第四章理想流體的動力學(xué)基礎(chǔ)

第四章理想流體的動力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)理想流體運(yùn)動微分方程在牛頓第二定律基礎(chǔ)上給出微分方程式。如圖：ozxyp-?p/?y·dy/2p+?p/?y·dy/2QA(x,y,z)第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五在流體中取平行六面微元體，邊長dx，dy，dz

。在某時刻t，中心A（x,y,z）處，壓強(qiáng)p（x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz

。因?yàn)槭抢硐肓黧w，無牛頓內(nèi)摩擦力存在，只有法向壓力。先看質(zhì)量力，F(xiàn)Q分力：第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五再看表面力，按泰勒展開，略去二階以上微小量，于是：在y軸方向表面力第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五按第二定律，產(chǎn)生ay加速度，m=ρdxdydz同理得x，z方向即：第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五（4-1）向量：

（4-２）第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五(4-1)變形（4-３）向量：

（4-４）第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

這就是理想流體運(yùn)動運(yùn)動微分方程——?dú)W拉方程。

（4-3）中未知量：

對靜止流體變?yōu)槠胶鈿W拉方程。fx

,fy

,fz已知，聯(lián)立連續(xù)方程第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對不可壓縮ρ=const，四個方程封閉可解。例：對可壓流體，加上連續(xù)方程，狀態(tài)方程ρ=f（p，T），封閉。雖然理論上可解，但是初始條件，邊界條件難以用數(shù)學(xué)表達(dá)給出，一般不可解。第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

第二節(jié)運(yùn)動微分方程的葛羅米柯

——蘭姆形式第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五代入（4-3），有：第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五向量：

（4-6）假定：（1）質(zhì)量力是有勢力，存在力函數(shù)U（x,y,z,t），有。(2）ρ=f(p)，p(x,y,z,t)，引入壓力函數(shù)微分（4-7）第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五dx,dy,dz

系數(shù)相同，于是：

對于ρ=const，展開：

第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對等溫下，可壓縮流體：

有對等熵變化

于是（4-5）式變?yōu)?/p>

第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五即為葛羅米柯——蘭姆形式。由此可見：運(yùn)動有有旋、有勢之分。第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)恒定有旋流動沿流線的

伯努利方程先做如下假定：（１）理想流體恒定流動；（２）質(zhì)量力有勢；（３）正壓流體，（４）沿流線積分。

由條件（1）；葛羅米柯形式含有（2），（3）兩個條件。

第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五于是變?yōu)?/p>

對恒定流動，跡線與流線重合，沿流線積分即沿跡線積分。由于dl=vdt，dl分量為dx,dy,dz，dx=vxdt,dy=vydt，dz=vzdt.第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五將上式各式左邊分乘dx,dy,dz，右邊分乘vxdt，vydt，vzdt，相加，有第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對不同流線，Cl不同，而在同一流線上，勢能，壓力能，動能之和為常數(shù)。積分※我們是在有旋條件下得到，而在結(jié)果上卻與有旋，無旋無關(guān)，只要是理想，正壓，質(zhì)量力有勢，恒定沿流線即可。第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

第四節(jié)恒定有勢流動中的歐拉積分恒定流動，有勢則：葛—蘭方程變成第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

與x,y,z無關(guān)，也與t無關(guān)，分乘dx,dy,dz，相加，再積分：

此為歐拉積分。說明：只要理想，正壓，流體在有勢質(zhì)量力作用下做恒定無旋運(yùn)動，任一微團(tuán)的三項(xiàng)和為常數(shù)。與伯努利積分的不同在于歐拉積分沒有沿流線的限制。第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五代入蘭姆方程：第五節(jié)非恒定有勢流動的拉格朗日積分第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五與x,y,z無關(guān)，為t的函數(shù)，對于有旋，只在同一流線上才成立。稱拉格朗日或柯西積分。對不可壓縮流體，若恒定流動，則變?yōu)椋?/p>

轉(zhuǎn)化為歐拉積分。對于任一質(zhì)點(diǎn)都成立。顯然伯努利方程只適用于有旋。第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第六節(jié)重力作用下的伯努利方程對不可壓縮流體做恒定流動，則均為：則U=-gz，只不過伯努利方程只對流線適用，有旋。而對歐拉（拉格朗日）積分，對整個流場適用。若質(zhì)量力只有重力，則fx=0，fy=0，fz=-g。第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

