電路分析基礎(chǔ)第六章2013級

2021/6/221第六章電容元件與電感元件◆電容元件◆電容的VCR◆電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)◆電容的儲能◆電感元件◆電感元件VCR◆電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)*◆電感的貯能*◆電感器和電容器的模型*◆電容與電感的對偶性 狀態(tài)變量◆電容電感的串、并聯(lián)計劃學時:2第六章

電容元件與電感元件2021/6/222本書中討論的電阻電路是用代數(shù)方程描述的，也就是說，在任一時刻t的響應只與同一時刻的激勵有關(guān)，而與過去的激勵無關(guān)。因此，電阻電路是無記憶的。動態(tài)元件：其VCR是對電流、電壓的微分或積分，而不是線性關(guān)系。如電容和電感。電路模型中出現(xiàn)動態(tài)元件的原因：①有意接入，以完成濾波，振蕩等功能。②信號頻率較高時，一些實際器件不能用電阻模型表示，還須考慮磁場和電場的變化，即分布電容和電感的影響。動態(tài)電路：至少包含一個動態(tài)元件的電路。動態(tài)電路的特性:①動態(tài)電路的響應與激勵的全部過去歷史有關(guān)，所以說動態(tài)電路是有記憶的。②動態(tài)電路也服從KCL和KVL?！?-1

電容元件兩塊金屬板用介質(zhì)隔開就是一個簡單的電容器。由于理想的介質(zhì)是不導電的，在外電源作用下，兩塊極板上能分別存貯等量的異性電荷。外電源撤走后，電荷仍然保持。因此，電容器是一種能存貯電荷的器件，同時由于電荷的存在，在兩極板之間會產(chǎn)生電場，也可以說電容器是一種能夠存貯電場能量的器件。理想的電容器只具有存貯電荷從而在電容器中建立起電場的作用，而沒有任何其它作用，也就是說，理想電容器應該是一種電荷與電壓想約束的器件。定義：一個二端元件，如果在任一時刻t，它的電荷q(t)同它的端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用u—q平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電容元件。符號：2021/6/223q(t)與i(t)為關(guān)聯(lián)參考方向線性非時變電容器件:若u—q平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變，則此電容器件稱之為線性非時變電容器件。即：q(t)=Cu(t)

C為常數(shù)(正值)，單位為：F、μF、PF。實際的電容有漏電的現(xiàn)象，這樣電容模型中還應加電阻元件。另外電容器還有額定電壓的指標。+-有極性電容無極性電容同電阻元件一樣，電容元件也有線性、非線性、非時變，時變四種不同的組合。我們只介紹線性非時變電容元件。2021/6/224§6—2

電容的VCR當u(t)、i(t)為關(guān)聯(lián)參考方向時，i(t)為正值時，q(t)的變化量為正，于是有：dti

(

t

)

=

dq

(

t

)d[cu(t)]

=

c

du(t)

=

c

dudt

dt

dt非關(guān)聯(lián)參考方向時，i

(t

)

=

-c

du

(t

)

=

-c

dudt

dt說明：①在某一時刻，電容的電流取決于該時刻電容電壓的變化率。雖有電壓，但若電壓不變（du/dt=0），則電流為零。所以電容具有隔直流通交流的作用。②若在任何時刻i(t)為有限值，則du/dt就必為有限值，即u(t)不可能發(fā)生跳變，只能是連續(xù)變化。即u(to+)=u(to-)。to為任意時刻。2021/6/225電容的VCR也可以用積分形式表示：2021/6/226-

￥ttototoc1c1cu

(

t

)

==

u

(

to

)

+

1

i

(x

)

d

(x

)ti

(x

)

d

(x

)i

(x

)

d

(x

)

+t≥to上式中：u(to)反應了to以前電流的所有情況，所以to開始的電流i(t)和電容的初始電壓u(to)就能確定t＞to時的電容電壓。說明：在任意t時刻電容電壓的數(shù)值并不取決于該時刻的電流值，而是取決于從-∞到t所有時刻的電流值，亦是說與電流的全部歷史有關(guān)。電容是一個記憶元件。故知在此期間，電流·

4

·

10

5

A

=

-0

.4

Ai

=

c

du

(t

)

