合情推理與邏輯推理

合情推理波利的”啟發(fā)法"（heuristic,即”有助丁發(fā)現(xiàn)"）中的一個推理模式.通過對問題解決過程特別是對已有的成功實(shí)踐的深入研究 ，波利業(yè)發(fā)現(xiàn)，可以機(jī)械地用來解決一切問題的"萬能方法"是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具情況，不斷地向自己提出有啟發(fā)性的句，提示，以啟動與推進(jìn)思維的小船。合情推理的模式（歸納和類比）還須予以釋，它是指觀察，歸納，類比,實(shí)驗(yàn)，聯(lián)想，猜測，矯正與調(diào)控等方法.目錄主要特征方法模式舉例意義喬治?波利業(yè)著作簡介合情推理是波利業(yè)的"啟發(fā)法（heuristic，即"有助丁發(fā)現(xiàn)的"中的一個推理模式.波利業(yè)多年深入研究數(shù)學(xué)問題解決過程 （problemsolving一般被誤譯"解題"，這里把它譯為"問題解決"）得出的理論成果.波利業(yè)對啟發(fā)法解釋道:"現(xiàn)代啟發(fā)法力求了解問題解決過程中典型有用的智力活動.……在這種研究中并且應(yīng)當(dāng)找出處理各類問題所共有的特征來

，特別是問題解決過程，我們不應(yīng)忽視任何一類問題，；我們的目的應(yīng)當(dāng)是找出一般特征而與主題無關(guān)."可見波利業(yè)的啟發(fā)法講的是問題解決在數(shù)學(xué)方法論上的共同點(diǎn).啟發(fā)法源丁他對問題解決的研究解題方法時尋找一條解題途徑

，問題解決就是"在沒有現(xiàn)成的，就是從困難中找到出路，就是尋求一條繞過障礙的道路，由適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到所要去的而不能立即達(dá)到的目的 ".這說明波利業(yè)早在50年前就已經(jīng)把問題和問題解決的主要特征搞活楚了^主要特征通過對問題解決過程特別是對已有的成功實(shí)踐的深入研究 ，波利業(yè)發(fā)現(xiàn)，可以機(jī)械地用來解決一切問題的"萬能方法"是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具體情況，不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問句，提示，以啟動與推進(jìn)思維的小.因此，他試圖總結(jié)出一般的方法或模式 ，這些方法和模式在以后的問題解決活動中可起到啟發(fā)和指導(dǎo)的作用.波利業(yè)曾著書給出這樣一些啟發(fā)性的模式或方法：分解與組合，笛卡爾模式，遞歸模式，疊加模式，特殊化方法，一般化方,"從后往前推",設(shè)立次目標(biāo)，合情推理的模式（歸納和類比）,畫圖法,"看著未知數(shù)",回到定義去，考慮相關(guān)的問題，對問題進(jìn)行變形，等等.特別引人注意的是，波利業(yè)把問題和建議按照問題解決過程的4個階段組成了他的"怎樣解題表".這4個階段依次是：弄活問題，制定計(jì)劃，實(shí)施計(jì)劃和回顧，這就是著名的波利業(yè)問題解決四階段模式 .波利業(yè)建議："只要應(yīng)用得當(dāng)，如果你向自己提出表中的這些問題與建議，它們就可以幫助你解決你的問題；而如果你向你的學(xué)生提出同樣的問題與建議，你就可以幫助解決他們的問題 ."方法模式在上述啟發(fā)法框架中提到的合情推理的模式 （歸納和類比）還須予以解釋,它是指觀察，歸納，類比，實(shí)驗(yàn)，聯(lián)想,猜測，矯正與調(diào)控等方法.波利業(yè)很早就注意到"數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)確提出有兩種推理：論證推理可用來確定數(shù)學(xué)知識提供依據(jù)，即波利業(yè)給我們指出數(shù)學(xué)思維不是純

."因此，他明，合情推理可用來為猜想"形式"的，它所涉及的不僅有公理，定理，定義及嚴(yán)格的證明，而且還有許許多多其它方面類推以及從具體情況中辨認(rèn)出或者說抽取出某個數(shù)學(xué)概念等等

