第四章聲子晶格振動

第四章聲子晶格振動第一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五引言2前面兩章中所說的格點，實際上是指原子的平衡位置。原子無時無刻不在其平衡位置作微小振動——晶格振動晶格振動——晶體的熱學性質(zhì)、電學性質(zhì)、光學性質(zhì)、超導電性、磁性、結構相變有密切關系晶格振動的研究——固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎由于原子間存在相互作用，它們的振動又相互關聯(lián)，在晶體中形成了格波。

第二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五3§4.1一維單原子晶體的晶格振動第三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五4盡管晶體中原子的平衡位置具有周期性，但由于原子數(shù)目極大，原子與原子間存在相互作用，任一原子的位移至少與相鄰原子，次近鄰原子的位移有關。嚴格求解晶格振動是一個極其困難的事。

格波的研究——先計算原子之間的相互作用力——根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程

第四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五5

這一章我們要考慮原子在平衡位置附近的振動。這種考慮是建立在簡諧近似的基礎之上的，所謂簡諧近似即認為振動是小振動，振幅很小，這種振動的位移與力之間是滿足線性關系的。

F=-cx

從能量的角度來看，認為原子間有了相對位移后，兩原子間的相互作用勢也有了變化將勢能展開成級數(shù)：1.簡諧近似第五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五62.一維單原子晶格的運動方程和色散關系

一維單原子晶格在每個陣點上只有一個原子，第s個原子相對于它平衡時的位移是Us,第ｓ個原子所受到的來自第s+p個原子的作用力與它的相對位移成正比第六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五7第s個原子所受到的力等于所有原子作用力的總和

當s取不同值時，上述方程為一方程組,代表各個原子的位移和運動。運動方程：第七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五8

原子在平衡位置附近的小振動可看作是耦合的簡諧振子的運動。這種耦合諧振子可以通過正則變換化成一組獨立的無相互耦合的簡諧振動的線性疊加。經(jīng)過這樣變換的每一個獨立的諧振子代表簡正模式。點陣振動的簡正模式是指有一定頻率、一定波矢的平面波，第s個原子的位移按簡正模式解可寫成：

這也就是頻率為ω,波矢為k的平面波對第s個原子位移的貢獻。這個平面波稱之為格波，把尋求到的運動方程的解帶入運動方程就能找出ω與k的關系即所謂色散關系。第八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五9將帶入運動方程得：

（其中u=u）約去兩邊相同的因子得：代表第s與s+p個原子的位移的位相差。第九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五10

由于點陣有平移對稱性（+p原子與-p原子的力常數(shù)相等）：Cp=C-p

則

=-

利用歐拉合成化簡可得：

這就是一維單原子晶體考慮了所有原子的作用后得到的格波的頻率與波矢所滿足的關系。

第十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五11

通常只考慮最近鄰原子的作用（最近鄰近似）：

則色散關系變?yōu)椋?/p>

或

第十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五12此函數(shù)關系在第一布里淵區(qū)的圖如下：

第十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五13——k空間的周期頻率極小值:頻率極大值只有頻率在極大和極小之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減?！痪S單原子晶格看作成低通濾波器色散關系第十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五14格波——長波極限情況

當——一維單原子格波的色散關系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的色散關系一致格波的波速為常數(shù)彈性波波彈性波第十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五15由于長波近似下，格波的波長遠大于原子間距，晶格就像一個連續(xù)介質(zhì)。在連續(xù)介質(zhì)中傳播的波為彈性波，其波速為聲速，它是與波矢無關的常數(shù)，因此單原子鏈中傳播的長波格波稱為聲學格波。極限情況：波長趨于無窮大，此時波不存在，晶體做整體運動?！粋€波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)長波極限下k→0

，相鄰兩個原子之間的位相差第十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五16格波——短波極限情況短波極限下——相鄰兩個原子振動的位相相反彈性波彈性波第十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五17長波極限下短波極限下相鄰兩個原子振動位相差第十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五18

所有原子都同時以相同的頻率ω和相同的振幅在振動，但不同的原子間有一個相差，相鄰原子間的相差是ka。該結果還表示：只要ω和k滿足上述關系，試解就是聯(lián)立運動方程的解。色散關系的物理意義：第十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五19該解表明：晶體中所有原子共同參與的振動，以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。

