預(yù)備知識場論與張量基礎(chǔ)

電介質(zhì)物理(預(yù)備知識)-場論與張量基礎(chǔ)X.M.Chen

(陳湘明)Department

of

Materials

Science

&

Engineering,Zhejiang

University,

Hangzhou

310027Tel:

87952112;

E-mail:

xmchen59@Web:

/xmchen1.矢量與場論基礎(chǔ)標(biāo)量、矢量與場微分算子梯度、散度與旋度標(biāo)量、矢量與場標(biāo)量(scarlar)-只有大小、沒有方向性。如時(shí)間、溫度、質(zhì)量等。矢量(vector)–不僅有大小、而且有方向性。如速度、加速度、力、電場強(qiáng)度等。場(Field)–具有空間分布的量。如某一管道中氣體的速度就不能用一個(gè)點(diǎn)的量來描述，而必須用一定區(qū)域內(nèi)變化的矢量來定義。微分算子算子自身并無任何幾何意義,而其與其它量作用則產(chǎn)生重要的幾何意義。多變量標(biāo)量函數(shù)f(x,y,z)之偏導(dǎo)可表示為?f

/

?x,

?f

/

?y,

?f

/

?z可定義矢量微分算子,其在笛卡兒坐標(biāo)中有如下分量=

(

?f

,

?f

,

?f

)?x

?y

?z這一算子通?？蓪憺?

j

+

k?x

?y

?z=

i

?f

?f

?f梯度、散度與旋度梯度(gradient)散度(divergence)旋度(curl)?x

?y

?zgradU

=

?U

?U

?U

U

=

i

+

j

+

kA

=

?Ax

+

?Ay

+

?Az?x

?y

?zdivA

=-

)?x

?y?Ay

?Ax-

)

+k(?Az

?Ax?Ax

?Az?y

?z?Az

?Ay-

)

+

j(curlA

=rotA

=

·A=i

(二階微分算子可以組合兩個(gè)一階微分算子作用于標(biāo)量函數(shù)U或矢量函數(shù)A。可能的組合為·(

U),

×(

U),

(

·A),

·(

×A),

×(

×A)注意

×( ·

A)不存在Laplace算子2(Laplacian)2U2)(

U

)

=?2

?2

?2=

+

+?x

2

?y

2

?z

2?2U

?2U+

+?y

2

?z

2?2U(

U

)

=?x

2?z+

k?y+

j?x?z+

j

+

k

)

(i?x

?y(

U

)

=

(i

?U

?U

?U

?

?

?張量基礎(chǔ)知識張量的簡單例子張量的數(shù)學(xué)定義對稱張量的性質(zhì)張量與對稱性的關(guān)系張量的簡單例子-電導(dǎo)率對于均勻?qū)w,電流密度J與電場強(qiáng)度E同向,其大小成比例關(guān)系-歐姆定律J=sE

或Ji=sEi

(i=1,2,3)。此處，s為電導(dǎo)率，標(biāo)量。(i=1,2,3)此處,sij不再是一個(gè)數(shù),而是9個(gè)數(shù),將這9個(gè)數(shù)排成矩陣稱為電導(dǎo)率張量(二階張量)。而各向異性晶體之歐姆定律可表示為J=s·E對于晶體而言，J與E將不再同向。歐姆定律變?yōu)?j

=1J

i

=

s

ij

E

j

s

12

s

13

s

22

s

23

s

31

s

32

s

33s

11s

=

s

21坐標(biāo)變換(i=1,2,3)

(1)反之,(i=1,2,3)(2)方向余弦矩陣ijei

設(shè)有直角坐標(biāo)系OX1X2X3，其3個(gè)方向的單位矢為e1,e2,e3,變換到新坐標(biāo)系

OX1’X2’X3’后,單位矢為e1’,e2’,e3’。令新坐標(biāo)系中ei’在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為aij(j=1,2,3),則3j

=1=

a

ej,'ij

ji

e

=3j

=1a

ea

33a

31

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

32a

11矢量分量的變換

矢量p在新舊坐標(biāo)系中的分量分別為:p1’,p2’,p3’與p1,p2,p3由于是同一矢量p，故有即(3)(4)1

1

2

2

3

3 1

1

2

2

3

3p

=

p

e

+

p

e

+

p

e

=

p,e,

+

p,

e,

+

p,

e,3

3j

jp

,

e

,

i

ii

=

1 j

=

1p

e

=

33333,3將(23

)式代入左邊3

,得p

,

e

,

j

jj

=

1j

=

1 i

=

1j

=

1i

=

1==,jiji,jijiji

j

i

i

=

1 j

=

1i

ipp

e

=(

a

p

)

e(

a

p

)

ei

=

1a

eji

ij比較兩邊3系數(shù),得i=1p,=

a

p矢量的數(shù)學(xué)定義(5)矢量的數(shù)學(xué)定義:若有一組數(shù)p1,p2,p3,當(dāng)坐標(biāo)系變換后變?yōu)閜1’,p2’,p3’,并且滿足(4)和(5)式的關(guān)系,則這一組數(shù)構(gòu)成一個(gè)矢量。,同樣可得3ij

jii=1p

=a

p張量分量的變換(6)(7)(8)以電導(dǎo)率張量為例，各向異性體的歐姆定律3Ji

=

sijEjj

=1坐標(biāo)變換后3j=1因J和E均為矢量，應(yīng)滿足(4)和(5)式，故'