為理想不可壓縮流體在重力作用下（絕對運(yùn)動）恒定流動的伯努利方程。或方程簡單但重要，注意限制條件：（1）理想流體，恒定流動；（2）不可壓縮；（3）只有重力作用；（4）有旋只適用同一流線，無旋對任一質(zhì)點(diǎn)均成立。第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第七節(jié)伯努利方程的意義每一項(xiàng)均表示單位重力液體具有的水頭。（1）z——研究點(diǎn)相對于基準(zhǔn)面的幾何高度，稱為位置水頭；（2）p/ρg——研究點(diǎn)壓強(qiáng)對應(yīng)的高度，表示與壓強(qiáng)相當(dāng)?shù)囊褐叨?，稱測壓管水頭；（3）v2/2g——速度對應(yīng)的高度，稱速度水頭。

1.幾何意義第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五即：幾何高度，測壓管高度，測速管高度之和為常數(shù)。若無旋，三項(xiàng)之和為常數(shù)，若有旋，沿同一流線三項(xiàng)之和為常數(shù)。連接三項(xiàng)和的各點(diǎn)即為到某基準(zhǔn)面一定高度的水平線。在靜力學(xué)中，速度頭為0，z+p/ρg=C；z相同，測壓管水頭為水平線。在動力學(xué)中，由于v2/2g存在，測壓管水頭不是水平線，隨速度頭變化而變化，該項(xiàng)也成為動壓頭。第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五2.能量意義每項(xiàng)表示單位重力流體具有的能量。z

——位置勢能；p/ρg——壓力勢能；v2/2g——動能。而z+p/ρg為總位能，即：三項(xiàng)和為位能與動能之和，即總機(jī)械能為常數(shù)。若有旋：同一流線機(jī)械能相同，不同流線不同；對于無旋，各處均相同。第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五從三項(xiàng)和為常數(shù)也可以看出，若其中一項(xiàng)變化，其余的也隨著變化，但總和不變，即三種能量可以相互轉(zhuǎn)化，這正是能量守恒原理在流體力學(xué)中的表現(xiàn)方式。第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第八節(jié)

相對運(yùn)動中的伯努利方程

流體在流體機(jī)械（如：水泵，風(fēng)機(jī)，水輪機(jī)）中流動時，不是絕對恒定運(yùn)動，而是相對恒定。如圖：xyωr1r212Avuwor第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

與絕對恒定相比有如下不同：（1）人觀察的是質(zhì)點(diǎn)相對速度，而非絕對速度

；（2）作用在流體上的質(zhì)量力；除重力外還有離心力。

葉輪以恒定ω轉(zhuǎn)動，若將坐標(biāo)系xoy固定在葉輪上，隨葉輪轉(zhuǎn)動，此時質(zhì)點(diǎn)相對葉輪做絕對運(yùn)動，因?yàn)橄鄬τ诘孛媸遣缓愣ǖ?。取流線1-2，流體沿1-2流動，流動恒定，1-2為跡線。第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五流線上A點(diǎn)，一方面隨葉輪以u=ωr做牽連運(yùn)動，另一方面，又以速度w相對葉輪運(yùn)動，故伯努利積分為：

v=w，單位質(zhì)量上離心力為ω2r，于是，fx=ω2x，fy=ω2y，fz=-g，dU=fxdx+fydy+fzdz=ω2xdx+ω2ydy+(-g)dz，U=ω2x2/2+ω2y2/2-gz+C=ω2r2/2-gz+C，伯努利積分變?yōu)椋旱谌摚菜氖豁?，編輯?023年，星期五對不可壓縮ρ=const,

又∵u=ωr,各項(xiàng)除以g，

對任意的1，2兩點(diǎn)有：第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五上式稱理想流體微小流束相對恒定流動的伯努利方程，與絕對運(yùn)動相比，多了（u22-u12）/2g一項(xiàng)，這一項(xiàng)為單位質(zhì)量流體在離心力作用下做的功。當(dāng)r變化時，離心力做功，r不變，不做功。從r1到r2，離心力做功為：設(shè)：則：第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)r2﹥r1時，流體沿離心力方向運(yùn)動，做正功，稱水泵工況；此時，流體從中心進(jìn)入，從圓周方向切向流出。當(dāng)r2﹤r1時，流體沿離心力反方向運(yùn)動，做負(fù)功，稱水輪機(jī)工況。此時，流體從圓周方向切向進(jìn)入，從中心流出。第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五第九節(jié)

非恒定有旋運(yùn)動中的

伯努利積分

∵非恒定

則葛——蘭方程為：假定：流體為正壓，第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五設(shè)在t時刻，沿流線取dl微元段，則：同理：故：第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五以三項(xiàng)分乘葛——蘭方程左、右端，再相加：對某瞬時（固定t），則：左為全微分，即：第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五從1—2積分，若不可壓縮,只有重力，U=-gz，正壓流體P=p/ρ令：是由非恒定造成的，稱慣性能頭，為當(dāng)?shù)丶铀俣人哂械膽T性力對單位重量流體所做的功。

第三十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五注意