第四章變量數(shù)列分析

第四章變量數(shù)列分析第一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)變量數(shù)列分析概述

一、變量數(shù)列分析的內(nèi)容

1、總體結(jié)構與分布特征分析。

2、集中趨勢分析。

3、離中趨勢分析。

4、偏度與峰度分析。

第二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五二、變量數(shù)列分析的作用

1、認識作用。

2、比較作用。

3、數(shù)量標準作用。

4、推斷作用。第三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五三、變量數(shù)列分析的原則

1、注意總體各單位的同質(zhì)性。

2、用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)。

3、用分配數(shù)列補充說明總平均數(shù)。

4、集中趨勢與離中趨勢結(jié)合應用。

5、一般與個別結(jié)合應用。第四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

第二節(jié)集中趨勢分析

一、平均指標的意義

（一）平均指標的概念平均指標又稱平均數(shù)，是指某一數(shù)量標志在總體各單位上所達到的一般水平。

（二）平均指標的特點將具體數(shù)值抽象化，用一個代表性的數(shù)字來代表總體的一般水平。

第五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）平均指標的作用

1、反映總體分布的集中趨勢。

2、比較同類現(xiàn)象在同一時間、不同空間上的水平。

3、比較同類現(xiàn)象在同一空間、不同時間上的水平。第六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（四）平均指標的種類

算數(shù)平均數(shù)

計算平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)一般平均數(shù)（數(shù)值平均數(shù)）幾何平均數(shù)（靜態(tài)平均數(shù)）

眾數(shù)

位置平均數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

平均發(fā)展水平動態(tài)平均數(shù)平均增長水平（序時平均數(shù)）平均發(fā)展速度平均增長速度圖6-1第七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五二、算術平均數(shù)（一）概念和基本公式算術平均數(shù)是指總體標志總量與總體單位總量對比所得之比值。一般用符號表示。其基本公式為：

第八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五在計算算術平均數(shù)時應注意：分子、分母必須同屬于同一總體，且具有一一對應的關系，即：有一個總體單位必須有一個標志值與之對應。只有這樣計算出來的平均指標才能表明總體的一般水平。這正是平均指標與強度相對指標的區(qū)別，強度相對指標是兩個有聯(lián)系的不同總量指標對比的結(jié)果，這兩個總量指標沒有依附關系，而只是經(jīng)濟內(nèi)容上存在客觀聯(lián)系。第九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（二）計算方法

1、簡單算術平均法。

（1）適用對象。簡單算術平均法適用于求未分組資料的平均數(shù)。（2）計算公式。第十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

例6-1

某班組20名工人的周工資分別為：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，則其平均工資為：第十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、加權算術平均法。

（1）適用對象。加權算術平均法適用于對已分組的資料求平均數(shù)。

（2）計算公式。

①當權數(shù)為絕對數(shù)f時。第十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-2某班組20名工人按周工資分組資料如下表：

表6-1按周工資分組（元）x工人人數(shù)（人）f

xf

150180200220240260280

2346311

3005408001320720260280

122934454874969

74422883484486252324014761

20

4220

518

20980第十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五②當權數(shù)為頻率f/∑f時。第十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-3

某班組若干名工人按周工資分組的資料如下表：

表6-2按周工資分組（元）

x各組人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）f/∑f

x﹡f/∑f

150180200220240260280

101520301555

15274066361314∑

100

211第十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

=211(元）第十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）關于加權算術平均數(shù)的幾點說明

1、加權算術平均數(shù)同時受變量值x和權數(shù)f或f/∑f兩個因素的影響。

2、權數(shù)從形式上講可以是頻數(shù)f，也可以是頻率f/∑f。

3、對同一原始資料而言，用頻數(shù)f與用頻率f/∑f求出的平均數(shù)始終是相等的。

4、權數(shù)對平均數(shù)的大小有權衡輕重的作用，即哪一個組的權數(shù)最大，計算出來的平均數(shù)就與該組的變量值最接近。

5、各組頻率沒變，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)始終都不變；各組頻率發(fā)生變化，不論頻數(shù)是否變化，平均數(shù)也發(fā)生變化。

