專題30 圓篇（解析版）-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必考考點總結(jié)+題型專訓（全國通用）

專題30圓考點一：垂徑定理知識回顧知識回顧圓的定義：定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。與圓有關的概念：弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論：推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。微專題微專題1．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．【分析】連接OA，如圖，設⊙O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：連接OA，如圖，設⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．2．（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．【分析】連接OA，由AB⊥CD，設OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，根據(jù)CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，然后分類討論：當如圖1時，CM＝8；當如圖2時，CM＝2，再利用勾股定理分別計算即可．【解答】解：連接OA，∵OM：OC＝3：5，設OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝，當如圖1時，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝；當如圖2時，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝．綜上所述，AC的長為4或2．故答案為：4或2．3．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．【分析】根據(jù)已知條件證得△AOD≌△BCD（SAS），則BC＝OA＝7．【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．4．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米．【分析】根據(jù)題意，弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求得圓的半徑．【解答】解：如圖，點O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點C，點D，點O三點共線，由題意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），設鏡面半徑為x厘米，由題意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴鏡面半徑為26厘米，故答案為：26．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．【分析】連接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的長，再利用垂徑定理得到D為AB的中點，在直角三角形AOD中，利用垂徑定理求出AD的長，即可確定出AB的長．【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點，則AB＝2AD＝2＝2＝2．故答案為：2．6．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為.（結(jié)果保留π）【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OB，過點O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過圓心，AB是弦，∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案為：400π．7．（2022?遵義）數(shù)學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度．小組成員查閱相關資料，得到如下信息：信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；信息二：如圖2，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；（參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為千米．【分析】根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：作OK⊥BC，則∠BKO＝90°，∵BC∥OA，∠AOB＝28°，∵∠B＝∠AOB＝28°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．∴BK＝OB×cosB≈6400×0.88＝5632，∴北緯28°的緯線長C＝2π?BK≈2×3×5632＝33792（千米）．故答案為：33792．8．（2022?黃石）如圖，圓中扇子對應的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則β﹣α的度數(shù)是．【分析】根據(jù)已知，列出關于α，β的方程組，可解得α，β的度數(shù)，即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案為：90°．考點二：圓周角定理：知識回顧知識回顧圓心角、弦以及弧之間的關系：①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧。圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。圓的內(nèi)接四邊形：①定義：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。②性質(zhì)：=1\*ROMANI：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。=2\*ROMANII：圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。微專題微專題9．（2022?襄陽）已知⊙O的直徑AB長為2，弦AC長為，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根據(jù)一條弦對著兩種圓周角可得答案．【解答】解：如圖，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案為：45°或135°．10．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為．【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC＝90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【解答】解：連接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圓形鏡面的半徑為cm，故答案為：cm．11．（2022?永州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC＝度．【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度數(shù)．【解答】解：∵∠ADC是所對的圓周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120．12．（2022?蘇州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝°．【分析】如圖，連接BC，證明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案為：62．13．（2022?湖州）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是EQ\*jc0\*"Font:TimesNewRoman"\*hps16\o\ad(\s\up9(⌒),AB)所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是．【分析】由垂徑定理得出，由圓心角、弧、弦的關系定理得出∠AOD＝∠BOD，進而得出∠AOD＝60°，由圓周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，故答案為：30°．14．（2022?徐州）如圖，A、B、C點在圓O上，若∠ACB＝36°，則∠AOB＝．【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．故答案為：72°．15．（2022?錦州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC＝130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為．【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和∠ADC的度數(shù)求得∠B的度數(shù)，利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案為：40°．16．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為．【分析】根據(jù)鄰補角的概念求出∠BCD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圓周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案為：144°．17．（2022?