：推廣，歸納，，數(shù)學(xué)教師應(yīng)使學(xué)生了解這些十分重要的"非形式"思維過程.在日常生活中，合情推理幾乎無處不在，比如："它可能是……（猜測,"做出來看一看（實(shí)驗(yàn),"由上所述"心"象"實(shí)理準(zhǔn) "等.舉例在社會生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭，人際交往等都應(yīng)用合情推理.貫徹任何科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學(xué)方程是猜出來的；球體公式是阿基米德"稱"出來的；在對熱在金屆中流動的觀察研究中，傅立葉發(fā)明了級數(shù)；而現(xiàn)代仿生學(xué)則是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果.由上可以看出,"我們所學(xué)到的關(guān)丁世界的任何新的東西都包含著推理，它是我們?nèi)粘Ｊ聞?wù)中所關(guān)心的僅有的一種推理".合情推理是各學(xué)科之間,社會生活中的文化大使，是現(xiàn)代化社會公民的必備文化素質(zhì).意義因此加強(qiáng)合情推理的教育將有助丁發(fā)揮學(xué)科的兩個功能 ，并學(xué)會發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方.科學(xué)思維具有兩重性：一類是進(jìn)行論證推理的邏輯思維 ；另一類則是形象思.形象思維最直接的層面是合情推理 .邏輯思維是在”抓到真理”后進(jìn)行完善和”補(bǔ)行證明”的思維，而合情推理則是”發(fā)現(xiàn)真理”的思維.因此，波利業(yè)呼:讓我們教猜想!"我國的理科教學(xué)，歷來較多強(qiáng)調(diào)邏輯推理，而對合情推理有所忽.再聯(lián)想到有關(guān)團(tuán)體對中外學(xué)生調(diào)查結(jié)果顯示的中國學(xué)生科學(xué)測驗(yàn)成績較差的信息 ，不能不使我們感到加強(qiáng)對合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩.因此,"既教證明，乂教猜想",給合情推理能力的教學(xué)以適當(dāng)?shù)牡匚?，是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要 ，是全面提高學(xué)生優(yōu)秀文化素質(zhì)的需要是全面開發(fā)大腦潛力的需要 .我們在教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識到加強(qiáng)合情推理的教學(xué)，還可以使受教育者將日常事務(wù)中積累的經(jīng)驗(yàn) ，方法用丁學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的興趣，提高解決問題的能力.而在其中，乂將那自然狀態(tài)下的合情推理，提高到一個更加合理更加科學(xué)的層次的金鑰匙".為保證加強(qiáng)合情推理教育的觀念得到落實(shí)可操作的教學(xué)樣式，我們構(gòu)建了合情推理教學(xué)模式

，以至成為"科學(xué)發(fā)現(xiàn)，并為教師提供一個.若在教學(xué)中能正確地使用合情推理的教學(xué)模式，至少不會削弱學(xué)科教學(xué)的技術(shù)功能能將得到明顯的加強(qiáng)，學(xué)生有效地應(yīng)用合情推理的技能得到提高

，而文化教育功，創(chuàng)造能力得到加強(qiáng)，教學(xué)質(zhì)量也將有一定的提高，同時將有一批科研型的教師脫穎而出.喬治?波利亞喬治波利業(yè)（1887-1985），是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育.在數(shù)學(xué)教育方面他有3部世界名著：《怎樣解題〉〉，《數(shù)學(xué)與猜想〉〉，《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)對解題的理解，研究和講授〉〉.這3本書在我國有5個譯本，其中《怎樣題》發(fā)量已過萬冊 ；著名數(shù)家瓦爾曾高評價這書:"每個大學(xué)生，每學(xué)者，別是個教師應(yīng)該這本人入勝書 ".波利業(yè)也謙虛地評價己說:"在問題解決方面以講授種水平的數(shù)方面者可以提供一些經(jīng)驗(yàn)".可見波利業(yè)的數(shù)學(xué)教育思想對世界和我國數(shù)學(xué)教育的影響非常深遠(yuǎn).他的名著有：著作〔美〕喬治.波利.怎樣解題〔M.閻育蘇. 北京：科學(xué)出版，〔美〕喬治波利出版社，1984.