第十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如，某建筑工地上，各種起重機和起重機臺數(shù)構成資料如下：起重（噸）起重機臺數(shù)（臺）各組所占比重％起重總量（噸）４０１１０４０２５２２０５０１０３３０３０５４４０２０合計１０１００１４０平均起重量=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14噸第十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五權數(shù)對平均數(shù)的大小不取決于它的絕對值的大小而取決于它的比重大小，若各組單位數(shù)與總體單位數(shù)同時發(fā)生變化，各組比重不變，則平均數(shù)不變。起重量（噸）起重機臺數(shù)（臺）各組起重機占比重％起重總量（噸）４０２１０８０２５４２０１００１０６３０６０５８４０４０合計２０１００２８０平均起重量X￣=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14噸第十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

6、當個組頻數(shù)或頻率相等時，權數(shù)就失去了其應有的作用，此時，加權算術平均數(shù)就變成了簡單算術平均數(shù)，所以說簡單平均數(shù)是加權平均數(shù)在權數(shù)相等是的一個特例。若各組單位數(shù)相同，即ｆ1=ｆ2=---=ｆn=ｆ,則加權算術平均數(shù)計算公式與簡單算術平均數(shù)存在下面的關系式：所以簡單算術平均數(shù)是加權算術平均數(shù)的一個特例，是權數(shù)相等條件下的加權算術平均數(shù)。

第二十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五7、根據(jù)組距數(shù)列求加權算術時，需取組中值作為各組變量值的代表，是假定總體各單位在各組內(nèi)部是均勻分布的，但并非如此，故計算的平均數(shù)只是一個近似值。第二十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五8、在計算加權算術平均數(shù)時，對于權數(shù)的選擇必須慎重考慮。例如，計算平均利潤率、平均合格率、平均費用率、平均計劃完成程度等等，應根據(jù)被研究標志的性質(zhì)及具有的權數(shù)資料選擇不同的方法，下面請看例子：第二十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例1：某市某局所屬15個企業(yè)工業(yè)增加值計劃完成情況的組距分配數(shù)列資料如下：計劃完成程度

(%)組中值

(%)企業(yè)數(shù)

(個)計劃數(shù)

(萬元)

90-100

95

5

100

100-110

105

8

800

110-120

115

2

100合計

---

15

1000根據(jù)上述資料計算該公司平均計劃完成程度如果以企業(yè)數(shù)為權數(shù)就不對第二十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例2：某公司下屬三個門市部銷售情況如下：部門銷售利潤率(%)銷售額(萬元)

A

12

1000

B

10

2000

C

7

1500合計

-----

4500根據(jù)以上資料計算該公司的平均利潤率。第二十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例3：某市100個超市的月銷售額與流通費用情況如下：按銷售額分組（萬元）商店數(shù)（個）銷售費用率（%）

50以下

10

14、2

50--100

20

11、4

100--200

30

10、1

200--300

25

9、2

300以上

15

8、5合計

100

------第二十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（四）算術平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)

1、各變量值與其算術平均數(shù)離差的和等于0。即：｛第二十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

2、各變量值與其算術平均數(shù)離差平方的和為最小。即：｛第二十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第二十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（五）算術平均數(shù)的特殊應用1、等級（品質(zhì)標志）平均數(shù)(例6-4和例6-5）。

2、評分平均數(shù)（教材P62—63）。3、先進平均數(shù)（例6-6和例6-7）。

4、截尾平均數(shù)（教材P63）。第三十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-4某地區(qū)勞動力資源按文化程度不同的分組資料如下表。要求計算該地勞動力資源的平均文化程度。

表6-3

按文化程度分組人數(shù)（萬人）

f受教育年限（年）

x

xf大學高中初中小學文盲、半文盲

5357011525

1612960

804206306900∑

250

—

1820第三十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-5某農(nóng)產(chǎn)品收購站2003年收購的某農(nóng)產(chǎn)品按收購等級分組得資料如下表。要求計算該農(nóng)產(chǎn)品的平均等級。

表6-4按等級分組收購量（公斤）

f

x

xf特等品一等品二等品三等品等外品

300500100035050

01234

050020001050200∑

2200

—

3750第三十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-6資料見例6-2。要求計算該班組20名工人周工資的先進算術平均數(shù)。第三十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-7資料見例6-15。要求計算該班學生統(tǒng)計學考試成績的先進算術平均數(shù)。

