一維勢(shì)阱和勢(shì)壘問(wèn)題

薛定諤方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用找出問(wèn)題中勢(shì)能函數(shù)的具體形式，代入相應(yīng)的薛定諤方程；根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的自然條件定出邊界條件求出薛定諤方程的特解求出薛定諤方程的通解——即波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的歸一化條件寫(xiě)出波函數(shù)對(duì)量子力學(xué)處理的結(jié)果進(jìn)行分析1§16-3一維勢(shì)阱和勢(shì)壘問(wèn)題

21.一維無(wú)限深勢(shì)阱34粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)。在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力,不能到阱外。一維無(wú)限深方勢(shì)阱是金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型5一維無(wú)限深方勢(shì)阱的數(shù)學(xué)表達(dá)形式：一維無(wú)限深方勢(shì)阱的圖形表達(dá)形式：∞0aU(x)∞x

粒子只能在寬為a的兩個(gè)無(wú)限高勢(shì)壁間運(yùn)動(dòng)，這種勢(shì)稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。

6因?yàn)橄到y(tǒng)的勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此這是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題，可以用定態(tài)薛定諤方程進(jìn)行求解?！☉B(tài)薛定諤方程列出各區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程7勢(shì)阱內(nèi)0<x<a勢(shì)阱外x

≤0;x

≥a理由:因?yàn)閯?shì)壁無(wú)限高,所以粒子不能穿透勢(shì)壁,故勢(shì)阱外的波函數(shù)為零8定態(tài)薛定諤方程為

E是粒子的總能量，E>0，令定態(tài)薛定諤方程變?yōu)?/p>

此薛定諤方程的解為式中A和α是待定常數(shù)，由邊界條件和歸一化條件確定。9從物理上考慮，粒子不可能透過(guò)阱壁，因而按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，要求在阱壁上和阱外波函數(shù)為0。考慮波函數(shù)在阱壁上等于零的情況，即————邊界條件波函數(shù)改寫(xiě)為：討論一：n不等于零10此時(shí)波函數(shù)沒(méi)有物理意義，故舍去。討論二：n不取負(fù)數(shù)此時(shí)波函數(shù)與n取正數(shù)時(shí)代表相同的概率分布，即無(wú)法給出新的波函數(shù)，故舍去。11這說(shuō)明：并非任何E值所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)都能滿足一維無(wú)限深方勢(shì)阱所要求的邊界條件，只有當(dāng)能量取上式給出的那些分立的值En（體系的能量本征值）時(shí)，相應(yīng)的波函數(shù)才是物理上有意義的，即本問(wèn)題中體系的能量是量子化的，亦即體系的能譜是分立的。與能量本征值En相對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)n(x)為：12利用歸一化條件

取A為正實(shí)數(shù)波函數(shù)：13討論：①粒子的能量粒子的最低能量狀態(tài)稱為基態(tài)，則一維無(wú)限深方勢(shì)阱的基態(tài)能量為：————零點(diǎn)能與零點(diǎn)能相對(duì)應(yīng)的，應(yīng)存在零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。這與經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是相矛盾的。零點(diǎn)能是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒(méi)有意義的。14（1）一維無(wú)限深勢(shì)阱的粒子波函數(shù)②圖形一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度基態(tài)的波函數(shù)(n=1)無(wú)節(jié)點(diǎn)，第一激發(fā)態(tài)(n=2)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第k激發(fā)態(tài)(n=k+1)有k個(gè)節(jié)點(diǎn)。除端點(diǎn)外，15（2）一維無(wú)限深勢(shì)阱的粒子位置概率密度分布16時(shí)

量子經(jīng)典a|2n|n很大En017一維無(wú)限深勢(shì)阱18例1:證明無(wú)限深方勢(shì)阱中，不同能級(jí)的粒子波函數(shù)具有正交性：即不同能級(jí)的波函數(shù)是互相正交的。

解:

波函數(shù)取其復(fù)共軛相乘并積分，得

19屬于不同能級(jí)的波函數(shù)是正交的。把波函數(shù)的正交性和歸一性表示在一起，克羅內(nèi)克符號(hào)20二、勢(shì)壘穿透和隧道效應(yīng)

有限高的方形勢(shì)壘

數(shù)學(xué)形式：圖形形式：考慮粒子的動(dòng)能E小于勢(shì)壘高度U0的情況。（E<U0

）21粒子在x<0區(qū)域里，若其能量小于勢(shì)壘高度，經(jīng)典物理來(lái)看是不能越過(guò)勢(shì)壘達(dá)到x>a的區(qū)域。這種勢(shì)能分布稱為一維勢(shì)壘。在量子力學(xué)中，情況又如果呢？為討論方便，我們把整個(gè)空間分成三個(gè)區(qū)域：OIIIIII在各個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別表示為1、2、3。22OIIIIII令：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程簡(jiǎn)化為：23方程的通解為：

三式的右邊第一項(xiàng)表示沿x方向傳播的平面波，第二項(xiàng)為沿x負(fù)方向傳播的平面波。

1右邊的第一項(xiàng)表示射向勢(shì)壘的入射波，第二項(xiàng)表示被“界面（x=0）”反射的反射波。

2右邊的第一項(xiàng)表示穿入勢(shì)壘的透射波，第二項(xiàng)表示被“界面（x=a）”反射的反射波。

3右邊的第一項(xiàng)表示穿出勢(shì)壘的透射波，3的第二項(xiàng)為零，因?yàn)樵趚>a區(qū)域不可能存在反射波(B3=0)。24定義反射系數(shù)：————粒子被勢(shì)壘反射的概率————被勢(shì)壘反射的粒子數(shù)/入射到勢(shì)壘上的粒子數(shù)定義透射系數(shù)：————粒子穿過(guò)勢(shì)壘的概率————穿過(guò)勢(shì)壘的粒子數(shù)/入射到勢(shì)壘上的粒子數(shù)————概率守恒25反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的具體值，需要根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件，以及邊界條件（波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在全空間連續(xù)）來(lái)確定。

利用波函數(shù)“單值、有限、連續(xù)”的標(biāo)準(zhǔn)條件，可得：26求出解的形式畫(huà)于圖中。IIIIII討論：（1）E>U0按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn),在E>U0情況下，粒子應(yīng)暢通無(wú)阻地全部通過(guò)勢(shì)壘，而不會(huì)在勢(shì)壘壁上發(fā)生反射。而在微觀粒子的情形，卻會(huì)發(fā)生反射。27IIIIII（2）E<U0從解薛定諤方程的結(jié)果來(lái)看，在勢(shì)壘內(nèi)部存在波函數(shù)2。即在勢(shì)壘內(nèi)部找出粒子的概率不為零，同時(shí)，在x>a區(qū)域也存在波函數(shù)，所以粒子還可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入x>a區(qū)域。粒子在總能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。28經(jīng)典量子隧道效應(yīng)29當(dāng)時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm以上時(shí)，貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有意義了。量子概念過(guò)渡到經(jīng)典了。結(jié)果表明：勢(shì)壘高度U0越低、勢(shì)壘寬a度越小，則粒子穿過(guò)勢(shì)壘的概率就越大。如果a或μ為宏觀大小時(shí)，，粒子實(shí)際上將不能穿過(guò)勢(shì)壘。30隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度越為1nm。只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會(huì)穿過(guò)電極間的勢(shì)壘形成隧道電流。隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。Scanningtunnelingmicroscopy31因?yàn)樗淼离娏鲗?duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖高度不變，通過(guò)隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景?？諝庀禨TM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象32與其它表面分析技術(shù)相比，STM所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)是：1.具有原子級(jí)高分辨率。STM在平行和垂直于樣品表面方向的分辨率分別可達(dá)0.1nm和0.