格波

原子振動以波的方式在晶體中傳播。當兩原子相距的整數(shù)倍時，兩原子具有相同的振幅和位相。2kp

從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的x

是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取sa格點位置這樣的孤立值。第十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五203.周期性邊界條件

我們前面研究的對象是理想晶體,邊界上與內(nèi)部的原子是一樣的,既理想晶體不考慮晶體邊界,沒有邊界效應。長為L的一維原子鏈,要作為理想晶體來對待,就要用到周期性邊界條件(即循環(huán)邊界條件或玻恩－卡曼邊界條件)。第二十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五21

所謂周期性邊界條件是把實際晶體看作是無限的,要求運動方程的解以晶體的長度L=Na為周期,既要求:

這個邊界條件的意思是相當于將晶體的首位相接構成一個圓環(huán),第0個原子與第N個原子重合。（由于N很大，所以每個原子的運動仍然可以看成是直線的）

第二十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五22

因此此邊界條件又稱為循環(huán)邊界條件，經(jīng)過這樣處理，邊界上原子與晶體內(nèi)部原子的狀態(tài)一樣，即可把實際晶體當作理想晶體看待。但是，在周期性邊界條件下，格波的波矢只能取一系列分立值。

k=0，

k=

第二十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五23對玻恩－卡門周期性邊界條件（虛設邊界條件）的理解

在實際的原子鏈兩端接上了全同的原子鏈后，由于原子間的相互作用主要取決于近鄰，所以除兩端極少數(shù)原子的受力與實際情況不符外，其他絕大多數(shù)的原子的運動并不受假想原子鏈的影響。（從這個意義上講，選取什么樣的邊界條件并不是很重要）

玻恩－卡門周期性邊界條件是固體物理學中極其重要的條件，因為許多重要理論結果的前提條件是晶格的周期性邊界條件。第二十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五24第二十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

由此可從k求出ω，由于k值是無限的，相應的應有無窮多簡正模式，但實際上在這些簡正模式中只有一部分是獨立的。即k取邊界條件允許的值時，有些格波將對應相同的頻率和位移，因此它們是同一個簡正模式。

25第二十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

簡正模式的色散關系有一個重要的性質(zhì)：

一維時

則

當把k換成-k時對應的頻率完全一樣，不僅頻率相等，而且與這兩個波矢相應的原子的位移情況也一樣，也就是說這兩個簡正模式是同一個簡正模式，是代表同一個格波。

264．第一布里淵區(qū)第二十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

如上圖.

相鄰兩個原子之間的相位差為：？？？？

∴以上兩個格波是同一列格波,是同一個簡正模式27第二十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五28——兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同波矢的取值相鄰原子的位相差——第一布里淵區(qū)——只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容第二十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

在滿足周期性邊界條件下，凡是波矢相差一個倒易點陣矢量的簡正模式是同一個簡正模式，這樣我們就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里淵區(qū)之中，第一布里淵區(qū)以外的k總可以平移一個后用第一布里淵區(qū)中的k來等價描述，第一布里淵區(qū)以外k只不過是第一布里淵區(qū)中的ｋ的重復和再現(xiàn)而已。

29第二十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五在第一布里淵區(qū)中有多少k值呢？

第一布里淵區(qū)中的k值數(shù)目實際上就是晶體中初基晶胞的數(shù)目，長為L的一維原子鏈中的獨立的簡正模式數(shù)等于晶體中的原子數(shù)。

30第三十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

每一個簡正模式代表一個一定頻率與波矢的平面波，那么運動方程就有N個獨立的簡正模式解，但這些解都不代表原子的真實位移。

在點陣振動中，我們不研究原子的真實位移，因為這是毫無實際意義的。

31第三十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

若晶體中有一個擾動，有一個原子偏離了平衡位置。由于原子間有相互作用，則這個擾動可以看作是基本格波組成的波包的運動，波包的運動速度是格波的群速，。它是有一系列格波疊加起來的波包的運動，波包中心所對應的速度為群速度，它是介質(zhì)中能量傳輸?shù)乃俣取?25.群速第三十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五33恒定相位點的移動速度Dispersion:vk

Whatisthewavevelocity?相速（phasevelocity）

vp群速（groupvelocity）

vg{phasevelocitygroupvelocity能量傳播速度a連續(xù)彈性波極限長波極限

Forasmallk(ka<<1)相當于λ>>a

第三十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五34phasevelocitygroupvelocity第三十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五35DirectlatticeReciprocallatticeBZboundaryBraggcondition第三十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

