新教材數(shù)學人教A版選擇性課件階段復習課第一課數(shù)列

階段復習課第一課數(shù)列

核心整合·思維導圖考點突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學運算角度1利用數(shù)列的性質運算【典例1】(1)在等差數(shù)列{an}中,a2+a3+a4=12,a7=8,則a1= ()(2)設公比為-2的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=,則a4等于 ()【解析】(1)選D.設公差為d,因為a2+a3+a4=3a3=12,所以a3=4,又a7=8,所以4d=a7-a3=4,所以d=1,所以a1=a7-6d=2.(2)選C.設首項為a1,由于q=-2,S5=,所以解得a1=,所以a4=a1q3=×(-2)3=-4.【類題·通】關于數(shù)列的運算問題(1)計算基本量:將條件利用基本量表示,列出方程(組)求解;(2)利用性質計算:利用數(shù)列的性質轉化條件,簡化運算,常用的性質有等差(比)中項、數(shù)列兩項、四項的關系等.【加練·固】已知等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d均不為零,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則= ()

【解析】選D.因為a2,a4,a8成等比數(shù)列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,又d≠0,a1≠0,所以d=a1,所以an=a1+(n-1)d=na1≠0,所以角度2數(shù)列求和【典例2】(1)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(n∈N*),若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=2,a4=16.則數(shù)列的前n項和Sn=________.

(2)(2019·深圳高二檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an=3Sn-2(n∈N*).①求數(shù)列{an}的通項公式;②求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.【解析】(1)數(shù)列{an}為公比為q的等比數(shù)列,且a1=2,a4=16,可得q3=8,即q=2,則an=2n,a1a2a3…an=,即2·22·23…2n=21+2+3+…+n則則前n項和答案:

(2)①當n=1時,a1=3S1-2=3a1-2解得a1=1;當n≥2時,an=3Sn-2,an-1=3Sn-1-2,兩式相減得an-an-1=3an化簡得an=-an-1,所以數(shù)列{an}是首項為1,公比為-的等比數(shù)列.所以②由①可得nan=n·,兩式相減得所以數(shù)列{nan}的前n項和【類題·通】數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)錯位相減法:適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的數(shù)列.把Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘以相應等比數(shù)列的公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,兩式錯位相減即可求出Sn.(3)裂項相消法:適用于形如(其中{an}是各項均不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列.即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式,然后通過累加抵消中間若干項的方法.(4)拆項分組法:把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項),再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列,最后分別求和.【加練·固】在遞增的等比數(shù)列{an}中,a1a6=32,a2+a5=18,其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記bn=an+log2an+1求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設數(shù)列{an}的公比為q,由題意,得a2a5=a1a6=32,又a2+a5=18,解得,a2=2,a5=16或a2=16,a5=2,因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,所以a2=16,a5=2舍去,所以q3==8,即q=2.故an=2×2n-2=2n-1.(2)由(1)得bn=2n-1+n.所以Tn=b1+b2+…+bn=(1+2+22+…+2n-1)+(1+2+…+n)=素養(yǎng)二數(shù)學建模角度數(shù)列在實際問題中的應用【典例3】《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學名著,其中有這樣一段表述:“遠看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一”,其意大致為:有一棟七層寶塔,每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍,共有381盞燈,則該塔中間一層有________盞燈. ()

【解析】選A.由題意知燈的盞數(shù)構成等比數(shù)列{an},首項為a1,公比為2,則所以a1=3,所以a4=3×23=24.【類題·通】關于利用數(shù)列解決實際問題的步驟(1)確定數(shù)列類型:“增長量”等于同一個常數(shù)為等差數(shù)列“增長率”等于同一個常數(shù)為等比數(shù)列.(2)確定數(shù)列基本量:分別提取數(shù)列的基本量a1,d或q,n,an,Sn,列方程(組)求解未知量.(3)解釋實際問題:利用求解出的未知量解釋、解決實際問題.素養(yǎng)三邏輯推理角度1通項公式的求法【典例4】(1)數(shù)列{an}中,a1=,前n項和Sn=n2an,則an= ()(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn-3Sn-1+2=0(n≥2),a1=2,則an=________.

【解析】(1)選B.因為Sn=n2an,所以Sn-1=(n-1)2an-1,(n≥2)兩式相減得:an=n2an-(n-1)2an-1,所以(n2-1)an=(n-1)2an-1,即(n+1)an=(n-1)an-1,所以所以所以當n=1時,上式也成立.故

(2)Sn-3Sn-1+2=0(n≥2),所以Sn+1-3Sn+2=0,兩式相減得an+1-3an=0,即an+1=3an,又a1=2,a1+a2-3a1+2=0,所以a2=2,所以a2≠3a1,所以答案:

【類題·通】數(shù)列通項公式的求法(1)定義法,即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.(2)已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關系,求數(shù)列{an}的通項an,可用公式求解.

(3)累加或累乘法.形如an-an-1=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累加法求通項公式;形如=f(n)(n≥2)的遞推式,可用累乘法求通項公式.【加練·固】已知數(shù)列{an}滿足a1=33,=2,則an=________.

【解析】由=2變形得:an+1-an=2n,所以an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=2+4+6+…+2(n-1)+33=+33=n2-n+33.答案:n2-n+33角度2等差、等比數(shù)列的證明【典例5】設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n≥2).(1)證明:{an+1}為等比數(shù)列;(2)求{an}的通項公式,并判斷n,an,Sn是否成等差數(shù)列?【解析】(1)因為a3=7,a3=3a2-2,所以a2=3,所以an=2an-1+1,所以a1=1,a1+1=2,又所以{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知,an+1=2n,所以an=2n-1,所以Sn=-n=2n+1-n-2,所以n+Sn-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差數(shù)列.角度3利用數(shù)學歸納法證明【典例6】(2020·南通高二檢測)設數(shù)列{an}滿足a0=2,an=-n(n∈N*),用數(shù)學歸納法證明:an>n(n∈N*).【證明】顯然a0=2>0,a1=-1=3>1,a2=-2=7>2,a3=-3=46>3;設n=k,k>3時,有ak>k,則ak+1=-(k+1)>k2-(k+1)>3k-(k+1)=2k-1>k+1,這就是說,n=k+1時也成立.于是,對任意自然數(shù)n∈N*,都有an>n.【類題·通】1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;=q(q為常數(shù),q≠0)?{an}是等比數(shù)列.(2)中項公式法:2an+1=an+an+2?{an}是等差數(shù)列;=an·an+2(an≠0)?{an}是等比數(shù)列.(3)通項公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;an=c·qn(c,q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A,q為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.2.關于數(shù)學歸納法的應用利用數(shù)學歸納法證明時,一是注意步驟書寫要規(guī)范、嚴格;二是證明的關鍵是假設的應用,未能利用假設的證明是錯誤的.【加練·固】已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*).(1)記bn=log2(an+1),判