第三講描述統(tǒng)計之常用統(tǒng)計參數(shù)

[問題]反映變量次數(shù)分布特征主要有哪些呢？本文檔共93頁；當前第1頁；編輯于星期六\10點17分本文檔共93頁；當前第2頁；編輯于星期六\10點17分1、集中趨勢指的是數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。用以刻劃集中程度的統(tǒng)計量，即集中量數(shù)。（平均數(shù)等）本文檔共93頁；當前第3頁；編輯于星期六\10點17分2、離中趨勢（離散性）刻劃變量出現(xiàn)（一組數(shù)據(jù)）的分散程度，即數(shù)據(jù)分布的離散程度。本文檔共93頁；當前第4頁；編輯于星期六\10點17分第一部分：集中趨勢一、算術平均數(shù)簡稱平均數(shù)、均數(shù)或均值，為與其它幾種平均數(shù)相區(qū)別，也稱算術平均數(shù)。■符號表示：M、、、

觀察數(shù)據(jù)的平均數(shù)總體均值本文檔共93頁；當前第5頁；編輯于星期六\10點17分2、公式其中：是算術平均數(shù)；N是總體容量；是變量X的第i次觀察值；

①未分組觀察數(shù)據(jù)平均數(shù)本文檔共93頁；當前第6頁；編輯于星期六\10點17分[例]某項研究在一年級學生總體中抽取出10名被試，測得他們的分數(shù)為60、70、65、78、98、64、89、75、69、75，試求他們的平均分數(shù)。本文檔共93頁；當前第7頁；編輯于星期六\10點17分②觀察數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后平均的計算■注

◆公式隱含了觀察數(shù)據(jù)在各分組區(qū)間均勻散布的假設；

◆、f分別是各分組區(qū)間的組中值與相應次數(shù)本文檔共93頁；當前第8頁；編輯于星期六\10點17分分組區(qū)間

組中值劃記次數(shù)相對次數(shù)(頻率)累加次數(shù)累積相對次數(shù)[96.5,99.5)97||

2.021001.00[93.5,96.5)94|||3.0398.98[90.5,93.5)91||||4.0495.95[87.5,90.5)

88||||||||8.0891.91[84.5,87.5)85|||||||||||11.1183.83[81.5,84.5)82|||||||||||||||||17.1772.72[78.5,81.5)79|||||||||||||||||||19.1955.55[75.5,78.5)76||||||||||||||14.1436.3688名高考考生數(shù)學成績統(tǒng)計結(jié)果中數(shù)動差本文檔共93頁；當前第9頁；編輯于星期六\10點17分3、算術平均數(shù)的性質(zhì)一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)與平均數(shù)之差（稱為離均差）的總和等于0，即：①性質(zhì)1本文檔共93頁；當前第10頁；編輯于星期六\10點17分給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)加上一個常數(shù)C則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)C，即：②性質(zhì)2本文檔共93頁；當前第11頁；編輯于星期六\10點17分給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)乘上一個常數(shù)C，則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)（設為）乘以常數(shù)C，即：③性質(zhì)3本文檔共93頁；當前第12頁；編輯于星期六\10點17分4、平均數(shù)的意義應用最廣泛的一種集中量數(shù)。是總體均值（或“真值”）的最佳估計。依概率1本文檔共93頁；當前第13頁；編輯于星期六\10點17分■通俗的理解

設共有n個觀察數(shù)據(jù)，第i個為，設真值或總體均值為，則有：觀察值與真值的差為：本文檔共93頁；當前第14頁；編輯于星期六\10點17分◆算術平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響；◆無法對模糊數(shù)據(jù)進行處理；5、評價①優(yōu)點

具有反應靈敏、確定嚴密、簡明易解、計算簡單、適合進一步演算和較小受抽樣變化的影響等優(yōu)點。②缺點本文檔共93頁；當前第15頁；編輯于星期六\10點17分6、應用平均數(shù)的原則⑴同質(zhì)性原則⑵平均數(shù)與個體數(shù)據(jù)結(jié)合的原則⑶平均數(shù)與方差相結(jié)合的原則本文檔共93頁；當前第16頁；編輯于星期六\10點17分二、中數(shù)1、定義又稱中位數(shù)，符號Mdn,是指位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較小一半中間位置的那個數(shù)。中數(shù)所處的位置以表示。