它表明當格波的波長比點陣常數(shù)大的多時,可以把格波當作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理。也就是說可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，當λ》a時，點陣的分立性就顯示不出來，傳播時感覺不到分立性，若波長縮短，分立結構的特性對格波的影響就逐漸顯露出來，色散關系的線性關系就要改變，當λ=2a時，k=，正處在布里淵區(qū)邊界，發(fā)生了Bragg反射。

36長波極限：＝

vk

第三十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五37§4.2一維雙原子晶體的晶格振動第三十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

考慮一個初級晶胞有兩個原子的情況

1.運動方程和色散關系

一個初基晶胞中兩個原子的質(zhì)量不同，但為了處理問題方便起見，認為原子間的力常數(shù)是一樣的，在簡諧近似下，用最近鄰近似，認為各原子之間是用同樣的彈簧聯(lián)系起來的。38第三十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五39

其運動方程為同理可寫出第s個晶胞中質(zhì)量為M2的原子的運動方程為：若只考慮最近鄰近似，第ｓ個晶胞中質(zhì)量為M1的原子所受的力為：第三十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

40我們將之代回運動方程得：這是2N個方程耦合在一起的聯(lián)立方程組，該方程組有行波解：第四十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

這是以u，v為未知數(shù)的方程組，要有非零解須系數(shù)行列式為零。41變形得：第四十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五展開此行列式可得：

即

上式中取“＋”號時，有較高頻率稱為光學支色散關系，取“－”號時，有較低頻率稱為聲學支色散關系。

42——與k之間存在著兩種不同的色散關系——一維復式格子存在兩種獨立的格波第四十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五對于聲學支其頻率范圍為：

對于光學支其頻率范圍為：可以看出，在兩者之間存在一個頻率禁區(qū)，43——不存在格波——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器第四十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五把色散關系作圖得：

44聲學支光學支第四十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五2.光學支和聲學支格波

為了討論比較典型,我們處理長波極限下的情況。當ka遠小于1（即波長比點陣常數(shù)大得多的光學支與聲學支）

coska≈，帶入色散關系中：

取“＋”號時，≈

取“－”號時：≈

對于聲學支長波極限情況下來講，頻率

正比于波矢45第四十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五46由u.v的方程組,我們知道:當ka<<1時，對“＋”號的一支:質(zhì)心的坐標方程為：（質(zhì)心不動）代人上式可得

第四十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

它表明同一個初基晶胞中的兩個原子每時每刻的振動位相是相反的，而且是質(zhì)心不動的，不同的初基晶胞有一個位相差。在離子晶體中由于它們不斷的反位相振動，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動模式可用光波來激發(fā)，故稱之為光學支振動模式，實際上它是簡正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

47第四十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

對“－”號支：同理可得

這表明長波極限之下，對于聲學支色散關系來講，同一初基晶胞中兩個原子每時每刻是同位相運動（振動之比為1），而且連同質(zhì)心一起作整體運動。不同初基晶胞之間的振動有一個相因子，初基晶胞的整體運動存在著類似聲波的色散關系ω=vk，有類似聲波的性質(zhì)，故稱之為聲學支模式。它不是聲波。

48第四十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

兩支模式的區(qū)別在于，光學支模式是描寫初基晶胞中兩個原子相對運動的振動模式，若這兩個原子組成一個分子，光學支模式實際上是分子振動模式，描寫的是同一個分子中的原子的相對運動情況，聲學支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運動，若初基晶胞中的兩個原子組成一個分子的話，聲學支模式則代表分子的整體運動模式，這種振動模式的色散關系類似于聲波。但它不是聲波。

49第四十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五50——長光學波相鄰原子振動相反，同種原子振動位相一致這表明對于聲學支格波，相鄰原子的振動方向相同。第五十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

當k=±

設

對聲學支

對光學支

51第五十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五52§4.3三維晶格振動的一般結論第五十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

在三維空間，對一個波矢對應有3個偏振態(tài)，兩個橫振動，一個縱振動，對于3個不同的偏振態(tài)來說原子的力常數(shù)是不同的。縱波的原子的運動與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運動與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數(shù)是不相同的，色散關系也是不一樣的。