=

-10

-

6dt（2）從0.75mA到1.25mA期間du/dt=200/0.5=4×105故知在此期間dti

=

c

du

(t

)

=

10

-

6

·

4

·

10

5

A

=

0

.4

A故得電流隨時間變化的曲線(波形圖)如圖(c)中所示。例6-1：電容與電壓源相連接如圖(a)所示，電壓源電壓隨時間按三角波方式變化如圖(b)，求電容電流。解：(1)從0.25ms到0.75ms期間，電壓u由+100V線性下降到-100V，其變化率·

10

3

=

-4

·

10

52021/6/227du

(t

)

=

-

200dt

0

.52021/6/22♂82021/6/22→8

→9

♂92021/6/2210♂2021/6/2211♂122021/6/22♂132021/6/22例6-2：電路如圖(a)，電流波形如圖(b)所示，試求電容電壓。設(shè)u(0)=0。解：對所示三角波寫出i(t)的函數(shù)式：12021/6/2214t

=

4000ti

=0.25

·10

-30≤t

≤0.25×10-3si=－4000(t－0.5×10-3)=－4000t+2i=4000(t－10-3)=4000t－40.25×10－3s≤t

≤0.75×10－3s0.75×10-3s≤t

≤1.25×10-3s分段計算u(t)：0≤t≤0.25×10-3s期間：9

2060

1

Ctt=

2

·

10

tu

(t

)

=

u

(0

)

+4000

xdxi

(x

)

dx

=

10電壓隨時間按拋物線規(guī)律上升，當t=0.25ms時，電壓為125V。如圖(c)0.25×10-3s≤t≤0.75×10-3s期間：C2021/6/2215tt=

125

+

10

610

-310

-30

.25

·0

.25

·u

(t

)

=

u

(0

.25

·

10-

3

)

+

1(-4000

x

+

2

)

dxi

(x

)

dx=

-250

+

2

·

10

6

t

-

2

·

10

9

t

2此為一開口向下的拋物線方程，其頂點在t=0.5ms、u=250V處。t=0.75ms時，電壓下降到125V。如圖(c)0.75×10-3s≤t≤1.25×10-3s期間：C2021/6/2216tt=

2000

-

4

·

10

6

t

+

2

·

10

9

t

2此為一開口向上的拋物線方程，其頂點在t=1ms，u=0處。電壓波形如圖(c)所示。=

125

+

10

610

-310

-30

.75

·0

.75

·u

(t

)

=

u

(0

.75

·

10-

3

)

+

1(

4000

x

-

4

)

dxi

(x

)

dx§6—3

電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2021/6/2217連續(xù)性質(zhì)：uc(t-)=uc(t+)即電容電壓不能跳變。記憶性質(zhì)：tto1cu

(t

)

=

u

(to

)

+i

(x

)

d

(x

)§6—4

電容的儲能電容充電后，正負極板帶等量異號電荷，兩極間建立電場，電場中貯存電場能量。若電容的u(t)和i(t)為關(guān)聯(lián)參考方向，則t時刻電容吸收的瞬時功率為：dtp

(

t

)

=

dW

(

t

)

=

u

(

t

)

i

(

t

)22021/6/221812221(

t

1)

]u

(

t

2

)u

(

t

1

)u

(

t

2

)u

(

t

1

)t

2t

1t

2t

1從t1到t2期間電容吸收的能量為：t

2(

t

2

)

-

u=

c

[uudu

=

1

cu2=

c=W

c

(

t

)

=t

d

x(

x

)

d

xcu

(

x

)

duu

(

x

)

i

(

x

)

d

xp

(

x

)

d

(

x

)

