第四章表象理論

第四章表象理論第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五三個(gè)公式：平均值公式本征值方程薛定諤方程在任意表象中的表示幺正變換應(yīng)作為綜合性內(nèi)容，重點(diǎn)掌握其性質(zhì)表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣矩陣力學(xué)（海森堡Heisenberg

）〖前稱波動(dòng)力學(xué)〗

1態(tài)在任意表象中的表示

1.1Q表象的形成首先考慮，在坐標(biāo)表象中力學(xué)量算符的本征函數(shù)構(gòu)成正交歸一完備系，其本征值譜為；體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù)描述，將其展開(kāi)為力學(xué)量的本征函數(shù)的疊加

（1）（2）

第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

并且（3）說(shuō)明：（1）表示（給出）量子態(tài)在時(shí)刻測(cè)量粒子坐標(biāo)為的概率表示（給出）在該量子態(tài)中測(cè)量粒子的力學(xué)量所得結(jié)果為的概率

二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述物理意義是等價(jià)的

數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的

（2）一般不再是坐標(biāo)的函數(shù)

而是力學(xué)量的本征值的函數(shù)，即量子數(shù)的函數(shù)，隨的不同取不同復(fù)數(shù)值.

第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.2表象中態(tài)函數(shù)的表示（態(tài)的表象）

是從力學(xué)量的角度描述量子態(tài)的波函數(shù)為量子態(tài)在表象中的表示（波函數(shù)）以表示這一量子態(tài)，則該態(tài)在表象中的表示可寫成一列矩陣形式（4）

共厄矩陣為（5）

第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五體系的歸一化條件

寫為矩陣形式為（6）1.3討論（1）表象中狀態(tài)的描述依賴于坐標(biāo)表象中力學(xué)量的本征函數(shù)系，每一個(gè)必定給出在表象中的一個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)，可見(jiàn)幾何空間坐標(biāo)軸表象的基矢幾何空間中的矢量態(tài)矢態(tài)矢在表象基矢上的分量構(gòu)成了在表象中的表示，由于構(gòu)成的空間維數(shù)可以是無(wú)窮的，甚至是不可數(shù)的希爾伯特空間（態(tài)空間）（2）對(duì)于連續(xù)譜是連續(xù)的，寫成函數(shù)形式矩陣行列不可數(shù)第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）力學(xué)量算符的本征函數(shù)在表象中

（自身表象）

符號(hào)

即的本征值為分離譜時(shí)，其本征矢在自身表象中的矩陣表示為（7）態(tài)矢的矩陣形式仍為注意：當(dāng)?shù)谋菊髦禐檫B續(xù)譜時(shí)，其本征矢在自身表象中為函數(shù)

第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）所謂表象的基矢，應(yīng)該是一組力學(xué)量完全集決定的本征態(tài)，例如在三者的共同表象中，基矢為

即共同本征函數(shù)系為1.4特例

（1）動(dòng)量表象.以力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)

作為基矢，則任意態(tài)

第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)量本征值為連續(xù)譜，若具體給出狀態(tài)為平面單色波

這是動(dòng)量算符的本征值為的本征態(tài)（在坐標(biāo)表象中的表示，自由粒子波函數(shù)），它在動(dòng)量表象的表示為（8）即自身表象中是以動(dòng)量為變量的函數(shù)（表象中同樣存在以坐標(biāo)為變量的函數(shù)，它是坐標(biāo)算符的屬于本征值的本征函數(shù)）

第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）能量表象（中心力場(chǎng)能量表象為例）

力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)作為能量表象的基矢，對(duì)任意態(tài)若具體給出第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五則從而在表象中態(tài)函數(shù)

（9）

第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2力學(xué)量（算符）在任意表象中的表示

力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對(duì)應(yīng)，以保證對(duì)波函數(shù)的作用有意義

2.1任意力學(xué)量算符在表象中的表示表象中，的算符方程為（以一維為例）選擇表象時(shí)，首先注意到以力學(xué)量算符的本征函數(shù)完全集作為基矢，并假設(shè)具有分譜，然后將，按展開(kāi)（10）

（11）

第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五代入（10）中后兩邊以作用，并利用的正交歸一性得

式中（13）式即為力學(xué)量算符在表象中的矩陣元，是在表象中的表示它所構(gòu)成的算符矩陣為（12）

（13）

（14）

第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.2討論

（1）力學(xué)量算符在表象中的矩陣元依賴于表象基矢（2）厄米算符在表象中的矩陣，其對(duì)角矩陣元互為共軛復(fù)數(shù)當(dāng)時(shí)對(duì)角元即對(duì)角元為實(shí)數(shù)（3）由共軛矩陣（轉(zhuǎn)置取復(fù)共軛）的定義知（15）

（16）

（17）

這樣的矩陣稱為厄米矩陣

第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）算符在自身表象中的矩陣為對(duì)角矩陣，即當(dāng)

