直角三角形的邊角關(guān)系全章總結(jié)復(fù)習(xí)

2017—2018學(xué)年寒假輔導(dǎo)第1講直角薩嬌新的邊角關(guān)系知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.銳角三角函數(shù)正弦:sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1知識(shí)點(diǎn)二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，則c=,b=.4.解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c)，cosA＝sinB=eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).(4)相等的角①商的關(guān)系:tanA=;②平方關(guān)系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的兩角:若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB.知識(shí)點(diǎn)三：解直角三角形的應(yīng)用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.（如圖②）(3)方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：疊合式（2）背靠式解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過(guò)公共邊相等，列方程求解.6.解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．專題講座專題一：銳角三角函數(shù)的概念注意：1.sinA、∠cosA、tanA表示的是一個(gè)整體，是兩條線段的比，沒(méi)有，這些比值只與有關(guān)，與直角三角形的無(wú)關(guān)2.取值范圍<sinA<；<cosA<；tanA>例1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．例2.銳角三角函數(shù)求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝______，sinA＝_____，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點(diǎn)，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．類型一：直角三角形求值例4．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．例5.已知是銳角，，求，的值類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：例6．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．專題二：特殊角的三角函數(shù)值銳角30°45°60°sincostan當(dāng)時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）（2）（3）3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°(4)(5)；例2．求適合下列條件的銳角．(1) (2)(3) (4)（5）已知為銳角，且，求的值（）在中，若，都是銳角，求的度數(shù)例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角，且sinA<，那么∠A的取值范圍是（）A.0°<∠A<30°B.30°<∠A＜60°C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<90°已知∠A為銳角，且，則（）A.0°<∠A<60°B.30°<∠A<60°C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<90°例4.（三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用）已知：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周長(zhǎng)．對(duì)應(yīng)練習(xí)：1.計(jì)算：2.計(jì)算：3.計(jì)算：.4計(jì)算：(2014－EQ\r(,5))0－(cos60°)-2＋－EQ\r(,3)tan30°；5.計(jì)算：6.計(jì)算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是銳角，且sin(α+15°)=．計(jì)算的值．8．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D點(diǎn)，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．10.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，點(diǎn)D在BC邊上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．11.（本小題5分）如圖，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的長(zhǎng).專題三：解直角三角形的應(yīng)用例1．（2012?福州）如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是（）例1圖例2圖A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則應(yīng)水坡面AB的長(zhǎng)度是（）A．100mB．100mC．150mD．50m例3.“蘭州中山橋”位于蘭州濱河路中段白搭山下、金城關(guān)前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋”之美譽(yù)。它像一部史詩(shī)，記載著蘭州古往今來(lái)歷史的變遷，橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋?！緛?lái)源：小蕓和小剛分別在橋面上的，處，準(zhǔn)備測(cè)量其中一座弧形鋼架拱梁頂部處到橋面的距離，小蕓在處測(cè)得，小剛在處測(cè)得，求弧形鋼架拱梁頂部處到橋面的距離。(結(jié)果精確到)(參考數(shù)據(jù)：，，，，)21*cnjy*com例4.如圖，一垂直于地面的燈柱，AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成45°夾角（∠CDB=45°），在C點(diǎn)上方2米處加固另一條鋼纜ED，ED與地面成53°夾角（∠EDB=53°），那么鋼纜ED的長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果精確到1米。參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）例5．如圖，皋蘭山某處有一座信號(hào)塔AB，山坡BC的坡度為1：，現(xiàn)為了測(cè)量塔高AB，測(cè)量人員選擇山坡C處為一測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得∠DCA=45°，然后他順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測(cè)得∠FEA=60°．（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；（2）求塔頂A到CD的鉛直高度AD．（結(jié)果保留整數(shù)：）對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC．2.如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點(diǎn)C測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測(cè)得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長(zhǎng)．3.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹(shù)高，已知小聰和樹(shù)都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹(shù)的高度.4．（如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）第4題圖第5題圖A．10米B．10米C．20米D．米5．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M在北偏西45°，問(wèn)該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)專題四：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=eq\f(\r(,6),3)．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求AD的長(zhǎng)．2．如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=，，求CF的長(zhǎng)．CDBNMA小紅小明3．如圖，在活動(dòng)課上，小明和小紅合作用一副三角板來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離（A