表6-5按成績分組（分）人數(shù)（人）

f

x

xf

73.20—8080—9090以上

1772

76.608595

1302.20595190∑

26

—

2087.20第三十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五三、調(diào)和平均數(shù)（一）概念和基本公式調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是指各變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。一般用符號表示。其基本公式為：第三十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（二）計算方法

1、簡單調(diào)和平均法。（1）適用對象。簡單調(diào)和平均法適用于對未分組資料求平均數(shù)。（2）計算公式。第三十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-8某種蔬菜在某個農(nóng)貿(mào)市場早、中、晚的價格分別為（元/斤）：2.00、1.80、1.50，則某人早、中、晚各買1元時的平均價格為：

=1.74（元）第三十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、加權調(diào)和平均法。

（1）適用對象。加權調(diào)和平均法適用于對已分組資料求平均數(shù)。

（2）計算公式。==

==第三十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（3）應用。

例6-9

某班若干名學生按年齡分組的資料如下表：

表6-6按年齡分（歲）

x總年齡（歲）

m

m/x

1819202122

3619052021044

21026102∑

1000

50第三十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

例6-10某公司所屬甲、乙、丙三個企業(yè)的利潤率和利潤額資料如下表。要求計算甲、乙、丙三個企業(yè)的平均利潤率。

表6-7企業(yè)名稱利潤率（%）

x利潤額（萬元）m

m/x甲乙丙

151816

75396104

5002200650∑

—

575

3350第四十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

例6-11某單位2003年新、老職工的有關工資資料如下表。要求計算該單位新、老職工的平均工資。

表6-8職工類別平均工資（元）x工資總額（元）

m

m/x新職工老職工

1300017000

455000011050000

350650∑

—

15600000

1000第四十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五四、幾何平均數(shù)

（一）幾何平均數(shù)的概念

幾何平均數(shù)是指N個比率連乘積的N次方根。一般用符號表示。

（二）幾何平均數(shù)的計算方法

1、簡單幾何平均法。

（1）適用對象。簡單幾何平均法適用于對未分組的N個比率求平均數(shù)。

（2）計算公式。第四十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

例6-12某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品要經(jīng)過五道工序，已知各工序的合格率分別為98%、95%、98%、97%和95%，要求計算五道工序的平均合格率。第四十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、加權幾何平均法。

（1）適用對象。加權幾何平均法適用于對已分組的N個比率求平均數(shù)。（2）計算公式。第四十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-13某校某年統(tǒng)計學期末考試各班級按及格率分組的資料如下表。要求計算各班級的平均及格率。

表6-9按及格率分組（%）x班級數(shù)（個）f

60以下

60—7070—8080—9090以上

271353∑

30第四十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和算術平均數(shù)的關系：1、從統(tǒng)計認識的角度看，上述三種平均數(shù)是無關的，即這三種平均數(shù)，只能根據(jù)統(tǒng)計研究的性質(zhì)單獨使用，不可同時使用。2、但從數(shù)量上看，它們存在著如下關系：

H≤G≤Xˉ（只有當所有變量值都相等的情況下，三種平均數(shù)才相等）。明白了這個關系，就可判定：在該用算術平均數(shù)時，如果用了其它平均數(shù)則結(jié)果必??；在該用調(diào)和平均數(shù)時，如果用了其它平均數(shù)則結(jié)果必大。第四十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五3、僅以兩個變量值來證明以下不等式關系：證明：（a-b）2=a2-2ab+b2≥0

第四十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五4、舉例：某機械廠六個工人某天生產(chǎn)零件如下：15、16、17、18、19、20件，用三種方法計算其平均日產(chǎn)量。H≤G≤Xˉ假設當六個工人產(chǎn)量均為18件時，則H=G=Xˉ第四十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五五、眾數(shù)

（一）眾數(shù)的概念眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。一般用符號表示。（二）眾數(shù)的前提條件

1、變量值必須分組。

2、變量值要有明顯的集中趨勢。

第四十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。由于它出現(xiàn)次數(shù)最多，所以可以代表社會現(xiàn)象的一般水平，并且眾數(shù)對算術平均數(shù)的影響很大。例如：某鞋店某月女式皮鞋的銷售量如下：34碼20雙35碼60雙36碼75雙37碼60雙38碼60雙39碼30雙

40碼5雙共計銷售了310雙，出現(xiàn)次數(shù)最多的是36碼，銷售了75雙，那么36碼則是眾數(shù)。第五十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）眾數(shù)的確定方法