■注：這個數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有的數(shù)據(jù)。本文檔共93頁；當前第17頁；編輯于星期六\10點17分是將數(shù)據(jù)依大小次序排列：◆若數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，則取數(shù)列中間的那個數(shù)為中數(shù)；◆若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)的平均數(shù)為中數(shù)。2、計算方法及分類⑴未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法（無重復數(shù)據(jù)）本文檔共93頁；當前第18頁；編輯于星期六\10點17分①求數(shù)據(jù)３、６、７、9、20的中數(shù)；②求數(shù)據(jù)３、６、７、9、20、60的中數(shù)；■例

本文檔共93頁；當前第19頁；編輯于星期六\10點17分⑵未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法（有重復數(shù)據(jù)）■例子

求數(shù)據(jù)11、11、11、11、13、13、13、17、17的中數(shù)；（數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）1312.513.544本文檔共93頁；當前第20頁；編輯于星期六\10點17分■例子

求數(shù)據(jù)11、11、11、11、13、13、13、17、17、18的中數(shù)；（數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）1312.513.545本文檔共93頁；當前第21頁；編輯于星期六\10點17分⑶分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法①分組數(shù)據(jù)的中數(shù)當觀察數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表以后，中數(shù)的求取也是取序列中將N（觀察數(shù)據(jù)總數(shù)）平分為兩半的那點作為中數(shù)。本文檔共93頁；當前第22頁；編輯于星期六\10點17分②中數(shù)的計算公式

i、公式1

◆為中數(shù)所在組的精確下限；◆為中數(shù)所在組以下各組的累積次數(shù)；◆為中數(shù)所在組數(shù)據(jù)的個數(shù)；◆i為組距；本文檔共93頁；當前第23頁；編輯于星期六\10點17分ii、公式2

◆為中數(shù)所在組的精確上限；◆為中數(shù)所在組以上各組的累積次數(shù)；◆為中數(shù)所在組數(shù)據(jù)的個數(shù)；本文檔共93頁；當前第24頁；編輯于星期六\10點17分■累加曲線求中數(shù)示意圖本文檔共93頁；當前第25頁；編輯于星期六\10點17分■例子-求下列數(shù)據(jù)的中數(shù)分組區(qū)間次數(shù)96~99

293~96390~93487~90884~871181~841778~811975~7814本文檔共93頁；當前第26頁；編輯于星期六\10點17分3、中數(shù)的特點①計算簡單，不受極端數(shù)據(jù)影響；②沒有反映所有數(shù)據(jù)的信息，從而具有較大的抽樣誤差，不如平均數(shù)穩(wěn)定．也無法進行進一步的數(shù)學分析。本文檔共93頁；當前第27頁；編輯于星期六\10點17分4、應用◆出現(xiàn)兩極端數(shù)據(jù)時；◆當次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時；◆快速估記時；本文檔共93頁；當前第28頁；編輯于星期六\10點17分三、眾數(shù)1、定義又稱密集數(shù)、通常數(shù)，符號Mo，它指在一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。2、計算方法直接找出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。本文檔共93頁；當前第29頁；編輯于星期六\10點17分■例子３、６、７、7、7、9、20、60本文檔共93頁；當前第30頁；編輯于星期六\10點17分4、應用范圍◆一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況◆一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)，也用眾數(shù)作為集中量數(shù)的粗略估計。3、皮爾遜經(jīng)驗公式（數(shù)據(jù)偏態(tài)分布）本文檔共93頁；當前第31頁；編輯于星期六\10點17分

ThedataaboutannualsalariesofManagementandExployeesofXYZcompanyarepresentedbelow,canyoucalculatethevaluesofthemode,themedianandthemean(threedifferentmeasuresofcentraltendency)$72,000.0054,000.0026,400.0019,200.0019,200.0019,200.0019,200.0018,000.0016,800.0016,800.0016,800.0014,400.0014,400.0014,400.0014,400.00[Exercise]本文檔共93頁；當前第32頁；編輯于星期六\10點17分◆估計數(shù)據(jù)次數(shù)分布是否呈偏態(tài)；估計指標M-Mo>0，正偏態(tài)M-Mo<0，負偏態(tài)本文檔共93頁；當前第33頁；編輯于星期六\10點17分5、平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關系⑴正態(tài)分布⑵偏態(tài)分布

待圖(P68)本文檔共93頁；當前第34頁；編輯于星期六\10點17分四、幾何平均數(shù)1、幾何平均數(shù)計算⑴統(tǒng)計學表示法：或Mg⑵計算公式設有一組觀察數(shù)據(jù)，則公式為：本文檔共93頁；當前第35頁；編輯于星期六\10點17分2、適用場合①一組數(shù)據(jù)中任何兩個相鄰數(shù)據(jù)之比接近于常數(shù)；