.數(shù)學(xué)與猜想（一卷）〔M1982,.李心燦譯.北京:第-〔美〕喬治.波利業(yè)出版，1984.

.數(shù)學(xué)與猜想（第二）〔M.李心燦.北:科學(xué)（〔美〕喬治.波利業(yè).數(shù)學(xué)的發(fā)第-一卷）〔M.歐陽絳.北:科學(xué)出版，1985.〔美〕喬.波利業(yè).數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）M.劉景麟.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版1981.數(shù)學(xué)思維涉及很多成份，但它的核心是邏輯推理。在教學(xué)中，應(yīng)該使學(xué)生能根據(jù)已有事實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)推測和論斷和解釋，養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習(xí)慣，能夠反思自己的思考過程；使他們能夠理解他人的思考方式和推理過程，并能與他人溝通。邏輯推理表現(xiàn)了一種由已知推求未知的過程，這一過程所經(jīng)歷的心理活動，就是思維活動。在解決問題過程中，學(xué)生進(jìn)行邏輯推理有以下二種情況。第一種是演繹推理。演繹推理是以一個被認(rèn)同的命題為前提，推演到其它命題，得到一個論論的思維方法。如邏輯中的三段論法，就是最典型的演繹推理。有一種說法，說小學(xué)生開展演繹推理能力比較薄弱，這種說法并不全面。一般說來，小學(xué)生在解決問題的過程中能進(jìn)行演繹推理，但演繹推理中涉及的材料相對比較具體。第二納推理是以觀察到多個事例后所獲的經(jīng)驗(yàn)為根據(jù)，

