第四章聲子晶格振動(dòng)

第四章聲子晶格振動(dòng)第一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五引言2前面兩章中所說(shuō)的格點(diǎn)，實(shí)際上是指原子的平衡位置。原子無(wú)時(shí)無(wú)刻不在其平衡位置作微小振動(dòng)——晶格振動(dòng)晶格振動(dòng)——晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系晶格振動(dòng)的研究——固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)由于原子間存在相互作用，它們的振動(dòng)又相互關(guān)聯(lián)，在晶體中形成了格波。

第二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3§4.1一維單原子晶體的晶格振動(dòng)第三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4盡管晶體中原子的平衡位置具有周期性，但由于原子數(shù)目極大，原子與原子間存在相互作用，任一原子的位移至少與相鄰原子，次近鄰原子的位移有關(guān)。嚴(yán)格求解晶格振動(dòng)是一個(gè)極其困難的事。

格波的研究——先計(jì)算原子之間的相互作用力——根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程

第四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五5

這一章我們要考慮原子在平衡位置附近的振動(dòng)。這種考慮是建立在簡(jiǎn)諧近似的基礎(chǔ)之上的，所謂簡(jiǎn)諧近似即認(rèn)為振動(dòng)是小振動(dòng)，振幅很小，這種振動(dòng)的位移與力之間是滿足線性關(guān)系的。

F=-cx

從能量的角度來(lái)看，認(rèn)為原子間有了相對(duì)位移后，兩原子間的相互作用勢(shì)也有了變化將勢(shì)能展開成級(jí)數(shù)：1.簡(jiǎn)諧近似第五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五62.一維單原子晶格的運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系

一維單原子晶格在每個(gè)陣點(diǎn)上只有一個(gè)原子，第s個(gè)原子相對(duì)于它平衡時(shí)的位移是Us,第ｓ個(gè)原子所受到的來(lái)自第s+p個(gè)原子的作用力與它的相對(duì)位移成正比第六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五7第s個(gè)原子所受到的力等于所有原子作用力的總和

當(dāng)s取不同值時(shí)，上述方程為一方程組,代表各個(gè)原子的位移和運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程：第七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五8

原子在平衡位置附近的小振動(dòng)可看作是耦合的簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)。這種耦合諧振子可以通過(guò)正則變換化成一組獨(dú)立的無(wú)相互耦合的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性疊加。經(jīng)過(guò)這樣變換的每一個(gè)獨(dú)立的諧振子代表簡(jiǎn)正模式。點(diǎn)陣振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式是指有一定頻率、一定波矢的平面波，第s個(gè)原子的位移按簡(jiǎn)正模式解可寫成：

這也就是頻率為ω,波矢為k的平面波對(duì)第s個(gè)原子位移的貢獻(xiàn)。這個(gè)平面波稱之為格波，把尋求到的運(yùn)動(dòng)方程的解帶入運(yùn)動(dòng)方程就能找出ω與k的關(guān)系即所謂色散關(guān)系。第八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五9將帶入運(yùn)動(dòng)方程得：

（其中u=u）約去兩邊相同的因子得：代表第s與s+p個(gè)原子的位移的位相差。第九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五10

由于點(diǎn)陣有平移對(duì)稱性（+p原子與-p原子的力常數(shù)相等）：Cp=C-p

則

=-

利用歐拉合成化簡(jiǎn)可得：

這就是一維單原子晶體考慮了所有原子的作用后得到的格波的頻率與波矢所滿足的關(guān)系。

第十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五11

通常只考慮最近鄰原子的作用（最近鄰近似）：

則色散關(guān)系變?yōu)椋?/p>

或

第十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五12此函數(shù)關(guān)系在第一布里淵區(qū)的圖如下：

第十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五13——k空間的周期頻率極小值:頻率極大值只有頻率在極大和極小之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減?！痪S單原子晶格看作成低通濾波器色散關(guān)系第十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五14格波——長(zhǎng)波極限情況

