、合理分類和準確分步2、特殊元素和特殊位置問題3、相鄰相間問題4、定序問題5、分房問題6、環(huán)排、多排問題11、小集團問題9、先選后排問題8、平均分組問題10、構造模型策略7、枚舉法12、其它特殊方法排列組合應用題解法綜述（目錄）第二頁，編輯于星期六：十九點十二分。特殊元素和特殊位置問題第三頁，編輯于星期六：十九點十二分。特殊元素（或特殊位置）優(yōu)先安排例1.

將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種第四頁，編輯于星期六：十九點十二分。在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被５整除的數共有_____個．

練習1第五頁，編輯于星期六：十九點十二分。相鄰相間問題第六頁，編輯于星期六：十九點十二分。例2、用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有______個．（用數字作答）

回目錄相鄰與不相鄰問題第七頁，編輯于星期六：十九點十二分?！跋噜彙庇谩袄墶?，“不鄰”就“插空”例3、七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種（A）960種（B）840種（C）720種（D）600種回目錄第八頁，編輯于星期六：十九點十二分。某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為（）練習220回目錄第九頁，編輯于星期六：十九點十二分。定序問題第十頁，編輯于星期六：十九點十二分。例4、有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？順序固定問題用“除法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數.回目錄第十一頁，編輯于星期六：十九點十二分。分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略第十二頁，編輯于星期六：十九點十二分。住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例5、七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有（）A.B.CD.回目錄A第十三頁，編輯于星期六：十九點十二分。

某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習3回目錄第十四頁，編輯于星期六：十九點十二分。環(huán)排問題和多排問題第十五頁，編輯于星期六：十九點十二分。環(huán)排問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有回目錄第十六頁，編輯于星期六：十九點十二分。練習46顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120第十七頁，編輯于星期六：十九點十二分。多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.回目錄第十八頁，編輯于星期六：十九點十二分。小集團問題第十九頁，編輯于星期六：十九點十二分。小集團問題先整體局部策略例8.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾在1,５之間,這樣的五位數有多少個？31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。回目錄第二十頁，編輯于星期六：十九點十二分。１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種回目錄練習5第二十一頁，編輯于星期六：十九點十二分。元素相同問題隔板策略應用背景：相同元素的名額分配問題不定方程的正整數解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個第二十二頁，編輯于星期六：十九點十二分。元素相同問題隔板策略例9.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為回目錄第二十三頁，編輯于星期六：十九點十二分。練習6（1）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有（）種。（2）不定方程的正整數解共有（）組回目錄（3）高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?第二十四頁，編輯于星期六：十九點十二分。平均分組問題除法策略“分書問題”第二十五頁，編輯于星期六：十九點十二分。平均分組問題除法策略例10.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數?；啬夸浀诙?，編輯于星期六：十九點十二分。1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為______

回目錄練習7第二十七頁，編輯于星期六：十九點十二分。構造模型策略例.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2

盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決回目錄第二十八頁，編輯于星期六：十九點十二分。練習8某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120回目錄第二十九頁，編輯于星期六：十九點十二分。先選后排問題第三十頁，編輯于星期六：十九點十二分。八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,

每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有_____種方法.根據分步計數原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?回目錄第三十一頁，編輯于星期六：十九點十二分。實驗法（窮舉法），（枚舉法）應用舉例第三十二頁，編輯于星期六：十九點十二分。實驗法（窮舉法）

題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。

例將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格內，每個方格填1個，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法種數有（）A.6B.9C.11D.23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。第一方格內可填2或3或4。如填2，則第二方格中內可填1或3或4。若第二方格內填1，則第三方格只能填4，第四方格應填3。若第二方格內填3，則第三方格只能填4，第四方格應填1。同理，若第二方格內填4，則第三方格只能填1，第四方格應填3。因而，第一格填2有3種方法。不難得到，當第一格填3或4時也各有3種，所以共有9種?；啬夸浀谌?，編輯于星期六：十九點十二分。實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.

有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345回目錄第三十四頁，編輯于星期六：十九點十二分。實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.

有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有2種回目錄第三十五頁，編輯于星期六：十九點十二分。練習：（不對號入座問題）（1）（2004湖北）將標號為1，2，3，……，10的10個球放入標號為1，2，3，……，10的10個盒子中，每個盒內放一個球，恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法有___________種（2）編號為1、2、