甘肅）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC＝110°，則∠ADC＝°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70．考點三：切線知識回顧知識回顧點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為，點到圓心的距離，則有：①點在圓外?②點在圓上?①點在圓內(nèi)?三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為，圓心O到直線的距離為，直線和圓的三種位置關系：①相離：一條直線和圓沒有公共點。直線和⊙O相離?。②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點。直線和⊙O相切?。③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線。直線和⊙O相交?。切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。運用切線的性質(zhì)進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角形解決問題。切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”。微專題微專題18．（2022?常州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，從而求出⊙O的半徑，即可解答．【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半徑是1，故答案為：1．19．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點，∠ACB＝60°，則AB的長為cm．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ABD＝90°，再利用同弧所對的圓周角相等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點D，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD?sin60°＝6×＝3（cm），故答案為：3．20．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是O的三角形都寫出來．【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解OA，OB，OC，OD，OE，根據(jù)三角形的外心到三角形頂點的距離相等可求解．【解答】解：由圖可知：OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，OE＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是點O，故答案為：△ABD，△ACD，△BCD．21．（2022?涼山州）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是．【分析】先連接AD，BD，然后根據(jù)題意，可以求得cos∠ADB的值，再根據(jù)圓周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，從而可以得到cos∠ACB的值．【解答】解：連接AD，BD，AD和BD相交于點D，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是，故答案為：．22．（2022?資陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過點A作⊙O的切線AD．若∠B＝35°，則∠DAC的度數(shù)是度．【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAD＝90°，即可求解．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠C＝90°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∵AD與⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．故答案為：35．23．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為．【分析】連接OB，先根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠AOB，再根據(jù)OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC，∴∠C＝25°．故答案為：25°．24．（2022?鹽城）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，若∠BAD＝35°，則∠C＝°．【分析】連接AO并延長交⊙O于點E，連接BE，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAD＝90°，從而求出∠BAE＝55°，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ABE＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可求出∠E的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可解答．【解答】解：連接OA并延長交⊙O于點E，連接BE，∵AD與⊙O相切于點A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案為：35．25．（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為．【分析】根據(jù)題意畫出相應的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關系以及三角形的面積公式進行計算即可．【解答】解：如圖，∵圓與三角形的三條邊都有兩個交點，截得的三條弦相等，∴圓心O就是三角形的內(nèi)心，∴當⊙O過點C時，且在等腰直角三角形ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時⊙O最大，過點O分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，∵CG＝CF＝DE，∴OP＝OM＝ON，∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，∴AC＝BC＝×2＝，由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，∴AC?OP+BC?ON+AB?OM＝S△ABC＝AC?BC，設OM＝x，則OP＝ON＝x，∴x+x+2x＝×，解得x＝﹣1，即OP＝ON＝﹣1，在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，故答案為：2﹣．26．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps20\o\ad(\s\up9(⌒),AmB)上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圓周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．【解答】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵點C在上，且與點A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案為：32．27．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以OB為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【解答】解：連接OA，過點A作AD⊥BC于點D，∵圓與AC相切于點A．∴OA⊥AC，由題意可知：D點位置分為兩種情況，①當∠CAD為90°時，此時D點與O點重合，設圓的半徑＝r，∴OA＝r，OC＝4﹣r，∵AC＝2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，解得：r＝，即AD＝AO＝；②當∠ADC＝90°時，AD＝，∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，∴AD＝，綜上所述，AD的長為或，故答案為：或．28．（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為cm．【分析】連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，利用矩形的判定與性質(zhì)得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，設⊙O的半徑為rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，如圖，∵長邊與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∵AC⊥BC，AD⊥OB，∴四邊形ACBD為矩形，∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．設⊙O的半徑為rcm，則OA＝OB＝rcm，∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，在Rt△OAD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴82+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝．故答案為：．29．（2022?湖北）如圖，點P是⊙O上一點，AB是一條弦，點C是EQ\*jc2\*"Font:仿宋"\*hps20\o\ad(\s\up9(⌒),APB)上一點，與點D關于AB對稱，AD交⊙O于點E，CE與AB交于點F，且BD∥CE．