1、由單項數(shù)列確定眾數(shù)。

眾數(shù)=頻數(shù)（頻率）最多組的變量值

單眾數(shù)——只有一個組的頻數(shù)（頻率）為最多。復眾數(shù)——有兩個組的頻數(shù)（頻率）一樣為最多。無眾數(shù)——第五十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五具體分三種情況：如：某車間三個生產(chǎn)班組工人某日生產(chǎn)零件數(shù)如下：第一組：70727575757575757880

眾數(shù)：75件出現(xiàn)6次，第二組：68707575757878788082

眾數(shù)：75、78件各出現(xiàn)3次75+78/2=76、5第三組：68707578808284909495

無眾數(shù)。第五十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-14某班50名學生按年齡分組的資料如下表。試確定其年齡的眾數(shù)。（20歲）

表6-10按年齡分（歲）人數(shù)（人）

1819

27

20

28

2122

121∑

50第五十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、由組距數(shù)列確定眾數(shù)。①確定眾數(shù)組。眾數(shù)組=頻數(shù)（頻率）最多的組②按下列方法中的公式求眾數(shù)的近似值。

A、切伯插值法。

（下限公式）（上限公式)第五十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

B、金氏插值法。

C、皮爾遜經(jīng)驗法。第五十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如：某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭年收入情況如下：根據(jù)上述資料確定其眾數(shù)。解：第一步先確定眾數(shù)所在組在：“1400—1600”這一組，具體為多少呢？近似地確定為：第二步用公式計算按年收入分組（元）家庭戶數(shù)

1000-1200

240

1200-1400

480

1400-1600

1050

1600-1800

600

1800-2000

270

2000-2200

210

2200-2400

120

2400-2600

30合計

3000第五十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-15某班50名學生期末統(tǒng)計學考試成績?nèi)缦卤恚?/p>

表6-11按成績分組（分）人數(shù)（人）

f

x

xf累計頻數(shù)（人）較小制較大制

60以下

60—70

412

5565

220780

416

5046

70—80

25

75

1875

41

34

80—9090以上

72

8595

595190

4850

92∑

50

—

3660

—

—要求：計算該班學生考試成績的算術平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)。第五十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第五十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五六、中位數(shù)

（一）中位數(shù)的概念中位數(shù)是指將變量值按大小順序排列以后，位于數(shù)列中間位置的變量值。一般用符號表示。

（二）中位數(shù)的前提條件變量值必須按大小順序排列。

第五十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）中位數(shù)的確定方法

1、由未分組資料確定。（1）N為奇數(shù)時。（2）N為偶數(shù)時。第六十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)(1)、首先將標志值按大小順序排列，(2)、然后根據(jù)

{當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時}確定中位數(shù)的位置，(3)、再根據(jù)中位數(shù)的位置找出對應的標志值。第六十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如：要測試7種新型小轎車的耗油量，每百公里耗油（公升）分別為：78910111315n=7中位數(shù)的位置

第4個位置對應的標志值就是中位數(shù)，Me=10公升/百公里上列標志值為奇數(shù)，若為偶數(shù)，如測試6種車的耗油量（公升）分別為：7910111315n=6中位數(shù)的位置在第3和第4個位置之間，則中位數(shù)是這兩個位置對應的標志值的算術平均數(shù)，即：Me=（10+11）/2=10、5公升/百公里第六十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、由已分組資料確定。

（1）由單項數(shù)列確定。第一、首先按公式，確定中位數(shù)的位置第二、再根據(jù)位置找出中位數(shù)所在組，用向上累計或向下累計次數(shù)剛好超過中位數(shù)位置次數(shù)的組確定為中為數(shù)組第三、再根據(jù)中位數(shù)組的位置找出對應的標志值，即為中位數(shù)。第六十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如：某市場某種商品的銷售情況如下，試確定其中位數(shù)。價格（元）成交量（千克）較小制累計較大制累計２、３２０２０３００２、６６０８０２８０３、０１４０２２０２２０３、２８０３００８０合計３００－－－－－－1、按公式確定中位數(shù)的位置2、找出中位數(shù)所在的組，從較小累計次數(shù)看，第三組的累計次數(shù)為220千克，大于150、5千克，因此中位數(shù)必然在第三組，該組的標志值即為中位數(shù)