■比較適合求平均增長率②當一組數(shù)據(jù)中存在極端數(shù)據(jù)，分布呈偏態(tài)時；本文檔共93頁；當前第36頁；編輯于星期六\10點17分欲研究介于與兩感覺之間的感覺的物理刺激是多少，隨機抽取10個被試，讓其調(diào)節(jié)一個可變的物理量的刺激量，使所產(chǎn)生的感覺恰好介于與之間，然后測量所調(diào)節(jié)的物理量，結(jié)果如下：5.7、6.2、6.7、6.9、7.5、8.0、7.6、10.0、15.6、18.0。求介于與之間的感覺平均物理刺激量是多少?■例（心理物理學）本文檔共93頁；當前第37頁；編輯于星期六\10點17分■例2（平均增長率）在一項有關閱讀能力的實驗中，閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍：40%第二遍：52%，第三遍：65%，第四遍：75%第五遍：86%，第六遍：97%。問在該實驗中被試閱讀程度的平均進步率是多少？閱讀理解程度的平均增加比率又是多少？本文檔共93頁；當前第38頁；編輯于星期六\10點17分五、加權(quán)平均數(shù)（Mw）1、計算公式■即權(quán)數(shù)，刻劃各變量在構(gòu)成總體

的相對重要性本文檔共93頁；當前第39頁；編輯于星期六\10點17分2、為什么要加權(quán)？在實際測量數(shù)據(jù)中，有些數(shù)據(jù)的權(quán)重不一樣，此時刻劃數(shù)據(jù)分布的中心位置只能用加權(quán)平均數(shù)。（生活例子）本文檔共93頁；當前第40頁；編輯于星期六\10點17分■例子某課題組在全國8個省區(qū)進行了一項調(diào)查，各省區(qū)接受調(diào)查的人數(shù)和平均數(shù)如下表，求該項調(diào)查的總平均數(shù)。本文檔共93頁；當前第41頁；編輯于星期六\10點17分省區(qū)代碼12345678人數(shù)627268400670411314610500平均分數(shù)9860829680659688本文檔共93頁；當前第42頁；編輯于星期六\10點17分六、調(diào)和平均數(shù)MH1、計算公式■N為數(shù)據(jù)個數(shù)是第i個觀察數(shù)據(jù)，或第i個變量值；本文檔共93頁；當前第43頁；編輯于星期六\10點17分2、調(diào)和平均數(shù)適用范圍調(diào)和平均數(shù)在描述速度方面的集中趨勢時，優(yōu)于其他平均數(shù)?！艄ぷ髁抗潭?，記錄被試完成相同工作量所需時間◆時間量固定，記錄被試完成的工作量本文檔共93頁；當前第44頁；編輯于星期六\10點17分■例1[工作量固定]有一學生15分鐘學會生詞30個，后10分鐘學會生詞也是30個，問該生平均學習速度是多少？本文檔共93頁；當前第45頁；編輯于星期六\10點17分■例2[時間固定]在一個學習實驗中，統(tǒng)計了6名被試在2個小時內(nèi)完成的解題量，依次為24題、20題、16題、12題、8題、4題，試問這6名被試每小時的平均解題量是多少？本文檔共93頁；當前第46頁；編輯于星期六\10點17分■例子三個不同被試對某詞的聯(lián)想速度如下表，求三個被試的平均聯(lián)想速度。被試ABC聯(lián)想詞數(shù)131313時間（分）2325本文檔共93頁；當前第47頁；編輯于星期六\10點17分第二部分：差異量數(shù)■引例本文檔共93頁；當前第48頁；編輯于星期六\10點17分1、動差是借用力學上測量力的旋轉(zhuǎn)趨勢的術語而來的一個統(tǒng)計學概念，表示數(shù)據(jù)離散情況。它將分組數(shù)據(jù)各組的次數(shù)f看成力，且以數(shù)值（或組中值）與原點之差作為距離來計算動差?！鲎ⅲ喝粢云骄鶖?shù)作為原點，這種動差稱為中心動差。一、動差體系本文檔共93頁；當前第49頁；編輯于星期六\10點17分⑴一級動差2、常見的中心動差（centrelmoment）⑵二級動差