''σ

Ei

ij

jJ

=j3

3

3j=1 k

=1

l=13

3l=1

j=133l=13k

=1k

=13

3j=1'

')E

'E

'α

Eik

jl

kljl

jklikkl

likik

k

ij

j

i

'=

(a

a

ss

a=

ak

=1s

E

=

J

=

a

J

=

a二階張量的數(shù)學(xué)定義比較(8)式兩端的系數(shù)，得(9)同樣,可得(10)ij于是可以定義二階張量:若有一組9個(gè)數(shù)sij,坐標(biāo)變換后為s

’,且滿足(9)與(10)式,則這組數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階張量.3

3k

=1

l

=1ik

jl

kl'ij=

a

a

ss3

3k

=1

l

=1ki

ljijkls

=

a

a

s

'n階張量的數(shù)學(xué)定義當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí),各階張量的分量變換關(guān)系如下:零階張量(標(biāo)量):F

’=F一階張量(矢量):二階張量:三階張量:四階張量:……i

ij

j=3j

=

1a

pp

'

=3

3'k

=

1

l

=

1jl

klikijTa

a

T3

3

3l

=1

m

=1

n

=1il

jm

kn

lmnijka

T=

a

aT

'3

3

3

3Tijkl=

a

im

a

jna

koa

lp

Tmnopm

=1

n

=1

o

=1

p

=1'張量的物理實(shí)質(zhì)一個(gè)張量代表著一個(gè)物理量,這個(gè)物理量遵從一定物理定律,而不依賴于坐標(biāo)系的選擇方法.當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí),其描述方法會(huì)隨之改變，而物理量本身并不改變。當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，張量的分量應(yīng)有隨之而變的規(guī)律，即張量的數(shù)學(xué)定義。熱釋電系數(shù)為一階張量，電導(dǎo)率、介電常數(shù)為二階張量，壓電系數(shù)、電光系數(shù)等為三階張量，彈性摸量、剛度系數(shù)、柔度系數(shù)、電致伸縮系數(shù)等為四階張量。對稱張量與反對稱張量若Tij=Tji,則張量T為對稱張量。這種張量只有6個(gè)獨(dú)立分量。(11)若Tij=-Tji,則張量T為反對稱張量。因?yàn)門ii=0,故反對稱張量只有3個(gè)獨(dú)立分量(12)

33

13

2323

12T

TTT

TT11

T12

T13

22T

=

T23

13-T

TT2300

-T13

T12T

=

-T12

0張量的分解張量總可以分解成若干個(gè)同階張量之和，而且這種分解方法是無窮多的。[定理]

任何一個(gè)張量總可以分解為一個(gè)對稱張量和一個(gè)反對稱張量之和，并且分解的方法是唯一的。共軛張量：若Tij(i,j=1,2,3)為張量，則可以證明，Tji(i,j=1,2,3)也為張量。我們稱它們互為共軛張量。(13)T

TTT31

T11T

TT

T11

T12

T13

T22

T23

31

32 33

T21

T22

T32

13

23 33

T

=

T21Tc

=

T12張量分解定理之證明設(shè)有一個(gè)張量T,我們假定它可以分解為對稱張量S與反對稱張量A之和。即(14)Tc=Sc+Ac(15)T=S+A兩邊取共軛，于是而S=Sc,Ac=-Ac,所以

Tc=S-A由式(14)與(15)解得S=1/2(T+Tc),

A=1/2(T-Tc)

(16)從對稱張量與反對稱張量定義考查，(16)式確實(shí)成立。所以假定成立。而(16)式是唯一確定的，故T的分解方法也是唯一的。于是定理得以證明。晶體對稱操作的變換矩陣在直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)對稱操作對應(yīng)于將舊坐標(biāo)系變換為新坐標(biāo)系，即對應(yīng)于一個(gè)坐標(biāo)變換?？捎眯屡f坐標(biāo)間的方向余弦來表示對稱操作變換矩陣。例(17)0

0

0

1

0(4)=

-1

0

00對稱性對張量的制約對稱性對晶體物理性質(zhì)的限制：沿晶體一定方向測定的某種物理性質(zhì)，當(dāng)晶體按其對稱操作旋轉(zhuǎn)、反映或反演到新的取向時(shí)，其物理性質(zhì)應(yīng)有相同的數(shù)值和符號。等價(jià)方向上具有完全相同的物理性質(zhì)。對稱中心(反演)對張量性質(zhì)的制約 對稱中心變換矩陣即

aij

=-dij

00-1

0 0

(1)=

0