3、Me=3、00元第六十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。①確定中位數(shù)組。中位數(shù)組=∑f/2位置的變量值所在的組②由下列公式求中位數(shù)的近似值。（下限公式）（上限公式）

第六十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

L表示中位數(shù)組的下限U表示中位數(shù)組的上限Sm-1表示中位數(shù)組以前各組的累計次數(shù)Sm+1表示中位數(shù)組以后各組的累計次數(shù)fm表示中位數(shù)的次數(shù)Σf表示總次數(shù)d表示中位數(shù)組的組距第六十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如：某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭年收入情況如下，試確定其中位數(shù)：按年收入分組（元）家庭戶數(shù)較小制累計較大制累計１０００－１２００２４０２４０３０００１２００－１４００４８０７２０２７６０１４００－１６００１０５０１７７０２２８０１６００－１８００６００２３７０１２３０１８００－２０００２７０２６４０６３０２０００－２２００２１０２８５０３６０２２００－２４００１２０２９７０１５０２４００－２６００３０３０００３０合計３０００－－－－－－－解：1、先確定中位數(shù)位置Σf/2=3000/2=15002、確定中位數(shù)所在組從較小累計次數(shù)來看，第3組為1770，大于1500，因此中位數(shù)必在第三組。

3、用公式計算中位數(shù)的近似值。第六十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五按年收入分組（元）家庭戶數(shù)較小制累計較小制累計１０００－１２００２４０２４０３０００１２００－１４００４８０７２０２７６０１４００－１６００１０５０１７７０２２８０１６００－１８００６００２３７０１２３０２７０２６４０６３０２０００－２２００２１０２８５０３６０２２００－２４００１２０２９７０１５０２４００－２６００３０３０００３０合計３０００－－－－－－－第六十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五七、各種平均數(shù)之間的關系（一）算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關系（二）算術平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關系

1、對稱分布時（圖6-2）。

2、右偏（正偏）分布（圖6-3）時。

3、左偏（負偏）分布（圖6-4）時。（例6-19）第六十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五中位數(shù)、眾數(shù)、算術平均數(shù)的比較1、眾數(shù)、中位數(shù)和算術平均數(shù)的關系在單峰條件下，如果數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則眾數(shù)（M0）、中位數(shù)（Me）算術平均數(shù)必定相等，即M0=Me=Xˉ如果數(shù)據(jù)是左偏分布，說明數(shù)據(jù)存在極小值，必然拉動算術平均數(shù)向極小值一方靠,因此三者的關系表現(xiàn)為：Xˉ<Me<M0如果數(shù)據(jù)是右偏分布，說明數(shù)據(jù)存在極大值，必然拉動算術平均數(shù)向極大值一方靠，則M0<Me<Xˉ上述關系如圖所示。P72第七十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五對稱分布圖6-2

均值=中位數(shù)=眾數(shù)右偏（正偏）分布圖6-3眾數(shù)

＜中位數(shù)

＜均值左偏（負偏）分布圖6-4

眾數(shù)＜中位數(shù)

＜均值按成績分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

11126111∑

50按成績分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

1526144∑

50按成績分（分）人數(shù)（人）

60以下

60—7070—8080—9090以上

4142651∑

50表6-12表6-13表6-14第七十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)經(jīng)驗，在偏斜適度的情況下，不論右偏還是左偏，可以得到以下三個關系：

M0=

－3(

－Me)=3Me－2Me=(M0+2

)/3

=(3Me-M0)/2例如：某地職工年消費支出眾數(shù)為6000元，算術平均數(shù)為7500元，問近似的中位數(shù)是多少？消費分布是左偏還是右偏？中位數(shù)Me=(M0+2

)/3=(6000+2*7500)/3=7000元M0(6000)<Me（7000）<（7500）所以消費分布為右偏。第七十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五又如：某零件一批，直徑小于806毫米者占全部產(chǎn)品的一半，測定結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)最多的為810，試估計另一平均指標，并指出直徑尺寸分布的偏斜情況。