當(dāng)——一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致格波的波速為常數(shù)彈性波波彈性波第十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五15由于長(zhǎng)波近似下，格波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于原子間距，晶格就像一個(gè)連續(xù)介質(zhì)。在連續(xù)介質(zhì)中傳播的波為彈性波，其波速為聲速，它是與波矢無(wú)關(guān)的常數(shù)，因此單原子鏈中傳播的長(zhǎng)波格波稱為聲學(xué)格波。極限情況：波長(zhǎng)趨于無(wú)窮大，此時(shí)波不存在，晶體做整體運(yùn)動(dòng)?！粋€(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)長(zhǎng)波極限下k→0

，相鄰兩個(gè)原子之間的位相差第十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五16格波——短波極限情況短波極限下——相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)的位相相反彈性波彈性波第十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五17長(zhǎng)波極限下短波極限下相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)位相差第十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五18

所有原子都同時(shí)以相同的頻率ω和相同的振幅在振動(dòng)，但不同的原子間有一個(gè)相差，相鄰原子間的相差是ka。該結(jié)果還表示：只要ω和k滿足上述關(guān)系，試解就是聯(lián)立運(yùn)動(dòng)方程的解。色散關(guān)系的物理意義：第十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五19該解表明：晶體中所有原子共同參與的振動(dòng)，以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。

格波

原子振動(dòng)以波的方式在晶體中傳播。當(dāng)兩原子相距的整數(shù)倍時(shí)，兩原子具有相同的振幅和位相。2kp

從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的x

是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取sa格點(diǎn)位置這樣的孤立值。第十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五203.周期性邊界條件

我們前面研究的對(duì)象是理想晶體,邊界上與內(nèi)部的原子是一樣的,既理想晶體不考慮晶體邊界,沒(méi)有邊界效應(yīng)。長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維原子鏈,要作為理想晶體來(lái)對(duì)待,就要用到周期性邊界條件(即循環(huán)邊界條件或玻恩－卡曼邊界條件)。第二十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五21

所謂周期性邊界條件是把實(shí)際晶體看作是無(wú)限的,要求運(yùn)動(dòng)方程的解以晶體的長(zhǎng)度L=Na為周期,既要求:

這個(gè)邊界條件的意思是相當(dāng)于將晶體的首位相接構(gòu)成一個(gè)圓環(huán),第0個(gè)原子與第N個(gè)原子重合。（由于N很大，所以每個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)仍然可以看成是直線的）

第二十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五22

因此此邊界條件又稱為循環(huán)邊界條件，經(jīng)過(guò)這樣處理，邊界上原子與晶體內(nèi)部原子的狀態(tài)一樣，即可把實(shí)際晶體當(dāng)作理想晶體看待。但是，在周期性邊界條件下，格波的波矢只能取一系列分立值。

k=0，

k=

第二十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五23對(duì)玻恩－卡門周期性邊界條件（虛設(shè)邊界條件）的理解

在實(shí)際的原子鏈兩端接上了全同的原子鏈后，由于原子間的相互作用主要取決于近鄰，所以除兩端極少數(shù)原子的受力與實(shí)際情況不符外，其他絕大多數(shù)的原子的運(yùn)動(dòng)并不受假想原子鏈的影響。（從這個(gè)意義上講，選取什么樣的邊界條件并不是很重要）

玻恩－卡門周期性邊界條件是固體物理學(xué)中極其重要的條件，因?yàn)樵S多重要理論結(jié)果的前提條件是晶格的周期性邊界條件。第二十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五24第二十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由此可從k求出ω，由于k值是無(wú)限的，相應(yīng)的應(yīng)有無(wú)窮多簡(jiǎn)正模式，但實(shí)際上在這些簡(jiǎn)正模式中只有一部分是獨(dú)立的。即k取邊界條件允許的值時(shí)，有些格波將對(duì)應(yīng)相同的頻率和位移，因此它們是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式。

25第二十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有一個(gè)重要的性質(zhì)：

一維時(shí)

則

當(dāng)把k換成-k時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率完全一樣，不僅頻率相等，而且與這兩個(gè)波矢相應(yīng)的原子的位移情況也一樣，也就是說(shuō)這兩個(gè)簡(jiǎn)正模式是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式，是代表同一個(gè)格波。

264．第一布里淵區(qū)第二十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

如上圖.