53第五十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

對于單原子晶體，簡正模式的色散關系有三支，每支色散關系對應有Ｎ個簡正模式，則共有3N個模式。對于雙原子點陣，點陣模式的色散關系有6支，3支聲學支，3支光學支。每支色散關系各有N個簡正模式，故有3N個聲學模，在長波極限下它對應于初基晶胞的整體運動。54第五十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

光學支也有3N個簡正模式，對應與初基晶胞中原子的相對運動。因此總的簡正模式（包括光學支，聲學支）共有3×2×N=6N個，也就是說雙原子點陣共有6N個簡正模式，這6N個簡正模式對應于晶體中所有原子的總自由度。55第五十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

推而廣之，對于每個初基晶胞中有P個原子的點陣，簡正模式的色散關系有3P支，其中有3支是聲學支,對應于聲學模的三種偏振狀態(tài),剩下的3P-3都是光學支，每一支的K的取值都有N個,因此共有3PN個簡正模式。其中3N個聲學模式，剩下的3NP-3N個都是光學模式，無論初基晶胞中有多少個原子，色散關系的聲學支只能有3支，因為聲學支對應于初基晶胞中原子的整體運動而這種運動只能有三個，剩下的3P-3支都是光學支，代表了初基晶胞中原子的相對振動。56第五十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

需要說明的是，在色散關系中，對三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向后才能畫出對應的色散關系，即ω-K的關系圖。對應于晶體中對稱性比較高的方向，簡正模式可以是簡并的。但這并不是說它們的簡正模式數(shù)減少了，因為此時盡管兩支橫光學支或橫聲學支簡并，在同一個K下它們的頻率相同，但是它們處于不同的偏振態(tài)，各自仍然是獨立的。

57第五十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五58§4.4聲子第五十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

1．聲子

點陣振動可用簡正模式來描述，每一個簡正模式描寫一個一定頻率一定波矢和偏振狀態(tài)的平面波，而每一個平面波對應于一個簡諧振動，給定了K就可以通過一定的色散關系求出ω。一個簡正模式就代表一個頻率為ω的簡諧振動，簡諧振動的能量是量子化的，一個頻率為ω，波矢為K的簡正模式，處于n激發(fā)態(tài)，它的能量為：

59第五十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

點陣振動的簡正模式（或格波）的能量的量子稱為聲子。聲子是格波能量的量子，并非格波本身，一個頻率為ω，波矢為k的簡正模式處在第n個激發(fā)態(tài)，我們就說在這個能量態(tài)上，占據(jù)了n個波矢為K頻率為ω的聲子。聲子的數(shù)目對應于格波激發(fā)態(tài)的量子數(shù)，而格波的簡正模式對應于聲子的種類。

60第六十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

一個波矢為K的第S支模式處在第n個激發(fā)態(tài)，我們就說在晶體中存在著n個波矢為K的第S支聲子（因為給定了K與第S支模式則ω可由色散關系唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學支模式處于n激發(fā)態(tài)，我們就說晶體中有n個波矢為K的縱聲學支聲子。61第六十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

聲子這個名詞是模仿光子而來（因為電磁波也是一種簡諧振動）。聲子與光子都代表簡諧振動能量的量子。所不同的是光子可存在于介質(zhì)或真空中，而聲子只能存在于晶體之中，只有當晶體中的點陣由于熱激發(fā)而振動時才會有聲子，在絕對零度下，即在OK時，所有的簡正模式都沒有被激發(fā)，這時晶體中沒有聲子，稱之為聲子真空。聲子與光子存在的范圍不同，即寄居區(qū)不同。

62第六十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

若點陣振動的波矢為K的第S支的簡正模式由于外界干擾而被激發(fā)，能量提高了一級，由n→n+1，那么我們就說晶體中產(chǎn)生了一個波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由于外界的激發(fā)，格波的激發(fā)態(tài)下降為n-1，則我們說在晶體中淹沒了一個波矢為K的第S支聲子。

63第六十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

由于聲子是格波簡正模式的能量量子，若其能量為：

其量子數(shù)n可取0∞的一切值，是不受任何限制的，因此聲子服從玻色統(tǒng)計規(guī)律，在溫度為ＴＫ時，一個波矢為K，量子數(shù)為n的簡正模式上的聲子數(shù)為：