=(3Me-M0)/2=(3*806+810)/2=804毫米

(804)<Me(（806）<M0（810）所以零件分布為左偏。第七十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（三）、眾數(shù)、中位數(shù)和算術平均數(shù)的特點與應用場合眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，它是一種位置代表值，不受極端值的影響。其缺點是具有不唯一性，但眾數(shù)主要適合于作為定類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點是不受數(shù)據(jù)極端值的影響。中位數(shù)以及其它分位數(shù)主要適合作為定序數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值，雖然定序數(shù)據(jù)也可使用眾數(shù)，但以中位數(shù)為宜。第七十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五算術平均數(shù)是就定距和定比數(shù)據(jù)計算的，而且利用了全部數(shù)據(jù)信息，它具有優(yōu)良的數(shù)學性質(zhì)，是實際應用最廣泛的集中趨勢測度值。作為算術平均數(shù)變型的調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，是適合于特殊數(shù)據(jù)的代表值，調(diào)和平均數(shù)主要用于不能直接計算算術平均數(shù)的數(shù)據(jù)，幾何平均數(shù)則主要用于計算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù)。算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)主要適合于作為定距和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值，雖然對于定距和定比數(shù)據(jù)也可以計算眾數(shù)和中位數(shù)，但以算術平均數(shù)為宜。當數(shù)據(jù)呈對稱分布或接近對稱分布時，三個代表值相等或接近相等，這時理應選擇算術平均數(shù)作為集中趨勢的代表值。但算術平均數(shù)的主要缺點是易受數(shù)據(jù)極端值的影響，對于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，算術平均數(shù)的代表性較差。第七十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)離散趨勢測度例如，有甲、乙兩組的工人工資水平資料如下：甲組：500600700800900乙組：600650700750800X甲ˉ=X乙ˉ=700元各組的差異不同，甲組工人工資每人相差100元，乙組每人只相差50元，因此這兩組的平均工資所具有的代表性也不同。甲組的差異較大，其平均數(shù)的代表性就小；乙組各工資值的差異較小，其平均數(shù)的代表性也就大。第七十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五一、標志變異指標的意義（一）標志變異指標的概念標志變異指標又稱標志變動度，是反映某一數(shù)量標志在總體各單位上差異程度的一種統(tǒng)計分析指標。（二）標志變異指標的意義

1、反映總體分布的離中趨勢。

2、說明平均數(shù)代表性的大小。

3、反映生產(chǎn)經(jīng)營活動過程的均勻性、均衡性和穩(wěn)定性。第七十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五反映總體各單位標志值的差異性，需要用總離差：Σ(X-

)∵Σ(X-

)=0∴求平均離差時想了兩個解決辦法：1、總離差用求絕對值的辦法，稱為平均差為使Σ（X-）≠0采取絕對值形式ΣⅠX–

Ⅰ再求絕對數(shù)形式的總離差的平均數(shù)：ΣⅠX–

Ⅰ∕N（簡單式）

ΣⅠX–

Ⅰf≠0ΣⅠX–

Ⅰf/Σf（加權式）采用絕對值形式不便于代數(shù)運算，所以采用平方的方法：2、總離差用平方的方法，稱為標準差為使Σ（X-）≠0采取平方的形式Σ（X-）2

再求平方形式的總離差的平均數(shù)：

Σ（X-）2/N（簡單式）

Σ（X-）2f≠0Σ（X-）2f/Σf（加權式）第七十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五二、標志變異指標的種類

1、全距。（1）全距的概念。全距又稱極差，是指變量數(shù)列中最大變量值與最小變量值之差。全距一般用符號R表示。（2）全距的計算公式。第七十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五對于組距數(shù)列，極差也可近似表示為：R=最高組上限-最低組下限在平均數(shù)相同的條件下：R越大，平均數(shù)的代表性越差；R越小，平均數(shù)的代表性越好。如上例兩組工人的全距為：R1=900-500=400元R2=800-600=200元可見甲、乙兩組工人的平均工資雖然相同=700元，但他們的變動范圍不一樣：甲組的遠遠大于乙組的，所以乙組平均數(shù)的代表性高于甲組。第八十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單測度值，計算簡單，易于理解，但它容易受極端值的影響。由于極差只是利用了一組數(shù)據(jù)的兩端的信息，不能反映出中間數(shù)據(jù)的分布狀況，因而不能準確描述出數(shù)據(jù)的分散程度。第八十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各變量值與其算術平均數(shù)離差絕對值的算術平均數(shù)。一般用符號AD表示。（2）平均差的計算方法。①簡單算術平均法。

