第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)內(nèi)容

1一元函數(shù)與多元函數(shù)符合的情形2多元函數(shù)與多元函數(shù)符合的情形考研要求

1掌握多元復(fù)合函數(shù)一階，二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；2了解全微分的形式不變性。第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五一一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形ztuv第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五若定理中說明:

例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五二多元函數(shù)與多元函數(shù)符合的情形第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五三其他情形定理3.如果函數(shù)u=φ(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)v=ψ(y)在點(diǎn)y可導(dǎo),函z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(y)]在點(diǎn)(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且有：zxyuv第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五為簡便起見,引入記號例4.

設(shè)

f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:

令則第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.(實(shí)質(zhì)）第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五例1.設(shè)解:第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五解第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五例題2.

求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)(2001考研)第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五第十七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,