64第六十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

我們可以把點陣振動的“波動語言”用“粒子語言”來描述，利用“粒子語言”處理問題要方便的多，在分析格波與格波之間的散射問題時，若采用“粒子語言”就是聲子于聲子之間的碰撞問題，格波與格波之間的互作用可用聲子之間的碰撞來處理。格波與電子波之間的互作用，實際上就可用聲子與光子的碰撞來處理，但聲子是一種準粒子。而不是基本粒子。

65第六十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

既然格波的能量量子定義為聲子，當格波處于較高的激發(fā)態(tài)時晶體中就布局著較多的聲子，即格波振幅較大時，晶體中的聲子數(shù)較多。因此格波的振幅與聲子的數(shù)目就有一定的關系，下面我們就討論這個關系。

66第六十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

考慮長聲學波的情況，當ka《1，既λ》a時，可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，u≈COS（kx-ωt），此時考慮與聲子數(shù)目的關系為：

u≈COS（kx-ωt）

描寫的振動是一個行波，它的能量有一半是動能，另一半是彈性勢能，能量密度：（動能的）

67第六十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

將u=u。Cos（kx-ωt）代入得：

整個晶體中總動能的平均值為：

（之所以在右項出現(xiàn)1/2因子是因為動能只占整個動能的1/2，另外1/2是勢能）

由此可得：

這就是格波的振幅與聲子數(shù)之間的關系。

68第六十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

2.軟聲子模式

當k=0，ω=0時代表整個晶體中原子的整體運動模式，除了K=0，ω=0外，若還有k≠0而ω≈0的模式則稱為軟模（軟聲子模式）

69第六十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五70§4.5聲子動量第七十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

聲子是格波能量的量子，格波并不是描寫粒子的真實位移的振動，而是一個簡正振動模式，是描寫晶體中某一個原子與所有其他原子的坐標的運動。

格波有3N個簡正模式,在K=0,ω=0時有物理動量,.即所有原子作整體運動的動量,而其它模式都是相對坐標的運動,都無物理動量,這一點還可用數(shù)學方法來證明。

71第七十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

考慮一個一維單原子鏈,點陣常數(shù)為a,點陣振動的簡正模式:

所有的原子都有位移,總動量應等于所有原子的位移時間微商(即對s求和)

利用公式

可得:

72第七十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

∵L=na∴

∴P=0

這就說明格波無物理動量,它的總動量為零。73第七十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

聲子沒有物理動量。但平常這些有聲子參與的過程中，為處理問題方便起見，我們把量h稱為聲子的準動量或聲子的晶體動量，主要是由于它的性質(zhì)類似于一個動量。這樣凡是有聲子參與的碰撞過程中動量守恒依然存在。

74第七十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

在第二章中我們已經(jīng)講過，對x-ray的彈性散射條件，既是Laue衍射條件，又是波矢選擇條件，凡是滿足這個條件沿方向就有反射束，凡不滿足這個條件x-ray將沿方向傳播而不受反射，若對上式兩邊都乘以h，則可看作動量守恒的形式，即，它表明反射光子的動量等于入射光子的動量加上從點陣中獲得的動量，h是從點陣中獲得的動量，－h(huán)相當于點陣的反沖動量，這個動量通常是很難觀察到的，就好象皮球打在墻上而觀察不到墻的反沖動量一樣。

75第七十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

在x-ray的非彈性散射的能量關系中，x-ray與點陣有能量交換，這種能量可以激發(fā)聲子，也可以從點陣中吸收聲子（吸收點陣的熱振動動能）也就是說這種能量交換既可能激發(fā)點陣的熱振動，也可能吸收點陣的熱振動。

據(jù)量子力學：

式中為入射波矢，q為聲子波矢，+q對應于聲子的產(chǎn)生過程。-q對應于聲子的吸收過程，上式也是x-ray在晶體中發(fā)生非彈性散射的波矢選擇條件。

76第七十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

兩邊乘以h得：

當=0時：

77第七十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五78§4.6中子的非彈性散射測量聲子能譜

第七十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

格波的色散關系也叫做聲子的能譜。它表示頻率與波矢之間的關系，在實際晶體中由于力常數(shù)是一個較復雜的量，色散關系難用數(shù)學方法計算出來。通常是用實驗方法測得的。