相鄰兩個(gè)原子之間的相位差為：？？？？

∴以上兩個(gè)格波是同一列格波,是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式27第二十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五28——兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同波矢的取值相鄰原子的位相差——第一布里淵區(qū)——只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問(wèn)題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容第二十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在滿足周期性邊界條件下，凡是波矢相差一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量的簡(jiǎn)正模式是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式，這樣我們就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里淵區(qū)之中，第一布里淵區(qū)以外的k總可以平移一個(gè)后用第一布里淵區(qū)中的k來(lái)等價(jià)描述，第一布里淵區(qū)以外k只不過(guò)是第一布里淵區(qū)中的ｋ的重復(fù)和再現(xiàn)而已。

29第二十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五在第一布里淵區(qū)中有多少k值呢？

第一布里淵區(qū)中的k值數(shù)目實(shí)際上就是晶體中初基晶胞的數(shù)目，長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維原子鏈中的獨(dú)立的簡(jiǎn)正模式數(shù)等于晶體中的原子數(shù)。

30第三十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

每一個(gè)簡(jiǎn)正模式代表一個(gè)一定頻率與波矢的平面波，那么運(yùn)動(dòng)方程就有N個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)正模式解，但這些解都不代表原子的真實(shí)位移。

在點(diǎn)陣振動(dòng)中，我們不研究原子的真實(shí)位移，因?yàn)檫@是毫無(wú)實(shí)際意義的。

31第三十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若晶體中有一個(gè)擾動(dòng)，有一個(gè)原子偏離了平衡位置。由于原子間有相互作用，則這個(gè)擾動(dòng)可以看作是基本格波組成的波包的運(yùn)動(dòng)，波包的運(yùn)動(dòng)速度是格波的群速，。它是有一系列格波疊加起來(lái)的波包的運(yùn)動(dòng)，波包中心所對(duì)應(yīng)的速度為群速度，它是介質(zhì)中能量傳輸?shù)乃俣取?25.群速第三十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五33恒定相位點(diǎn)的移動(dòng)速度Dispersion:vk

Whatisthewavevelocity?相速（phasevelocity）

vp群速（groupvelocity）

vg{phasevelocitygroupvelocity能量傳播速度a連續(xù)彈性波極限長(zhǎng)波極限

Forasmallk(ka<<1)相當(dāng)于λ>>a

第三十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五34phasevelocitygroupvelocity第三十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五35DirectlatticeReciprocallatticeBZboundaryBraggcondition第三十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

它表明當(dāng)格波的波長(zhǎng)比點(diǎn)陣常數(shù)大的多時(shí),可以把格波當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理。也就是說(shuō)可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，當(dāng)λ》a時(shí)，點(diǎn)陣的分立性就顯示不出來(lái)，傳播時(shí)感覺(jué)不到分立性，若波長(zhǎng)縮短，分立結(jié)構(gòu)的特性對(duì)格波的影響就逐漸顯露出來(lái)，色散關(guān)系的線性關(guān)系就要改變，當(dāng)λ=2a時(shí)，k=，正處在布里淵區(qū)邊界，發(fā)生了Bragg反射。

36長(zhǎng)波極限：＝

vk

第三十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五37§4.2一維雙原子晶體的晶格振動(dòng)第三十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

考慮一個(gè)初級(jí)晶胞有兩個(gè)原子的情況

1.運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系

一個(gè)初基晶胞中兩個(gè)原子的質(zhì)量不同，但為了處理問(wèn)題方便起見，認(rèn)為原子間的力常數(shù)是一樣的，在簡(jiǎn)諧近似下，用最近鄰近似，認(rèn)為各原子之間是用同樣的彈簧聯(lián)系起來(lái)的。38第三十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五39

其運(yùn)動(dòng)方程為同理可寫出第s個(gè)晶胞中質(zhì)量為M2的原子的運(yùn)動(dòng)方程為：若只考慮最近鄰近似，第ｓ個(gè)晶胞中質(zhì)量為M1的原子所受的力為：第三十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

40我們將之代回運(yùn)動(dòng)方程得：這是2N個(gè)方程耦合在一起的聯(lián)立方程組，該方程組有行波解：第四十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

這是以u(píng)，v為未知數(shù)的方程組，要有非零解須系數(shù)行列式為零。41變形得：第四十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五展開此行列式可得：

