第四章 剛體的轉(zhuǎn)動

1、剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。(任意兩點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組。)剛體最簡單的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動。⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的。說明：§4-1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點質(zhì)點系剛體集合特例第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五平動：當(dāng)剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同。2.平動剛體平動質(zhì)點運動平動剛體不一定做直線運動。第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體的平動過程bca第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體的平動過程bca第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bcab剛體的平動過程第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五bca剛體的平動過程第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動：剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動。在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。轉(zhuǎn)動：剛體運動時，如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。

第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五特點：角位移，角速度和角加速度均相同；質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。剛體的定軸轉(zhuǎn)動角位移角速度角加速度第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五線量與角量之間的關(guān)系OP(t+t)P(t)xR第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五4.角速度矢量角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。角速度矢量在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。角速度與線速度關(guān)系：第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例題4-1一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度α

和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動開始后t=25s時飛輪的角速度；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時邊緣上一點的速度和加速度。0vanatarO第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五量值為0=21500/60=50rad/s，在t=50S時刻=0，代入方程=0+αt得解

（1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，0vanatarO從開始制動到靜止，第十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五（2）t=25s時飛輪的角速度為的方向與0相同（3）t=25s時飛輪邊緣上一點P的速度。的方向垂直于和構(gòu)成的平面，如圖所示由0vanatarO第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

的方向幾乎和

相同。相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為的方向如圖所示0vanatarO第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五§4-2剛體的角動量轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量1.剛體的角動量（繞定軸）2.剛體的轉(zhuǎn)動動能上式中的動能是剛體因轉(zhuǎn)動而具有的動能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。第二十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體的角動量推導(dǎo)：圖為以角速度繞定軸oz轉(zhuǎn)動的一根均勻細棒。把細棒分成許多質(zhì)點，其中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為

當(dāng)細棒以轉(zhuǎn)動時，該質(zhì)點繞軸的半徑為它相對于o點的位矢為則對o點的角動量為：方向如圖所示。第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因此

而這個分量實際上就是各質(zhì)點的角動量沿軸的分量之和。

對于定軸轉(zhuǎn)動，我們感興趣的只是對沿軸的分量，叫做剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量。剛體對點的角動量，等于各個質(zhì)點角動量的矢量和。第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體轉(zhuǎn)動慣量：剛體繞定軸的角動量表達式：式中叫做剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，用J表示。第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體的轉(zhuǎn)動動能推導(dǎo)：因此整個剛體的動能則該質(zhì)點的動能為：剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為,剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度相同。設(shè)質(zhì)點離軸的垂直距離為，則它的線速度第二十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五—質(zhì)元的質(zhì)量—質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離連續(xù)分布3.轉(zhuǎn)動慣量的計算質(zhì)量有關(guān)(同分布M>m,JM>Jm)質(zhì)量分布有關(guān)(同m,J中空>J實)轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)(3)轉(zhuǎn)動慣量與(1)定義(2)物理意義

描述物體轉(zhuǎn)動慣性的大小。第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。比較：平動：平動動能

線動量轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動動能角動量第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五mRJzJc平行軸定理:

若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz是第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例題4-3求質(zhì)量為m、長為l的均勻細棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直；（3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五llOxdxA解如圖所示，在棒上離軸x處，取一長度元dx，如棒的質(zhì)量線密度為，這長度元的質(zhì)量為dm=dx。

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時，我們有第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并和棒垂直時，我們有l(wèi)xdxA第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂直時，我們有l(wèi)OxdxABh第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例題4-4求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=2rdr。第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五幾種常見剛體轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直r圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑r幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動慣量，由實驗測定。薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直rr2r1圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸第三十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸lr圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心與幾何軸垂直l細棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l細棒轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑2r球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五轉(zhuǎn)動平面

沿Z軸分量為對Z軸力矩對O

點的力矩：§4-3力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動定律1.力矩第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)注

（1）在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。轉(zhuǎn)動平面第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。（2）

（3）

對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。

（4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號表示。轉(zhuǎn)動平面第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。討論：

（2）Mz

的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的力矩為正；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動（1）Mz

一定，J（3）為瞬時關(guān)系．第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉(zhuǎn)動定律推導(dǎo)：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：ωO對剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O’第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五用乘以左右兩端：

設(shè)剛體由N個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將N個方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律第四十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉(zhuǎn)動定律在剛體定軸轉(zhuǎn)動中的作用與牛頓第二定律在質(zhì)點運動中的作用相似。剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理牛頓第二定律第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例題4-5一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mr。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。解:受力分析設(shè)物體1這邊繩的張力為T1、

T1’(T1’=T1)，物體2這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)m1m2aT2T1T1G1am1T2G2am2第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因m2>m1，物體1向上運動，物體2向下運動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，可列出下列方程：滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等：m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0時，有第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例題4-6一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。把圓盤分成許多質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五圓盤所受阻力矩：因m=eR2，代入得阻力矩使圓盤減速，即獲得負的角加速度.設(shè)圓盤經(jīng)過時間t停止轉(zhuǎn)動，則有由此求得第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五§4-4定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

1.力矩的功當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。力對P點作功：0‘0第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因力矩作功：對于剛體因質(zhì)點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。0‘0內(nèi)力作功為零。第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律：外力矩所做元功為：總外力矩對剛體所作的功為：第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五表明：一個不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。3.剛體的重力勢能即：質(zhì)心高度為：

對于一個不太大的質(zhì)量為的物體，它的重力勢能應(yīng)是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和。第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五4、含剛體系統(tǒng)的機械能守恒定律對于含剛體的系統(tǒng)，機械能守恒定律可表示為考慮能否用機械能守恒定律再考慮能否應(yīng)用動能定理最后再考慮應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律解決實際問題第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五解先對細棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心點C，方向豎直向下；軸和棒之間沒有摩擦力，軸對棒作用的支承力,垂直于棒和軸的接觸面且通過O點，在棒的下擺過程中，此力的方向和大小是隨時改變的。例題4-8一根質(zhì)量為m、長為l的均勻細棒OA（如圖），可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時其中點C和端點A的速度。GAAO第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五mg解法一:用剛體轉(zhuǎn)動定律求解第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五解法二:用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理GAAO第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五解法三:用機械能守恒定律求解選細棒和地球作為系統(tǒng)，只有重力做功，整個系統(tǒng)的機械能守恒選細棒豎直時的質(zhì)心位置為重力勢能的零點GAAO第五十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五§4-6剛體角動量和角動量守恒定律1.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動物體對軸的角動量的增量等于外力對該軸的沖量矩之和。為時間內(nèi)力矩M對給定軸的沖量矩。對由不是剛體的物體組成的系統(tǒng)同樣成立。第五十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律角動量守恒定律：若一個系統(tǒng)一段時間內(nèi)所受合外力矩Mz

恒為零，則此系統(tǒng)的總角動量Lz

為一恒量。恒量討論：a.對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J保持不變，當(dāng)合外力矩為零時，其角速度恒定。=恒量=恒量第五十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五b.若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時,系統(tǒng)的角動量依然守恒。J大→

小,J小→大。第六十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照質(zhì)點的直線運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動第六十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五以子彈和沙袋為