平面極坐標系

平面極坐標系坐標系的一種01極坐標系的概念圓的極坐標方程圓錐曲線的參數(shù)方程直線的極坐標方程常見曲線的參數(shù)方程直角坐標與極坐標的互化目錄0305020406基本信息平面極坐標系是坐標系的一種。極坐標系在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取一定點o，稱為極點，由o出發(fā)的一條射線ox，稱為極軸。對于平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θε[0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應(yīng)。極坐標系的概念極坐標系的概念極坐標系在平面上取一定點o，稱為極點，由o出發(fā)的一條射線ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規(guī)定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數(shù)對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。當限制ρ≥0，0≤θ<2π時，平面上除極點Ο以外，其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零，極角任意。若除去上述限制，平面上每一點都有無數(shù)多組極坐標，一般地，如果（ρ，θ）是一個點的極坐標，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作為它的極坐標，這里n是任意整數(shù)。平面上有些曲線，采用極坐標時，方程比較簡單。例如以原點為中心，r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ。此外，橢圓、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個統(tǒng)一的極坐標方程表示。對于平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θε[0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應(yīng)。直線的極坐標方程直線的極坐標方程若直線過點M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點:θ=θ0，θ=π+θ0;(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:ρcosθ=α;(3)直線過M(b,π/2)且平行于極軸:ρsinθ=b圓的極坐標方程圓的極坐標方程若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r的圓方程為:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點,半徑為r:ρ=r;(2)當圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acosθ;(3)當圓心位于M(a,π/2),半徑為a:ρ=2asinθ.常見曲線的參數(shù)方程常見曲線的參數(shù)方程(1)經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任一點,則t表示有向線段P0P的數(shù)量.(2)圓的參數(shù)方程為x=rcosθ,y=rsinθ(θ為參數(shù)).圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acosθ,y=bsinθ(θ為參數(shù)).雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為x=asecθ,y=btanθ(θ為參數(shù)).拋物線y^2=2px的參數(shù)方程為x=2pt^2,y=2pt(t為參數(shù)).直角坐標與極坐標的互化直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,并在兩坐標系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的