本文檔共93頁；當前第50頁；編輯于星期六\10點17分⑶三級動差⑷四級動差本文檔共93頁；當前第51頁；編輯于星期六\10點17分■注◆三級動差是表示數(shù)據(jù)分布偏態(tài)性的指標；☆表示偏態(tài)系數(shù)；☆表示數(shù)據(jù)分布呈正偏態(tài)，☆表示數(shù)據(jù)分布呈負偏態(tài)；☆表示數(shù)據(jù)分布呈對稱形；本文檔共93頁；當前第52頁；編輯于星期六\10點17分◆四級動差是表示數(shù)據(jù)分布峰態(tài)性的指標；☆表示峰態(tài)系數(shù)；☆表示數(shù)據(jù)次數(shù)分布呈高狹峰；☆表示數(shù)據(jù)分布呈低闊峰；☆表示數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)峰；本文檔共93頁；當前第53頁；編輯于星期六\10點17分二、常用刻劃數(shù)據(jù)離散程度的指標㈠平均差（averagedeviation）

1、平均差公式（以符號AD表示）設一組原始數(shù)據(jù)為，則計算平均差的公式：■是離均差；本文檔共93頁；當前第54頁；編輯于星期六\10點17分有5個被試的錯覺實驗數(shù)據(jù)如下，求其平均差？被試12345錯覺量（單位：毫秒）1618202217■例本文檔共93頁；當前第55頁；編輯于星期六\10點17分①它是一個能較好地刻劃數(shù)據(jù)分布離散程度的差異量數(shù)；②不足之處是它利用了絕對值以致不便于作進一步代數(shù)演算，故其實際應用上被方差或標準差取代；2、評價本文檔共93頁；當前第56頁；編輯于星期六\10點17分方差也稱變異數(shù)，均方，是每個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差的平方的均值，即離均差平方的平均數(shù)。標準差是方差的平方根■樣本方差常用表示；樣本標準差總體方差常用表示；總體標準差㈡方差與標準差（最常用）1、方差（二級動差）、標準差本文檔共93頁；當前第57頁；編輯于星期六\10點17分設是一個容量為N的總體的第次測定，那么有：⑴總體方差、標準差公式本文檔共93頁；當前第58頁；編輯于星期六\10點17分設從一個總體X中抽取一個容量為n的樣本，是樣本第次測定值，則樣本方差為：注意：是n-1⑵樣本方差、標準差本文檔共93頁；當前第59頁；編輯于星期六\10點17分■例子計算一組數(shù)據(jù)5、6、7、9、8、7的方差與標準差。本文檔共93頁；當前第60頁；編輯于星期六\10點17分⑶分組數(shù)據(jù)方差與標準差的計算■是各分組區(qū)間的組中值；

（AM是估計平均值）本文檔共93頁；當前第61頁；編輯于星期六\10點17分■例子分組區(qū)間96～93～90～87～84～81～78～75～72～69～66～63～60～979491888582797673706764612348111719141073116543210-1-2-3-4-5-61215162422170-14-20-21-12-5-67275647244170144063482536本文檔共93頁；當前第62頁；編輯于星期六\10點17分2、方差（或標準差）的合成公式心理學研究有時需要將幾組數(shù)據(jù)的方差合成一個總的方差。（例）⑴總標準差（或）合成公式（符號解釋）本文檔共93頁；當前第63頁；編輯于星期六\10點17分■例子在某測定被試反應時的實驗中，主試先后對4組被試進行測試，測驗的數(shù)據(jù)如下：（單位：毫秒）組別n（人數(shù)）均值S2018.52.13621.62.691117.23.11219.23.0本文檔共93頁；當前第64頁；編輯于星期六\10點17分3、方差與標準差的性質(zhì)①性質(zhì)1設有一組觀察值，對其每一個觀察值加上一個常數(shù)C后，得到一組新的一組數(shù)據(jù)，其中，則這組新的數(shù)據(jù)的方差與標準差等于原標準差；本文檔共93頁；當前第65頁；編輯于星期六\10點17分②性質(zhì)2（練習題）一組數(shù)據(jù)乘以一個常數(shù)C，得到新數(shù)組，其中設原數(shù)據(jù)組的標準差是，新數(shù)據(jù)組的標準差，則有：本文檔共93頁；當前第66頁；編輯于星期六\10點17分③性質(zhì)3（練習題）設一組觀察數(shù)據(jù)中每一個觀察值都乘以同一個常數(shù)C（C≠0），再加上一具常數(shù)D，得到新數(shù)據(jù)，其中，則有新數(shù)據(jù)的標準差等于原先數(shù)據(jù)的標準差乘以|C|，即：本文檔共93頁；當前第67頁；編輯于星期六\10點17分4、方差與標準差的特點①反應靈敏、計算精確②受抽樣變動的影響較少；③計算公式嚴密確定，容易計算；④適合做代數(shù)運算，因方差具有可加性，即總的變異可以分成各種原因造成變異之和；本文檔共93頁；當前第68頁；編輯于星期六\10點17分方差與標準差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標；■評價本文檔共93頁；當前第69頁；編輯于星期六\10點17分5、方差與標準差的應用⑴差異系數(shù)（Coefficientofvariation又稱相對標準差）①功能