即

上式中取“＋”號(hào)時(shí)，有較高頻率稱為光學(xué)支色散關(guān)系，取“－”號(hào)時(shí)，有較低頻率稱為聲學(xué)支色散關(guān)系。

42——與k之間存在著兩種不同的色散關(guān)系——一維復(fù)式格子存在兩種獨(dú)立的格波第四十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于聲學(xué)支其頻率范圍為：

對(duì)于光學(xué)支其頻率范圍為：可以看出，在兩者之間存在一個(gè)頻率禁區(qū)，43——不存在格波——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器第四十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五把色散關(guān)系作圖得：

44聲學(xué)支光學(xué)支第四十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.光學(xué)支和聲學(xué)支格波

為了討論比較典型,我們處理長(zhǎng)波極限下的情況。當(dāng)ka遠(yuǎn)小于1（即波長(zhǎng)比點(diǎn)陣常數(shù)大得多的光學(xué)支與聲學(xué)支）

coska≈，帶入色散關(guān)系中：

取“＋”號(hào)時(shí)，≈

取“－”號(hào)時(shí)：≈

對(duì)于聲學(xué)支長(zhǎng)波極限情況下來(lái)講，頻率

正比于波矢45第四十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五46由u.v的方程組,我們知道:當(dāng)ka<<1時(shí)，對(duì)“＋”號(hào)的一支:質(zhì)心的坐標(biāo)方程為：（質(zhì)心不動(dòng)）代人上式可得

第四十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

它表明同一個(gè)初基晶胞中的兩個(gè)原子每時(shí)每刻的振動(dòng)位相是相反的，而且是質(zhì)心不動(dòng)的，不同的初基晶胞有一個(gè)位相差。在離子晶體中由于它們不斷的反位相振動(dòng)，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動(dòng)模式可用光波來(lái)激發(fā)，故稱之為光學(xué)支振動(dòng)模式，實(shí)際上它是簡(jiǎn)正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

47第四十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)“－”號(hào)支：同理可得

這表明長(zhǎng)波極限之下，對(duì)于聲學(xué)支色散關(guān)系來(lái)講，同一初基晶胞中兩個(gè)原子每時(shí)每刻是同位相運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)之比為1），而且連同質(zhì)心一起作整體運(yùn)動(dòng)。不同初基晶胞之間的振動(dòng)有一個(gè)相因子，初基晶胞的整體運(yùn)動(dòng)存在著類似聲波的色散關(guān)系ω=vk，有類似聲波的性質(zhì)，故稱之為聲學(xué)支模式。它不是聲波。

48第四十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

兩支模式的區(qū)別在于，光學(xué)支模式是描寫初基晶胞中兩個(gè)原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)模式，若這兩個(gè)原子組成一個(gè)分子，光學(xué)支模式實(shí)際上是分子振動(dòng)模式，描寫的是同一個(gè)分子中的原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，聲學(xué)支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)，若初基晶胞中的兩個(gè)原子組成一個(gè)分子的話，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動(dòng)模式，這種振動(dòng)模式的色散關(guān)系類似于聲波。但它不是聲波。

49第四十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五50——長(zhǎng)光學(xué)波相鄰原子振動(dòng)相反，同種原子振動(dòng)位相一致這表明對(duì)于聲學(xué)支格波，相鄰原子的振動(dòng)方向相同。第五十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

當(dāng)k=±

設(shè)

對(duì)聲學(xué)支

對(duì)光學(xué)支

51第五十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五52§4.3三維晶格振動(dòng)的一般結(jié)論第五十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在三維空間，對(duì)一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)有3個(gè)偏振態(tài)，兩個(gè)橫振動(dòng)，一個(gè)縱振動(dòng)，對(duì)于3個(gè)不同的偏振態(tài)來(lái)說(shuō)原子的力常數(shù)是不同的?？v波的原子的運(yùn)動(dòng)與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運(yùn)動(dòng)與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數(shù)是不相同的，色散關(guān)系也是不一樣的。

