第十章 機(jī)械振動(dòng)

第十章機(jī)械振動(dòng)第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1、什么是振動(dòng)：物體在一固定位置附近作來回的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。廣義地，凡是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動(dòng)。振動(dòng)的概念任何一個(gè)具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí),都會(huì)發(fā)生振動(dòng)。物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動(dòng)。

前言2、振動(dòng)的特征(在時(shí)間上）具有某種重復(fù)性。第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五廣義地，凡是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動(dòng)。2、振動(dòng)的特征(在時(shí)間上）具有某種重復(fù)性。廣義地說，只要某一物理量在時(shí)間上做周期性變化，就存在一種振動(dòng)；如果某一物理量不僅在時(shí)間上做周期性變化，而且在空間上也做周期性變化，那么就存在一種波動(dòng)在力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理學(xué)中都普遍存在振動(dòng)和波動(dòng)現(xiàn)象，雖然本質(zhì)不同，但對(duì)它們的數(shù)學(xué)描述是完全相同的第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五以幾個(gè)例子導(dǎo)出系統(tǒng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，分析其動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的共同特征，給出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何描述，介紹簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，用以解決系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)問題。給出阻尼振動(dòng)的微分方程以及運(yùn)動(dòng)學(xué)解，進(jìn)一步分析弱阻尼時(shí)的系統(tǒng)的能量問題。給出受迫振動(dòng)的微分方程及其運(yùn)動(dòng)學(xué)解，重點(diǎn)討論穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)的共振特征。第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五§10-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征任何一個(gè)振動(dòng)都可看成若干不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1）定義：構(gòu)成：輕質(zhì)彈簧一端固定其另一端 與剛體聯(lián)結(jié)。條件：位移限定在彈性限度內(nèi)，不 計(jì)彈簧內(nèi)部摩擦。2）無阻尼時(shí)的自由振動(dòng)阻尼：干摩擦、濕摩擦（介質(zhì)阻力）、輻射自由振動(dòng)：指系統(tǒng)只受外界一次性擾動(dòng)，而后的運(yùn)動(dòng) 只在系統(tǒng)內(nèi)部恢復(fù)力作用下運(yùn)動(dòng)。（1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：平衡位置：是系統(tǒng)處于穩(wěn)定平穩(wěn)的位置，并選該點(diǎn)為 坐標(biāo)原點(diǎn)（對(duì)水平面上的彈簧振子，則是其自由伸長(zhǎng)處）。X0xFK一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾個(gè)例子1.

彈簧振子第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）慣性的作用整個(gè)系統(tǒng)是在內(nèi)部線性恢復(fù)力和慣性的交互作用下來實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的?；謴?fù)力與位移成正比而反向（線性回復(fù)力），即（2）彈性恢復(fù)力的特點(diǎn)：此處位移特指系統(tǒng)偏離平衡位置的位移。F=-kx

X0xFK第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3）彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程由牛頓定律：以振子為對(duì)象解微分方程得：第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4）.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義—胡克定律—諧振動(dòng)的微分方程—諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

若物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足上述方程中的任一個(gè)，則其運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2）無阻尼時(shí)的自由振動(dòng)（1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：鉛直位置為角平衡位置，o為角坐標(biāo)原點(diǎn)。（2）恢復(fù)力矩的特點(diǎn)：重力對(duì)過懸點(diǎn)0/的水平軸的力矩為：負(fù)號(hào)表示力矩方向始終與角位移方向相反。1）定義2、單擺對(duì)于較小幅度的擺動(dòng)，

第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3）單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：方程的解為對(duì)于較小幅度的擺動(dòng)，

第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.復(fù)擺

對(duì)于較小幅度的擺動(dòng)，

令

整理得：1)定義2）同單擺一樣分析可得復(fù)擺運(yùn)動(dòng)微分方程方程的解為第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.扭擺實(shí)驗(yàn)表明：

轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：

令

整理得：

結(jié)論：在回復(fù)力或回復(fù)力矩作用下，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)微分方程為：第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度圖圖圖第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五§10.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

本節(jié)主要講解：根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程方程的解為：（1）上式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，該式又是周期函數(shù)，故簡(jiǎn)諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng)。式中A和0為由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)。第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量1.周期（T）完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間：對(duì)彈簧振子：2.