刻劃幾組性質(zhì)（單位）不同數(shù)據(jù)和

同性質(zhì)但樣本平均水平（均值）相差

懸殊數(shù)據(jù)的相對離散程度。[例]宇宙天體與微觀世界之間的距離本文檔共93頁；當前第70頁；編輯于星期六\10點17分②差異系數(shù)計算公式■s為某樣本的標準差；

為該樣本的平均數(shù)；本文檔共93頁；當前第71頁；編輯于星期六\10點17分某校高考考生語文科平均分63分，標準差為11分，數(shù)學科平均分為75分，標準差為12分，試比較該校考生哪一科離散程度大些？■例子本文檔共93頁；當前第72頁；編輯于星期六\10點17分⑶標準分數(shù)（Z分數(shù)）

①內(nèi)涵是一個以平均數(shù)為參照點、以標準差為單位的表示原始分數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。本文檔共93頁；當前第73頁；編輯于星期六\10點17分②計算公式◆X是某個原始數(shù)據(jù)；◆是X所在數(shù)據(jù)組的平均數(shù)；◆S是X所在數(shù)據(jù)組的標準差；本文檔共93頁；當前第74頁；編輯于星期六\10點17分③標準分數(shù)的應用i、比較性質(zhì)不同的觀察值（數(shù)據(jù)）在各自數(shù)據(jù)分布中的相對位置的高低；[例1]本文檔共93頁；當前第75頁；編輯于星期六\10點17分■例1某被試同時接受韋克斯勒智力測驗與EPQ的內(nèi)外向分量表的測驗，韋氏智力測驗智商得分112分，EPQ內(nèi)外向分量表的量表分數(shù)70分，試求該被試在這二個測驗上的Z分數(shù)？（已知韋氏智力測驗智商平均數(shù)是100，標準差是15，EPQ內(nèi)外向分測驗量表分的平均數(shù)是50，標準差是10）本文檔共93頁；當前第76頁；編輯于星期六\10點17分ii、計算不同性的觀察數(shù)據(jù)的總和或平均值，以表示在團體中的相對位置；[例2]本文檔共93頁；當前第77頁；編輯于星期六\10點17分■例2下表是高等學校入學考試中兩名考生甲、乙的成績分數(shù)，試問根據(jù)考試成績應該錄取哪個考生？考試科目原始成績甲乙全體考生平均數(shù)標準差Z分數(shù)甲乙語文政治外語數(shù)學理化89706268725340728770106556985067581.51.91-.6-.125.375.5-1.67-.3751.5本文檔共93頁；當前第78頁；編輯于星期六\10點17分iii、導出標準測驗分數(shù)■常見的幾種標準測驗分數(shù)IQ=15Z+100T=10Z+50本文檔共93頁；當前第79頁；編輯于星期六\10點17分iv、異常值的統(tǒng)計取舍本文檔共93頁；當前第80頁；編輯于星期六\10點17分③標準分數(shù)的性質(zhì)i、性質(zhì)1Z分數(shù)無實際單位，是以平均數(shù)為參照點，以標準差為單位的一個相對量。ii、性質(zhì)2Z分數(shù)的平均數(shù)為0，標準差為1。本文檔共93頁；當前第81頁；編輯于星期六\10點17分iii、性質(zhì)3（略，后面補充）設原始數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，則將原始分數(shù)轉(zhuǎn)化為Z分數(shù)后服從標準正態(tài)分布。本文檔共93頁；當前第82頁；編輯于星期六\10點17分㈢全距與百分位差

1、全距⑴計算公式（舉例）⑵評價⑴最簡單、最易直觀理解；⑵利用數(shù)據(jù)信息量少，最為粗糙，易受極端值的影響，不可靠；本文檔共93頁；當前第83頁；編輯于星期六\10點17分2、百分位差⑴百分位數(shù)（percentile）它指的是量尺上的一個點（數(shù)），在此點以下，包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個

數(shù)的一定百分比。第m位百分位數(shù)就是指在數(shù)值Q以下包含了