53第五十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)于單原子晶體，簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有三支，每支色散關(guān)系對(duì)應(yīng)有Ｎ個(gè)簡(jiǎn)正模式，則共有3N個(gè)模式。對(duì)于雙原子點(diǎn)陣，點(diǎn)陣模式的色散關(guān)系有6支，3支聲學(xué)支，3支光學(xué)支。每支色散關(guān)系各有N個(gè)簡(jiǎn)正模式，故有3N個(gè)聲學(xué)模，在長(zhǎng)波極限下它對(duì)應(yīng)于初基晶胞的整體運(yùn)動(dòng)。54第五十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

光學(xué)支也有3N個(gè)簡(jiǎn)正模式，對(duì)應(yīng)與初基晶胞中原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。因此總的簡(jiǎn)正模式（包括光學(xué)支，聲學(xué)支）共有3×2×N=6N個(gè)，也就是說(shuō)雙原子點(diǎn)陣共有6N個(gè)簡(jiǎn)正模式，這6N個(gè)簡(jiǎn)正模式對(duì)應(yīng)于晶體中所有原子的總自由度。55第五十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

推而廣之，對(duì)于每個(gè)初基晶胞中有P個(gè)原子的點(diǎn)陣，簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有3P支，其中有3支是聲學(xué)支,對(duì)應(yīng)于聲學(xué)模的三種偏振狀態(tài),剩下的3P-3都是光學(xué)支，每一支的K的取值都有N個(gè),因此共有3PN個(gè)簡(jiǎn)正模式。其中3N個(gè)聲學(xué)模式，剩下的3NP-3N個(gè)都是光學(xué)模式，無(wú)論初基晶胞中有多少個(gè)原子，色散關(guān)系的聲學(xué)支只能有3支，因?yàn)槁晫W(xué)支對(duì)應(yīng)于初基晶胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)而這種運(yùn)動(dòng)只能有三個(gè)，剩下的3P-3支都是光學(xué)支，代表了初基晶胞中原子的相對(duì)振動(dòng)。56第五十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

需要說(shuō)明的是，在色散關(guān)系中，對(duì)三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向后才能畫出對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系，即ω-K的關(guān)系圖。對(duì)應(yīng)于晶體中對(duì)稱性比較高的方向，簡(jiǎn)正模式可以是簡(jiǎn)并的。但這并不是說(shuō)它們的簡(jiǎn)正模式數(shù)減少了，因?yàn)榇藭r(shí)盡管兩支橫光學(xué)支或橫聲學(xué)支簡(jiǎn)并，在同一個(gè)K下它們的頻率相同，但是它們處于不同的偏振態(tài)，各自仍然是獨(dú)立的。

57第五十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五58§4.4聲子第五十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1．聲子

點(diǎn)陣振動(dòng)可用簡(jiǎn)正模式來(lái)描述，每一個(gè)簡(jiǎn)正模式描寫一個(gè)一定頻率一定波矢和偏振狀態(tài)的平面波，而每一個(gè)平面波對(duì)應(yīng)于一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，給定了K就可以通過(guò)一定的色散關(guān)系求出ω。一個(gè)簡(jiǎn)正模式就代表一個(gè)頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量是量子化的，一個(gè)頻率為ω，波矢為K的簡(jiǎn)正模式，處于n激發(fā)態(tài)，它的能量為：

59第五十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

點(diǎn)陣振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式（或格波）的能量的量子稱為聲子。聲子是格波能量的量子，并非格波本身，一個(gè)頻率為ω，波矢為k的簡(jiǎn)正模式處在第n個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)在這個(gè)能量態(tài)上，占據(jù)了n個(gè)波矢為K頻率為ω的聲子。聲子的數(shù)目對(duì)應(yīng)于格波激發(fā)態(tài)的量子數(shù)，而格波的簡(jiǎn)正模式對(duì)應(yīng)于聲子的種類。

60第六十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一個(gè)波矢為K的第S支模式處在第n個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)在晶體中存在著n個(gè)波矢為K的第S支聲子（因?yàn)榻o定了K與第S支模式則ω可由色散關(guān)系唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學(xué)支模式處于n激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)晶體中有n個(gè)波矢為K的縱聲學(xué)支聲子。61第六十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