=由上式可知：t1到t2期間電容吸收的能量只與時間端點的電壓值u(t1)和u(t2)有關(guān)，與在此期間其它電壓值無關(guān)。上式中：21

cu

2

(t

2

)21

cu

2

(t1)表示t2時刻電容的貯能。表示t1時刻電容的貯能。那么任意時刻t，電容的貯能為：Wc(t)=

1

cu2

(t)2021/6/22192上式就是電容貯能公式。電容電壓反映了電容的貯能狀態(tài)?！?—5

電感元件電路理論中的電感元件是實際電感器的理想化模型。通常我們把導線繞成線圈，以增強線圈內(nèi)部的磁場，稱為電感器或電感線圈。因為磁場（同電場一樣）也存貯能量，所以電感線圈是一種能夠存貯磁場能量的器件。理想的電感器只具有產(chǎn)生磁通（存貯磁場能量）的作用，而無任何其它作用，也就是說，理想電感器應是一種電流與磁鏈相約束的器件。定義：一個二端元件，如果在任一時刻t，它的電流i(t)同它的磁鏈ψ(t)之間的關(guān)系可以用i—ψ平面上的曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件。符號：上圖中i(t)與ψ(t)采用關(guān)聯(lián)的參考方向。2021/6/2220線性非時變電感元件:若i—ψ平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變，則此電感元件稱之為線性非時變電感元件。2021/6/2221即：ψ(t)=Li(t)

（

電容元件為：

q(t)=cu(t)）式中：L為常數(shù)，稱為電感，單位為：H（亨利）、mH、μH。同理，電感元件也有線性、非線性、非時變、時變四種不同的組合。本書只介紹線性非時變電感元件。實際的電感器還應考慮導線電阻的能量損耗和額定電流的指標。為使單位電流產(chǎn)生的磁場增加，常在線圈中加入鐵磁物質(zhì)，但ψ—i關(guān)系變?yōu)榉蔷€性?！?—6

電感的VCR若i(t)與ψ(t)[及u(t)]采用關(guān)聯(lián)參考方向，也就是滿足右手螺旋法則時，dt2021/6/2222didtdt=

Lu

=d

y

= dLi上式就是電感的VCR。上式表明：①在某一時刻電感的電壓取決于該時刻電流的變化率。若電流不變（如直流穩(wěn)壓電路），di/dt為零，雖有電流，但電壓為零。因此，電感對直流起著短路作用。i的變化率越大，u越大（可扼流、濾波）。②若u(t)為有限值，則i(t)就不能躍變，只能是連續(xù)變化。

即：i(to+)=i(to-)，to為任意時刻?！姼须娏鞯倪B續(xù)性質(zhì)電感的VCR可用積分形式表示：==-

￥-

￥ttttLLLt

ot

ot

0t

0

1

L=

i

(

t

o

)

+(

t

o

)

+

1

1

1

Li

(

t

)

=u

(

x

)

d

(

x

)u

(

x

)

d

(

x

)

]1

[yu

(

x

)

d

(

x

)u

(

x

)

d

(

x

)

+u

(

x

)

d

(

x

)上式表明：在某時刻t時的電感電流值取決于其初始值i(to)以及在[to，t]區(qū)間所有的電壓值。因此說，電感是一個有記憶性的元件?！洃浶再|(zhì)2021/6/2223§加1—電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)連續(xù)性質(zhì)：

iL(t-)=iL(t+)

電感電流不能跳變記憶性質(zhì)：2021/6/2224ttoLud

x1i

(t

)

=

i

(to

)

+2021/6/2225§加2—電感的貯能當電感的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時，電感的功率為：P(t)=u(t)

·

i(t)從t1到t2期間電感吸收的能量為：211t

2t

1t

2=

L

[i

2

(

t

2

)

-

i

2

(

t

1

)

]

L=W

L

(

t

1

,

t

2

)

=td

xdi

(

x

)

i(

x

)

d

xu

(

x

)

i

(

x

)

d

x上式說明：t1到t2期間電感吸收的能量只與i(t1)和i(t2)有關(guān)。那么，任意時刻t，電感的貯能為：上式就是電感的貯能公式。電感的貯能公式表明：電感在任一時刻t的貯能只與t時刻的電流有關(guān)，就是說，電感電流反映了電感的貯能狀態(tài)。2WL(t

)

=

1

Li

2

(t

)§加3—電感器和電容器的模型1.電感器2021/6/2226(a)理想電感器

(b)線圈存在電阻(c)線圈存在電阻,線圈匝與匝之間存在電容。2.電容器理想電容器電容存在漏電流電容存在漏電流;頻率高時，cdu/dt將產(chǎn)生磁場。2021/6/2227§6—7

電容與電感的對偶