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28.1銳角三角函數(shù)第二十八章銳角三角函數(shù)第3課時利用方位角、坡度解直角三角形九年級數(shù)學下

以正南或正北方向為準,正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角,叫做方位角.如圖所示:30°45°BOA東西北南方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南北偏東30°南偏西45°復習引入講授新課解與方位角有關的問題一典例精析例1

如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向,距離燈塔80nmile的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處,這時,海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(精確到0.01nmile)?65°34°PBCA解:如圖,在Rt△APC中,PC=PA·cos∠APC=80×cos25°≈80×0.91=72.8.在Rt△BPC中,∠B=34°,因此,當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時,它距離燈塔P大約130nmile.65°34°PBCA解:過A作AF⊥BC于點F,則AF的長是A到BC的最短距離.∵BD∥CE∥AF,∴∠DBA=∠BAF=60°,∠ACE=∠CAF=30°,∴∠BAC=∠BAF-∠CAF=60°-30°=30°.例2如圖,海島A的周圍8海里內有暗礁,魚船跟蹤魚群由西向東航行,在點B處測得海島A位于北偏東60°,航行12海里到達點C處,又測得海島A位于北偏東30°,如果魚船不改變航向繼續(xù)向東航行.有沒有觸礁的危險?北東ACB60°30°DEF又∵∠ABC=∠DBF-∠DBA=90°-60°=30°=∠BAC,∴BC=AC=12海里,∴AF=AC·cos30°=6(海里),6≈10.392>8,故漁船繼續(xù)向正東方向行駛,沒有觸礁的危險.北東ACB60°30°DEF

如圖所示,A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB),經測量,森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心,100km為半徑的圓形區(qū)域內,請問:計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)(參考數(shù)據(jù):≈1.732,≈1.414).練一練200km200km解:過點P作PC⊥AB,C是垂足.則∠APC=30°,∠BPC=45°,

AC=PC·tan30°,BC=PC.∵AC+BC=AB,∴PC·tan30°+PC=200,即PC+PC=200,解得PC≈126.8km>100km.答:計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū).C解與坡度有關的問題二

如圖,從山腳到山頂有兩條路AB與BC,問哪條路比較陡?如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢?ABC觀察與思考αlhi=h:l1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作α.2.坡度(或坡比)坡度通常寫成1∶m的形式,如i=1∶6.

如圖所示,坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),記作i,

即i=h:l

.坡面水平面3.坡度與坡角的關系即坡度等于坡角的正切值.1.斜坡的坡度是,則坡角α=___度.2.斜坡的坡角是45°

,則坡比是_____.3.斜坡長是12米,坡高6米,則坡比是_______.αlh301:1練一練例4水庫大壩的橫斷面是梯形,壩頂寬6m,壩高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:(1)斜坡CD的坡角α(精確到1°);

ADBCi=1:2.5236αi=1:3解:

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4,由計算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α為22°.解:分別過點B、C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分別為點E、F,由題意可知BE=CF=23m,EF=BC=6m.在Rt△ABE中,(2)壩底AD與斜坡AB的長度(精確到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中,由勾股定理可得在Rt△DCF中,同理可得故壩底AD的長度為132.5m,斜坡AB的長度為72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:3

如圖,小明周末上山踏青,他從山腳處的B點出發(fā)時,測得坡面AB的坡度為1:2,走米到達山頂A處.這時,他發(fā)現(xiàn)山的另一坡面AC的最低點C的俯角是30°.請求出點B和點C的水平距離.練一練ACBD30°答案:點B和點C的水平距離為米.當堂練習1.如圖,河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1:,壩高BC=3m,則坡面AB的長度是()A.9mB.6m

C.m

D.mACBB2.如圖,某漁船如圖所示,某漁船在海面上朝正東方向勻速航行,在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上,航行半小時后到達B處,此時觀測到燈塔M在北偏東30°方向上,那么該船繼續(xù)航行到達離燈塔距離最近的位置所需的時間是()A.10分鐘B.15分鐘

C.20分鐘

D.25分鐘B3.如圖,C島在A島的北偏東50°方向,C島在B島的北偏西40°方向,則從C島看A,B兩島的視角

∠ACB等于

.90°4.如圖,海上B、C兩島分別位于A島的正東和正北方向,一艘船從A島出發(fā),以18海里/時的速度向正北方向航行2小時到達C島,此時測得B島在C島的南偏東43°方向,則A、B兩島之間的距離為

.(結果精確到0.1海里,參考數(shù)據(jù):sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

33.5海里解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分別為E、F.由題意可知

DE=CF=4(米),CD=EF=12(米).5.一段路基的橫斷面是梯形,高為4米,上底的寬是

12米,路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°,求路基下底的寬(精確到0.1米,

,

).

45°30°4米12米ABCD在Rt△ADE中,EF

在Rt△BCF中,同理可得因此AB=AE+EF+BF≈4+12+6.93≈22.93(米).答:路基下底的寬約為22.93米.(米).(米).45°30°4米12米ABCDEF6.如圖有一個古鎮(zhèn)建筑A,它周圍800米內有古建筑,鄉(xiāng)村路要由西向東修筑,在B點處測得古建筑A在北偏東60°方向

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