聲子這個(gè)名詞是模仿光子而來(lái)（因?yàn)殡姶挪ㄒ彩且环N簡(jiǎn)諧振動(dòng)）。聲子與光子都代表簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量的量子。所不同的是光子可存在于介質(zhì)或真空中，而聲子只能存在于晶體之中，只有當(dāng)晶體中的點(diǎn)陣由于熱激發(fā)而振動(dòng)時(shí)才會(huì)有聲子，在絕對(duì)零度下，即在OK時(shí)，所有的簡(jiǎn)正模式都沒(méi)有被激發(fā)，這時(shí)晶體中沒(méi)有聲子，稱之為聲子真空。聲子與光子存在的范圍不同，即寄居區(qū)不同。

62第六十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若點(diǎn)陣振動(dòng)的波矢為K的第S支的簡(jiǎn)正模式由于外界干擾而被激發(fā)，能量提高了一級(jí)，由n→n+1，那么我們就說(shuō)晶體中產(chǎn)生了一個(gè)波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由于外界的激發(fā)，格波的激發(fā)態(tài)下降為n-1，則我們說(shuō)在晶體中淹沒(méi)了一個(gè)波矢為K的第S支聲子。

63第六十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由于聲子是格波簡(jiǎn)正模式的能量量子，若其能量為：

其量子數(shù)n可取0∞的一切值，是不受任何限制的，因此聲子服從玻色統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在溫度為ＴＫ時(shí)，一個(gè)波矢為K，量子數(shù)為n的簡(jiǎn)正模式上的聲子數(shù)為：

64第六十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

我們可以把點(diǎn)陣振動(dòng)的“波動(dòng)語(yǔ)言”用“粒子語(yǔ)言”來(lái)描述，利用“粒子語(yǔ)言”處理問(wèn)題要方便的多，在分析格波與格波之間的散射問(wèn)題時(shí)，若采用“粒子語(yǔ)言”就是聲子于聲子之間的碰撞問(wèn)題，格波與格波之間的互作用可用聲子之間的碰撞來(lái)處理。格波與電子波之間的互作用，實(shí)際上就可用聲子與光子的碰撞來(lái)處理，但聲子是一種準(zhǔn)粒子。而不是基本粒子。

65第六十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

既然格波的能量量子定義為聲子，當(dāng)格波處于較高的激發(fā)態(tài)時(shí)晶體中就布局著較多的聲子，即格波振幅較大時(shí)，晶體中的聲子數(shù)較多。因此格波的振幅與聲子的數(shù)目就有一定的關(guān)系，下面我們就討論這個(gè)關(guān)系。

66第六十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

考慮長(zhǎng)聲學(xué)波的情況，當(dāng)ka《1，既λ》a時(shí)，可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，u≈COS（kx-ωt），此時(shí)考慮與聲子數(shù)目的關(guān)系為：

u≈COS（kx-ωt）

描寫的振動(dòng)是一個(gè)行波，它的能量有一半是動(dòng)能，另一半是彈性勢(shì)能，能量密度：（動(dòng)能的）

67第六十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

將u=u。Cos（kx-ωt）代入得：

整個(gè)晶體中總動(dòng)能的平均值為：

（之所以在右項(xiàng)出現(xiàn)1/2因子是因?yàn)閯?dòng)能只占整個(gè)動(dòng)能的1/2，另外1/2是勢(shì)能）

由此可得：

這就是格波的振幅與聲子數(shù)之間的關(guān)系。

68第六十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

2.軟聲子模式

當(dāng)k=0，ω=0時(shí)代表整個(gè)晶體中原子的整體運(yùn)動(dòng)模式，除了K=0，ω=0外，若還有k≠0而ω≈0的模式則稱為軟模（軟聲子模式）

69第六十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五70§4.5聲子動(dòng)量第七十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

聲子是格波能量的量子，格波并不是描寫粒子的真實(shí)位移的振動(dòng)，而是一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式，是描寫晶體中某一個(gè)原子與所有其他原子的坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)。

格波有3N個(gè)簡(jiǎn)正模式,在K=0,ω=0時(shí)有物理動(dòng)量,.即所有原子作整體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量,而其它模式都是相對(duì)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng),都無(wú)物理動(dòng)量,這一點(diǎn)還可用數(shù)學(xué)方法來(lái)證明。