79第七十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

通常我們考慮的是單聲子過程，既吸收或產(chǎn)生一個聲子的過程，單聲子過程在整個聲子產(chǎn)生和吸收的過程中幾率很大。由于非彈性散射，在散射過程中，根據(jù)能量守恒定律，入射中子經(jīng)散射后，能量和動量也要發(fā)生變化，若能測出中子在散射過程中的能量損失與波矢變化就能測出聲子的色散關系來。

80第八十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

若入射中子的波矢為，中子質(zhì)量為，散射中子的波矢為，則有：

入射中子的能量：

散射中子的能量：

據(jù)能量守恒定理：

“

81第八十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五動量守恒（亦稱波矢選擇條件）：

對于產(chǎn)生聲子的過程：

相應地有：

82第八十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

對于吸收聲子的過程：

相應地有：

83第八十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

帶入能量守恒條件

對于產(chǎn)生聲子的過程：

即

這樣就可把中子能量的改變E-E`作為波矢改變的函數(shù)來處理。

84第八十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

對于吸收聲子的過程：

即

85第八十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五入射中子的能量E與波矢是已知的，測出E`及就可決定色散關系即可測出散射過程中中子能量的增益和損失以及散射中子的，那么可由定出，而ω可有E-E`定出，這樣便可得到色散關系中的一個點。改變E或改變方向，再測能量和波矢變化，便可求出色散關系中的另一個點，如此多次取點便可得到整個色散關系。

86第八十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五87NeutronsorX-rayswithbroadrangeofenergiesSinglecrystalmonochromaterSinglecrystalmonochromaterSelectedenergyinSelectedenergyoutsampledetectorExperimentalsetupTripleaxis:rotationofsample第八十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五88Measureforphonons(1012Hz)k(2/a)k(2/a)k(2/a)AtripleaxisneutronspectrometeratBrookhavenNaT=90K[100][110][111]第八十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五89§4.7格波---聲子的對照

(元激發(fā)的物理思想)第八十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

元激發(fā)方法就是把有強相互作用的多粒子體系化成準粒子的氣體問題來處理的一種方法,元激發(fā)正是針對著我們各種不同物理問題提出來得一類準粒子.

固體物理中的元激發(fā)很多,如能帶中的電子、空穴、等離激元、極化子、磁振子、聲子等.

現(xiàn)代固體理論都是建立在這套處理方法之上的。

90第九十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五

格波

1.點振動的簡正模式是具有一定頻率和波矢的平面波稱之為格波.

稱作格波的色散關系,波矢取周期性邊界條件允許的值,且取第1BZ之內(nèi),即: 共有N個

聲子

1.聲子是格波能量的量子,點陣振動可以等價地由聲子氣體描寫,聲子的能量是準動量是 91第九十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五2.點陣振動的基態(tài)是所有格波都沒有激發(fā)

2.點陣振動的基態(tài)是各種聲子都沒有,叫做聲子真空.92第九十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五3.由于熱激發(fā)或外來因素的影響,使某一波矢為頻率為的格波從激發(fā)到的激發(fā)態(tài).3.從聲子真空中產(chǎn)生個的聲子. 93第九十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五4.知道了各種格波[各種波矢及],點陣振動便完全確定,點陣振動的狀態(tài)用量子數(shù)表示為

4.知道了各種聲子的數(shù)目,點陣振動的量子態(tài)就確定了94第九十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五5.簡諧近似下,格波是互相獨立的,互不影響. 5.簡諧近似下,聲子氣體是理想氣體.95第九十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五6.格波服從玻爾茲曼統(tǒng)計,在溫度為TK時,格波處于第能級上的幾率為:6.聲子氣體服從玻色統(tǒng)計,聲子在波矢為,頻率為的模式上布居的聲子數(shù)為:(在溫度為TK時)96第九十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期五7.非簡諧近似下,格波不再是獨立的,彼此可以相互作用,格波-格波散射有兩種類型:<1>

三個格波相互作用,下降一個能級,上升一個能級,這種相互作用滿足兩個守恒定理:

<2>

三個格波相互作用,下降一個能級,上升一個能級,守恒定律:

7.聲子與聲子碰撞有兩種類型:<1>

(湮沒了波矢為的聲子,產(chǎn)生了波矢為的聲子)

兩個聲子湮滅,產(chǎn)生一個新的聲子.<2>

一個聲子湮滅,產(chǎn)生兩個新的聲子.