頻率（）單位時(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)：的含義：個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)，即圓頻率。第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五固有角頻率固有振動(dòng)周期第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由初始條件決定。如：t=0時(shí)刻，第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

4、位相和初位相位相是描述系統(tǒng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。（相又指月相之相─取其具有周期性）(i)用分析法確定特殊情況下的位相

t=0時(shí)，x0=A,v0=0.(位——位置；相——變化的態(tài)勢(shì)）X0X0=+A（2）0

是t=0時(shí)刻的位相，即初位相（0—2之間取值）第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五X0

t=0時(shí),x0=0,v0<0vX0

t=0時(shí),x0=-A,v0=0-AX0v

t=0時(shí),x0=0,v0>0第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五即由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)(ii)用由初始條件決定的積分常數(shù)求初位相φ0取使x0、v0均滿足的值X0A／2

t=0時(shí),x0=A/2,v0<0v第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五相位:⑴

相位決定了振動(dòng)物體任時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移和速度，是反映振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。⑵為初相位，描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).⑶相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；反映出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性。相位相差為整數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同。討論：第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五討論質(zhì)點(diǎn)做諧振動(dòng)，討論=0、、/2、-/2時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。位于正最大位移處，速度為零位于負(fù)最大位移處，速度為零位于平衡位置，以速度A沿x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)

位于平衡位置，以速度A沿x正方向運(yùn)動(dòng)

第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五相位差：兩振動(dòng)相位之差。討論：（1）若是的整數(shù)倍，則振動(dòng)同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動(dòng)相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動(dòng)有不同程度的參差錯(cuò)落，振動(dòng)步調(diào)不同。第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

一彈簧振子，t＝0時(shí)，求振動(dòng)的初位相。解：因此，在第一象限，第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五總結(jié)：⑴簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期性運(yùn)動(dòng)；⑵簡(jiǎn)諧振動(dòng)各瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率是由振動(dòng)系統(tǒng)本身固有性質(zhì)決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質(zhì)，而且取決于初始條件。三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象：x-t圖線

描述：質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的偏離平衡位置的位移。中學(xué)里經(jīng)常作正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講，請(qǐng)看書。第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、旋轉(zhuǎn)矢量的規(guī)定法則

(1)旋轉(zhuǎn)矢量的制作(2)旋轉(zhuǎn)矢量的作用：(3)旋轉(zhuǎn)矢量本身不是諧振動(dòng)若已知一個(gè)諧振動(dòng)

x=Acos(t+0)相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示。習(xí)慣上用

A的位置xt+t時(shí)刻t=0

時(shí)刻A的位置x0XO四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。如圖示：為一長(zhǎng)度不變的矢量，的始點(diǎn)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)處，記時(shí)起點(diǎn)t=0時(shí)，矢量與坐標(biāo)軸的夾角為，矢量以角速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運(yùn)動(dòng)的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五總結(jié)：旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影等于特定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度。因此，用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法。第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知如圖示的諧振動(dòng)曲線，試寫出振動(dòng)方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一設(shè)諧振動(dòng)方程為

從圖中得：A＝4cmt＝0時(shí)，x0＝-2cm，且0＜0，得得再分析，t＝1s時(shí)，x＝2cm，>0，第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五得即＝所以振動(dòng)方程為方法二：用旋轉(zhuǎn)矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、動(dòng)能二、勢(shì)能三、總能四、動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值設(shè)x(t)=Acos(ωt+0)v(t)=-Aωsin(ωt+0)§10-3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間作周期性變化，Ｅｋ最大，Ｅｐ=0；Ｅｐ最大，Ｅｋ=0，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。即：動(dòng)能和勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化（3）動(dòng)能和勢(shì)能的變化頻率是彈簧振子振動(dòng)頻率的兩倍。

（2）諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論：討論：第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線在任意位置，動(dòng)能與勢(shì)能之和為．在一周期內(nèi)平均動(dòng)能和平均勢(shì)能是相等的，都等于總能量的一半．第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五§10—4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)參與同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：合位移：令：第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率和分振動(dòng)頻率相同。或者：由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法表示：、以頻率旋轉(zhuǎn)，、之間的夾角不變，也以旋轉(zhuǎn)，平行四邊形的形狀不變。

第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五討論：（1）若相位差，即同相位，則：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，則：，振幅最??；（3）一般情況下，振幅A介于與之間。同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成若：兩振動(dòng)的周期之比：，n，m有最小公倍數(shù)，則：二振動(dòng)合成后仍有周期，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知。若：周期之比