71第七十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

考慮一個(gè)一維單原子鏈,點(diǎn)陣常數(shù)為a,點(diǎn)陣振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式:

所有的原子都有位移,總動(dòng)量應(yīng)等于所有原子的位移時(shí)間微商(即對(duì)s求和)

利用公式

可得:

72第七十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

∵L=na∴

∴P=0

這就說(shuō)明格波無(wú)物理動(dòng)量,它的總動(dòng)量為零。73第七十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

聲子沒(méi)有物理動(dòng)量。但平常這些有聲子參與的過(guò)程中，為處理問(wèn)題方便起見，我們把量h稱為聲子的準(zhǔn)動(dòng)量或聲子的晶體動(dòng)量，主要是由于它的性質(zhì)類似于一個(gè)動(dòng)量。這樣凡是有聲子參與的碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒依然存在。

74第七十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在第二章中我們已經(jīng)講過(guò)，對(duì)x-ray的彈性散射條件，既是Laue衍射條件，又是波矢選擇條件，凡是滿足這個(gè)條件沿方向就有反射束，凡不滿足這個(gè)條件x-ray將沿方向傳播而不受反射，若對(duì)上式兩邊都乘以h，則可看作動(dòng)量守恒的形式，即，它表明反射光子的動(dòng)量等于入射光子的動(dòng)量加上從點(diǎn)陣中獲得的動(dòng)量，h是從點(diǎn)陣中獲得的動(dòng)量，－h(huán)相當(dāng)于點(diǎn)陣的反沖動(dòng)量，這個(gè)動(dòng)量通常是很難觀察到的，就好象皮球打在墻上而觀察不到墻的反沖動(dòng)量一樣。

75第七十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在x-ray的非彈性散射的能量關(guān)系中，x-ray與點(diǎn)陣有能量交換，這種能量可以激發(fā)聲子，也可以從點(diǎn)陣中吸收聲子（吸收點(diǎn)陣的熱振動(dòng)動(dòng)能）也就是說(shuō)這種能量交換既可能激發(fā)點(diǎn)陣的熱振動(dòng)，也可能吸收點(diǎn)陣的熱振動(dòng)。

據(jù)量子力學(xué)：

式中為入射波矢，q為聲子波矢，+q對(duì)應(yīng)于聲子的產(chǎn)生過(guò)程。-q對(duì)應(yīng)于聲子的吸收過(guò)程，上式也是x-ray在晶體中發(fā)生非彈性散射的波矢選擇條件。

76第七十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

兩邊乘以h得：

當(dāng)=0時(shí)：

77第七十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五78§4.6中子的非彈性散射測(cè)量聲子能譜

第七十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

格波的色散關(guān)系也叫做聲子的能譜。它表示頻率與波矢之間的關(guān)系，在實(shí)際晶體中由于力常數(shù)是一個(gè)較復(fù)雜的量，色散關(guān)系難用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出來(lái)。通常是用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得的。

79第七十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

通常我們考慮的是單聲子過(guò)程，既吸收或產(chǎn)生一個(gè)聲子的過(guò)程，單聲子過(guò)程在整個(gè)聲子產(chǎn)生和吸收的過(guò)程中幾率很大。由于非彈性散射，在散射過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律，入射中子經(jīng)散射后，能量和動(dòng)量也要發(fā)生變化，若能測(cè)出中子在散射過(guò)程中的能量損失與波矢變化就能測(cè)出聲子的色散關(guān)系來(lái)。

80第八十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若入射中子的波矢為，中子質(zhì)量為，散射中子的波矢為，則有：

入射中子的能量：

散射中子的能量：

據(jù)能量守恒定理：

“

81第八十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)量守恒（亦稱波矢選擇條件）：

對(duì)于產(chǎn)生聲子的過(guò)程：

相應(yīng)地有：

82第八十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)于吸收聲子的過(guò)程：

相應(yīng)地有：

83第八十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

帶入能量守恒條件

對(duì)于產(chǎn)生聲子的過(guò)程：

即

這樣就可把中子能量的改變E-E`作為波矢改變的函數(shù)來(lái)處理。

84第八十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)于吸收聲子的過(guò)程：

即

85第八十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五入射中子的能量E與波矢是已知的，測(cè)出E`及就可決定色散關(guān)系即可測(cè)出散射過(guò)程中中子能量的增益和損失以及散射中子的，那么可由定出，而ω可有E-E`定出，這樣便可得到色散關(guān)系中的一個(gè)點(diǎn)。改變E或改變方向，再測(cè)能量和波矢變化，便可求出色散關(guān)系中的另一個(gè)點(diǎn)，如此多次取點(diǎn)便可得到整個(gè)色散關(guān)系。