種是歸納推理。歸由此歸結(jié)出一個概括性的原則的一種思維過程。歸納推理具有完全歸納與不完全歸納兩種情況。學(xué)生在解決問題的過程中，以不完全歸納為多。對學(xué)生解決問題的過程的觀察表明，學(xué)生在思考問題時除了演繹推理和歸納推理之外，還有第三種方法。這就是“捷徑推理”或“合情推理”。合情推理是指在解決問題過程中，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測和推導(dǎo)的一種思維過程。表面上看，學(xué)生在解決問題時的合情推理的特征是不按邏輯程序去思考， 但實(shí)際上是學(xué)生把自己的經(jīng)驗(yàn)與邏輯推理的方法有機(jī)地整合進(jìn)來的一種跳躍性的表現(xiàn)形式。表明，這種合情推理是不按常理看問題，但仔細(xì)分析卻有一定道理。這一推理方式，有時在解決問題的過程中可收事半功倍之效。在“捷徑推理”過程中，直覺和頓悟發(fā)揮了很大的作用。直覺和頓悟是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素。首先，直覺和頓悟在發(fā)現(xiàn)有價值的研究對象和問題時具有重要作用。其次，在研究的思路同時存在幾種可能時，直覺和頓悟能幫助人們快速地從中作出抉擇；再次，當(dāng)解決問題的邏輯通道阻塞，思路發(fā)生中斷時，直覺和頓悟能夠幫助人們打破僵局，另辟全新思路。因此，直覺和頓悟是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要能力。讓合推”邏推”得彰□蒲大勇眾所周知，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。演繹推理是根據(jù)有實(shí)正結(jié)（括、理理）按格的邏輯則得到新結(jié)論的推理。長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评矶鲆暳松鷦踊顫姷暮锨橥评?，新一輪課程改革提出既要發(fā)展學(xué)生合情推理能力，乂要發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力。然而，實(shí)踐中卻出現(xiàn)了一種傾向一一注重了合情推理卻忽視了邏輯推理?！景咐咳私贪婢拍昙墧?shù)學(xué)《相似三角形的判定》教學(xué)片段。師：我們已知道，要判定兩個三角形相似，必須知道這兩個三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。那么，有沒有比這更簡便的判定方法呢？（帥出示兩個450角的直角三角尺，其中一個為教具，另一個為學(xué)生用的小三角尺）師：請同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩個三角尺，看看它們有什么關(guān)系？生1:它們的形狀相同，大小不一樣。生2:這兩個三角尺相似。（帥提示觀察它們的角）生3:兩個三角尺的三個角分別相等。生4:兩個三角尺的邊長不相等。師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，這兩個看起來相似的三角尺，它們的對應(yīng)角分別相等。（板書）如果一個三角形的三個角分別與另一個角形的三個角對應(yīng)相等，那么它們相似嗎？（學(xué)生議論紛紛，然后有很多學(xué)生都說“相似”）帥：很好！同學(xué)們實(shí)際上已發(fā)現(xiàn)了一個很好的結(jié)論。那么，你是怎么驗(yàn)證這個結(jié)論的呢？請與周圍的同學(xué)討論討論。（一段時間的討論后）聰聰：我沿三角板的內(nèi)框和外框各畫一個三角形，然后量出兩個三角的邊長，計(jì)算對應(yīng)邊的比值。師：聰聰同學(xué)的想法很好，這樣畫保證了兩個三角形的對應(yīng)角都相等。只是畫的圖形比較特殊，是直角三角形，那么對丁兩個任意三角形呢？明明：我任意畫一個角形，然后用量角器量出它的三個角的大小，然后再畫一個三角形，使它的三個角等丁這三個角。后面與聰聰同學(xué)的做法一樣。帥：說得真好。請同學(xué)們按明明的這種方法，4人一小組，試一試。（學(xué)生動手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，教師巡視并個別指導(dǎo)）師：現(xiàn)在把各組的結(jié)果交流一下。1組：我們組算得三個比值分別是1.85、1.84、1.862組：我們組算得1.3、1.3和1.2。3組：我們算得3.34、3.36、3.32。（在這一過程中，多數(shù)都未得到三個比值相等，還有說除不盡的）帥：剛才，聰聰與明明同學(xué)已經(jīng)驗(yàn)證了，三個角分別相等的兩個三角形的對應(yīng)邊的比也相等。從其他同學(xué)得出的結(jié)果也可以看出，對應(yīng)邊的比值大致相等?？梢?，三個角分別相等的兩個三角形相似。【反思】上述教學(xué)片段教師為了讓學(xué)生認(rèn)識和理解“三個角分別相等的兩個三角形相似”，采取的是“直觀感知”和“操作確認(rèn)”兩種教學(xué)方式。這本無可厚非，但整個過程教師是通過直觀感知和動手測量探索幾何結(jié)論，教學(xué)中只有合情推理，沒有了演繹推理。所以，才出現(xiàn)了案例中“多數(shù)學(xué)生的測量結(jié)果不能驗(yàn)證結(jié)論”的尷尬局面，情急中教師只好置多數(shù)學(xué)生不顧，把個別同學(xué)的結(jié)論當(dāng)做救命稻草緊緊抓住。其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要合情推理，也需要演繹推理。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)靠的主要是合情推理，而數(shù)學(xué)理論的整理主要是靠演繹推理。數(shù)學(xué)教育家波利業(yè)認(rèn)為，演繹推理是確定的，可靠的；合情推理則帶有一定的風(fēng)險(xiǎn)性。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。 因此，教學(xué)中對二者不可偏廢。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”。也就是要求在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。事實(shí)上，合情推理與演繹推理是相輔相成的，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)一一猜想”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)有助丁發(fā)展創(chuàng)新精神。同時，由合情推理得到的猜想常常需要證實(shí)，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例。新課程增加了合情推理能力，表面上看削弱了邏輯推理論證能力，實(shí)質(zhì)上卻完善了推理論證。上述教學(xué)案例教師不妨這樣：先讓學(xué)生在特殊情境下通過直觀感、操作確認(rèn)，對“三個角分別相等的兩個三角形相似”有一定的感性認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出“兩角分別相等的兩個三角形相似”，并對判定加以邏輯論證。通過這樣的數(shù)學(xué)活動將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，做到既講推理，乂講道理，在合情推理與演繹證明之間找到一個適當(dāng)?shù)钠健龊恻c(diǎn)，避免僅靠操作確認(rèn)、直觀判斷的低層次思維。一、要點(diǎn)剖析推理：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.1.歸納推理(1)歸納推理