時(shí)，有

這些實(shí)數(shù)的對(duì)角矩陣元即為算符的本征值（5）對(duì)于連續(xù)譜，矩陣元寫成為連續(xù)變量下標(biāo)，行和列是不可數(shù)的3表象特例（補(bǔ)充一）

3.1動(dòng)量表象以動(dòng)量算符的本征函數(shù)作為基矢，則算符在動(dòng)量表象的矩陣元為（18）

（19）

第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）動(dòng)量算符動(dòng)量算符在自身表象中即為動(dòng)量（或）（2）坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中為

（20）

第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)量表象中算符x的本征函數(shù)為

又坐標(biāo)表象中x的本征函數(shù)為，所以（3）角動(dòng)量算符

第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若將代入，得動(dòng)量表象中

角動(dòng)量算符

（4）哈密頓算符在動(dòng)量表象中的表示

3.2能量表象以的本征函數(shù)為基矢，可能是

一維無(wú)限深勢(shì)阱

一維諧振子

中心力場(chǎng)

第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五算符在能量表象中的矩陣元（1）哈密頓算符

哈密頓算符在自身表象中為對(duì)角矩陣，能量本征值一目了然（2）不顯含時(shí)間算符微分矩陣元

因?yàn)橐话?/p>

第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以稱為算符的運(yùn)動(dòng)方程

微分算符矩陣元即微分算符矩陣元轉(zhuǎn)化為這個(gè)算符的矩陣元與相應(yīng)的能級(jí)差之積，如

第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題一求能量表象中一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)與動(dòng)

量的矩陣元

解：基矢能級(jí)

當(dāng)時(shí)，對(duì)角元為當(dāng)時(shí)，非對(duì)角元為

第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五4量子力學(xué)公式的矩陣表述（以分立譜為例）

實(shí)質(zhì)是把表象中的表達(dá)式變換到表象中，故以表象基矢為基礎(chǔ)，以態(tài)矢及算符

（矩陣）

（矩陣元）進(jìn)行變換可得

第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

表象

表象（矩陣）

力學(xué)量平均值

本征方程

薛定諤方程

內(nèi)積即第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五注意“內(nèi)積”的簡(jiǎn)易表示式，非常方便！本征函數(shù)的正交歸一性平均值矩陣元態(tài)在Q表象的表示厄米算符定義第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五問(wèn)題重點(diǎn)在于應(yīng)用，而應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵在于（1）分清表象基矢及表象中各力學(xué)量的本征態(tài)[注意力學(xué)量在表象中本征態(tài)為]以及任意態(tài)（2）分清表象中各力學(xué)量的形式（包括對(duì)角矩陣）

5幺正變換

5.1任務(wù)前面討論表象的變換，現(xiàn)把任意算符及態(tài)矢從表象變換到另一表象中，目的是簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的討論

5.2基礎(chǔ)（1）表象的基矢與；（2）表象中的算符

第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

（3）表象中的態(tài)矢

5.3變換矩陣（1）變換矩陣的矩陣元兩表象基矢的內(nèi)積，注意腳標(biāo)所代表的表象（表象，表象）、先后順序及星號(hào)（21）

第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）變換矩陣為幺正矩陣

即

（23）式為幺正變換條件，可見(jiàn)變換矩陣一般情況下不是厄米矩陣5.4算符及態(tài)矢的變換（22）

（23）

或（24）

或

（25）

第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明：（1）變換的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)表象的基矢得到

變換矩陣；

（2）是同一力學(xué)量算符，表示同一態(tài)，只不過(guò)所處表象不同（采用不同變量）。5.5幺正變換的兩個(gè)重要性質(zhì)

（1）幺正變換不改變算符的本征值。這給我們提供了一個(gè)求算符本征值的方法：（）一般情況下算符在表象中可能不是對(duì)角矩陣，其本征值通過(guò)解久期方程求得；但能通過(guò)適當(dāng)?shù)溺壅儞Q使算符進(jìn)入另一個(gè)表象而對(duì)角化。

第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

（）非對(duì)角矩陣到對(duì)角矩陣的變換，即原表象到自

身表象的變換。關(guān)鍵在于找到原表象與

自身表象的基矢，以構(gòu)成幺正矩陣。

（）幺正變換不改變算符的本征值，所以變換后的對(duì)角矩陣元即為其本征值。（2）幺正變換不改變矩陣的跡例題2在正交歸一化基矢所張的三維矢量空間中，時(shí)的態(tài)矢。而物理體系的能量算符和另外兩個(gè)物理量算符與的矩陣形式為第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

均為實(shí)數(shù)，求

（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函數(shù)（態(tài)矢）的表示；（3）態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、、=？（4）態(tài)中算符、的可能值及相應(yīng)概率。解：（1）因?yàn)榫仃嚍閷?duì)角矩陣能量表象；此表象為的本征態(tài)，基矢在能量表象中為（2）表象中波函數(shù)的表示為表象

第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五或利用可得

故能量表象中態(tài)矢為（3）由對(duì)角矩陣可知，能量取值只能是、、，且是兩度簡(jiǎn)并的，取和的