第四章微分方程模型

第四章微分方程模型第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五動(dòng)態(tài)模型

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程

分析對(duì)象特征的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)

研究控制對(duì)象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4.1人口預(yù)測(cè)和控制

年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程一階偏微分方程第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五生育率的分解~總和生育率h~生育模式0第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個(gè)士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型線性律模型第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫第二十六頁，共二十七頁，編