A、適用條件。簡單算術平均法適用于對未分組資料求平均差。

B、計算公式。第八十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五簡單平均差。對未分組資料計算平均差，AD=（Σ|X-

|/N）甲組乙組工資X-|X-

|工資X-|X-

|500-200200600-100100600-100100650

-50

50700

0

0700

0

0800100100750

50

50900200200800100100合計

0600合計

0300

=700元AD1=（Σ|X-

|/N）=600/5=120元AD2=（Σ|X-

|/N）=300/5=60元甲組的平均差（120）>乙組（60元），因而其平均數(shù)的代表性比乙組小。第八十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五②加權算術平均法。

A、適用條件。加權算術平均法適用于求已分組資料的平均差。

B、計算公式。第八十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五加權平均差對分組資料計算平均差AD=工資水平(元)組中值X人數(shù)?工資總額(元)X-Xˉ|X-Xˉ|?800-1000

900

20

180001230

246001000-15001250

50

62500

880

440001500-20001750

120

210000

380

45600200-25002250

280

630000

120

336002500以上2750

130

357500

620

80600合計-----

6001278000

----228400

AD=第八十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五3、標準差。

（1）標準差的概念。標準差又稱均方差，是指各變量值與其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。一般用符號表示。（標準差的平方稱為方差，用表示。）

第八十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（2）標準差的計算方法。①簡單算術平均法。

A、適用對象。簡單算術平均法適用于求未分組資料的標準差。

B、計算公式。第八十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五簡單標準差計算甲組乙組工資水平(元)

X-Xˉ(X-Xˉ)2工資水平(元)X-Xˉ(X-Xˉ)2

500-200

40000

600-100

10000

600-100

10000

650-50

2500

700

0

0

700

0

0

800

100

10000

750

50

2500

900

200

40000

800100

10000合計

0100000合計

0

25000

第八十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五②加權算術平均法。

A、適用對象。加權算術平均法適用于求已分組資料的標準差。

B、計算公式。第八十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五加權標準差計算工資水平

(元)組中值X人數(shù)

?工資總額(元)X-Xˉ(X-Xˉ)2(X-Xˉ)2?800-1000

900

20

18000-12301512900

30258001000-15001250

50

62500

-880

774400387280001500-20001750120210000

-380

144400173280002000-25002250280630000

120

14400

40320002500以上2750130357500

620

38440049972000合計

----6001278000

----

------140310000第九十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五4、離散系數(shù)。

（1）概念。離散系數(shù)又稱標志變異系數(shù)，是指反映總體標志變異的全距（或平均差或標準差）與算術平均數(shù)對比所得之比值。一般用符號V表示。

第九十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五離散系數(shù)（Coefficientofvariation）（２）、前面三種標志變異指標與平均數(shù)的關系：第一、在平均數(shù)相同的條件下，全距、平均差、標準差越小，平均數(shù)的代表越大；全距、平均差、標準差越大，平均數(shù)的代表越小。第二、在平均數(shù)不同的條件下，除了計算全距、平均差、標準差外，還需計算離散系數(shù)。離散系數(shù)大的，平均數(shù)的代表性??；離散系數(shù)小的，平均數(shù)的代表性大。第九十二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例如：有甲乙兩組工人的日產(chǎn)零件數(shù)如下：甲組：6065707580X1ˉ=60+65+70+80/5=70件σ1=7、07乙組：257912X2ˉ=2+5+7+9+12/5=7件σ2=3、41件甲組的標準差大于乙組的標準差（σ1>σ2），但不能斷言乙組的平均數(shù)的代表性就比甲組的高，這是因為兩組數(shù)列標志值本身水平相差懸殊，這時候就需要用離散系數(shù)進行比較。第九十三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五（2）種類。①全距系數(shù)。

②平均差系數(shù)。③標準差系數(shù)。第九十四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五離散系數(shù)：是一組數(shù)據(jù)的標準差或平均差與其相應的平均數(shù)對比的比值，是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對指標，其計算公式為：標準差系數(shù)：平均差系數(shù)：如上例：甲組的離散系數(shù)：V=7、07/70=10、1%