86第八十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五87NeutronsorX-rayswithbroadrangeofenergiesSinglecrystalmonochromaterSinglecrystalmonochromaterSelectedenergyinSelectedenergyoutsampledetectorExperimentalsetupTripleaxis:rotationofsample第八十七頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五88Measureforphonons(1012Hz)k(2/a)k(2/a)k(2/a)AtripleaxisneutronspectrometeratBrookhavenNaT=90K[100][110][111]第八十八頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五89§4.7格波---聲子的對(duì)照

(元激發(fā)的物理思想)第八十九頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

元激發(fā)方法就是把有強(qiáng)相互作用的多粒子體系化成準(zhǔn)粒子的氣體問(wèn)題來(lái)處理的一種方法,元激發(fā)正是針對(duì)著我們各種不同物理問(wèn)題提出來(lái)得一類準(zhǔn)粒子.

固體物理中的元激發(fā)很多,如能帶中的電子、空穴、等離激元、極化子、磁振子、聲子等.

現(xiàn)代固體理論都是建立在這套處理方法之上的。

90第九十頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

格波

1.點(diǎn)振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式是具有一定頻率和波矢的平面波稱之為格波.

稱作格波的色散關(guān)系,波矢取周期性邊界條件允許的值,且取第1BZ之內(nèi),即: 共有N個(gè)

聲子

1.聲子是格波能量的量子,點(diǎn)陣振動(dòng)可以等價(jià)地由聲子氣體描寫,聲子的能量是準(zhǔn)動(dòng)量是 91第九十一頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.點(diǎn)陣振動(dòng)的基態(tài)是所有格波都沒(méi)有激發(fā)

2.點(diǎn)陣振動(dòng)的基態(tài)是各種聲子都沒(méi)有,叫做聲子真空.92第九十二頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.由于熱激發(fā)或外來(lái)因素的影響,使某一波矢為頻率為的格波從激發(fā)到的激發(fā)態(tài).3.從聲子真空中產(chǎn)生個(gè)的聲子. 93第九十三頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.知道了各種格波[各種波矢及],點(diǎn)陣振動(dòng)便完全確定,點(diǎn)陣振動(dòng)的狀態(tài)用量子數(shù)表示為

4.知道了各種聲子的數(shù)目,點(diǎn)陣振動(dòng)的量子態(tài)就確定了94第九十四頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五5.簡(jiǎn)諧近似下,格波是互相獨(dú)立的,互不影響. 5.簡(jiǎn)諧近似下,聲子氣體是理想氣體.95第九十五頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6.格波服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì),在溫度為TK時(shí),格波處于第能級(jí)上的幾率為:6.聲子氣體服從玻色統(tǒng)計(jì),聲子在波矢為,頻率為的模式上布居的聲子數(shù)為:(在溫度為TK時(shí))96第九十六頁(yè)，共一百零四頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.非簡(jiǎn)諧近似下,格波不再是獨(dú)立的,彼此可以相互作用,格波-格波散射有兩種類型:<1>

三個(gè)格波相互作用,下降一個(gè)能級(jí),上升一個(gè)能級(jí),這種相互作用滿足兩個(gè)守恒定理:

<2>

三個(gè)格波相互作用,下降一個(gè)能級(jí),上升一個(gè)能級(jí),守恒定律:

7.聲子與聲子碰撞有兩種類型:<1>

(湮沒(méi)了波矢為的聲子,產(chǎn)生了波矢為的聲子)

兩個(gè)聲子湮滅,產(chǎn)生一個(gè)新的聲子.<2>

一個(gè)聲子湮滅,產(chǎn)生兩個(gè)新的聲子.