給出下面四個結(jié)論：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF?AB；④BD為⊙O的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是．【分析】根據(jù)題意可得AB是CD的垂直平分線，從而可得AD＝AC，BD＝BC，再利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)可得CD平分∠BCE，即可判斷①；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和平角定義可得∠DEB＝∠ACB，再利用SSS證明△ADB≌△ACB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠ACB，從而可得∠DEB＝∠ADB，即可判斷②；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連接OB，交EC于點H，利用①②的結(jié)論可得BE＝BC，從而可得＝，然后利用垂徑定理可得∠OHE＝90°，最后利用平行線的性質(zhì)可求出∠OBD＝90°，即可解答．【解答】解：∵點C與點D關于AB對稱，∴AB是CD的垂直平分線，∴AD＝AC，BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD∥CE，∴∠BDC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠BCD，∴CD平分∠BCE；故①正確；∵四邊形ACBE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠AEB+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠ACB，∵AD＝AC，BD＝BC，AB＝AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠ADB＝∠ACB，∴∠DEB＝∠ADB，∴BD＝BE，故②正確；∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF與△ABE不相似，故③不正確；連接OB，交EC于點H，∵BD＝BE，BD＝BC，∴BE＝BC，∴＝，∴OB⊥CE，∴∠OHE＝90°，∵BD∥CE，∴∠OHE＝∠OBD＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BD為⊙O的切線，故④正確；所以給出上面四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是：①②④，故答案為：①②④．考點四：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心知識回顧知識回顧相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。幾何語言：若弦交于點，則。推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。幾何語言：若是直徑，垂直于點，則。弦切角定理：（1）弦切角的定義：如圖像∠ACP這樣，頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。等于這條弧所對的圓周角。即∠PCA=∠PBC。3.切線長定理：（1）切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。4.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT2=PA?PB（切割線定理）。推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC=PA?PB由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD。5.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：內(nèi)切圓與內(nèi)心的概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點。微專題微專題30．（2022?恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【分析】根據(jù)題意，先作出相應的輔助線，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)圖形可知：陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣正方形CEOD的面積﹣⊙O面積的，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：作OD⊥AC于點D，作OE⊥CB于點E，作OF⊥AB于點F，連接OA、OC、OB，如圖，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四邊形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴圖中陰影部分的面積為：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案為：5﹣π．31．（2022?泰州）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點D、E．若DE＝CD+BE，則線段CD的長為．【分析】連接BO，CO，結(jié)合內(nèi)心的概念及平行線的判定分析可得當DE＝CD+BE時，DE∥BC，從而利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析計算．【解答】解：如圖，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點D、E，連接BO，CO，∵O為△ABC的內(nèi)心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，當CD＝OD時，則∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，則DE＝CD+BE，設CD＝OD＝x，BE＝OE＝y(tǒng)，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，過點O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵點O為△ABC的內(nèi)心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案為：2或．32．（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出圓心角DOE的度數(shù)即可得出陰影部分的面積．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案為：．33．（2022?宜賓）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．【分析】如圖，設內(nèi)切圓的圓心為O，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，然后利用內(nèi)切圓和直角三角形的性質(zhì)得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接著利用完全平方公式進行代數(shù)變形，最后解關于AB的一元二次方程解決問題．【解答】解：如圖，設內(nèi)切圓的圓心為O，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面積為49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（負值舍去），∴大正方形的面積為289．故答案為：289．考點五：正多邊形與圓知識回顧知識回顧正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。微專題微專題34．（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為厘米．【分析】根據(jù)對稱性和周長公式進行解答即可．【解答】解：由圖象的對稱性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六邊形的周長為9×6＝54（厘米），故答案為：54．35．（2022?營口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝度．【分析】設正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角為120°，在△ABC中，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得到∠BAC＝30°，從而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，過點B作BM⊥AC于點M，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出BM，根據(jù)勾股定理求出AM，進而得到AC的長，根據(jù)tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：設正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如圖，過點B作BM⊥AC于點M，則AM＝CM（等腰三角形三線合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案為：30．36．（2022?呼和浩特）如圖，從一個邊長是a的正五邊形紙片上剪出一個扇形，這個扇形的面積為（用含π的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為．【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形面積的計算方法進行計算即可；扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面直徑．【解答】解：∵五邊形ABCDE是