乙組的離散系數(shù)：V=3、41/7=48、7%計算表明，乙組的標志離散系數(shù)大于甲組的，故乙組的平均數(shù)的代表性小于甲組。第九十五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-24已知甲乙兩廠工人2003年的勞動生產(chǎn)率資料如下表。要求比較兩廠勞動生產(chǎn)率代表性的大小。

表6-15廠名勞動生產(chǎn)率（元）標準差（元）甲廠乙廠

3200016000

1200800第九十六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五例6-25甲乙兩個橡膠廠某年生產(chǎn)某種輪胎的行駛里程資料如下表。要求比較兩廠輪胎的質(zhì)量哪一個較穩(wěn)定。

表6-16行駛里程（公里）輪胎數(shù)占總數(shù)的比重（%）甲廠乙廠

15000—2000020000—2500025000—3000030000—3500035000以上

3.85.650.435.25.0

14.521.230.223.610.5∑

100.0

100.0第九十七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第九十八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五三、方差的重要數(shù)學性質(zhì)

1、變量值的方差等于其平方的平均數(shù)減去其平均數(shù)的平方。即：{第九十九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五證明：∵第一百頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

2、變量值對某一任意常數(shù)的方差等于變量值對算術平均數(shù)的方差與任意常數(shù)與算術平均數(shù)離差平方的和。即：｛第一百零一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五設A為任意常數(shù)，D為變量對A的方差，則有：證明：

只有當A=XˉD=σ2

否則無論A取何值（Xˉ-A）為一個正值，D都大于σ2，∴變量對算術平均數(shù)的方差是最小值。（即σ2為最小，A≠Xˉ時，則D變量比σ2大）。第一百零二頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五已知一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)為350，標準差為20，求該組數(shù)據(jù)對400的方差。解：根據(jù)性質(zhì)2得：

D=Σ（X-A）2/N=（A-Xˉ）2+σ2=（20）2+（400-350）2=2900第一百零三頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五

3、一個分組數(shù)列的總方差等于其各組組內(nèi)方差的平均數(shù)與組間方差的和。即：第一百零四頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五總方差（σ總2

）=

它是各標志值與總平均數(shù)計算出來的方差。

(χi各組的標志值,Xˉ總平均數(shù))組間方差（σ組間2）=它是各組平均數(shù)與總平均數(shù)計算出來的方差。

(χiˉ各組的平均數(shù),Ni各組的單位數(shù))組內(nèi)方差（σ組內(nèi)2

）=是各組內(nèi)單位標志值與組平均數(shù)計算出來的方差。組內(nèi)方差的算術平均數(shù)第一百零五頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五舉例如下：某公司下屬七個部門某月營業(yè)額如下（單位：萬元）：88、90、96、98、110、140、200按營業(yè)額分為兩組；第一組：88、90、96、98第二組：110、140、200第一百零六頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五第一百零七頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五總方差=組內(nèi)方差的算術平均數(shù)+組間方差=609、71+795、67=1405、38萬元第一百零八頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五課堂練習：1、某企業(yè)職工工資分組資料如下表：工人技術及管理人員工資水平（元）人數(shù)工資水（元）人數(shù)

200-300220200-300

50300-500350300-500

120500-700

80500-700

40----------700-1000

10合計

650合計

220要求：1、計算該企業(yè)職工的總平均工資和總標準差

2、分別計算工人和技術人員及管理人員的平均工資（即組平均工資）和標準差、方差（組內(nèi)方差）3、計算工人和技術及管理人員工資的組間方差4、用具體數(shù)值證明方差的加法定理即總方差等于組內(nèi)方差的算術平均數(shù)加組間方差

第一百零九頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五解：1、總Xˉ=386、21總σ=120、99總σ2=14637、382、X1ˉ=373、85σ1=108、88σ12=11854、4X2ˉ=422、73σ2=145、17

σ22=21074、333、組間方差σ2=451、58

組內(nèi)方差的算術平均數(shù)=14185、8814637、38=451、58+14185、88第一百一十頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五四、成數(shù)

（一）成數(shù)的概念和基本公式成數(shù)是指總體中具有（或不具有）某種特征的單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比重。一般用符號P(或Q)表示。其基本公式為：第一百一十一頁，共一百二十八頁，編輯于2023年，星期五(二）成數(shù)的平均數(shù)和方差

表6-17標志表現(xiàn)總體單位數(shù)F

X

XF是

N1

1

N1非

N0

0