新版特殊三角形“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

等腰(邊)三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)判定等腰三角形(1)兩腰相等，兩底角相等；(2)頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合；(3)是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等邊三角形(1)三邊相等；(2)各角相等，且都等于60°；(3)是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角等于60°的______________是等邊三角形直角三角形(1)兩銳角之和等于90°；(2)斜邊上的中線等于斜邊的______；(3)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于______；(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(1)有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形；(2)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形等腰三角形一半30°1．計(jì)算有關(guān)線段長問題，如果所求線段是在直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．2．有關(guān)等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時(shí)，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個(gè)方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同時(shí)，在底角沒有被指定的等腰三角形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論．注意運(yùn)用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當(dāng)然．3．面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論．1．(2014·盤錦)如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，點(diǎn)M在BC上，ME∥AC，交AB于點(diǎn)E，MF∥AB，交AC于點(diǎn)F，則四邊形MEAF的周長是(

)A．6B．8C．10D．12D2．(2014·丹東)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為(

)A．70°B．80°C．40°D．30°DD

4．(2015·遼陽)如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD＝6，DE＝5，則線段BD的長等于____．5．(2014·鞍山)如圖，H是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AG平分∠BAC，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且AG⊥BD于點(diǎn)G，已知AB＝12，BC＝15，GH＝5，則△ABC的周長為____.8496．(2014·遼陽)如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝3，則DF的長為____．12等腰三角形有關(guān)邊角的討論

【例1】

(1)(2015·荊門)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為(

)A．8或10B．8C．10D．6或12(2)(葫蘆島模擬)等腰三角形一條邊的邊長為3，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的兩個(gè)根，則k的值是(

)A．27B．36C．27或36D．18

解析：分兩種情況：①當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為3時(shí)，將x＝3代入原方程，得32－12×3＋k＝0，k＝27，將k＝27代入原方程，得x2－12x＋27＝0，解得x＝3或9.3，3，9不能夠組成三角形；②當(dāng)3為底時(shí)，則其他兩條邊相等，即Δ＝0，此時(shí)144－4k＝0，k＝36.將k＝36代入原方程，得x2－12x＋36＝0，解得x＝6，3，6，6能夠組成三角形，故答案為B

CB【點(diǎn)評(píng)】

在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰．同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2015·南寧)如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為(

)AA．35°B．40°C．45°D．50°(2)(朝陽模擬)等腰三角形的一個(gè)外角是60°，則它的頂角的度數(shù)是__________．120°等腰三角形的性質(zhì)

【例2】

(2015·北京)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE＝∠BAD.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，又∵∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD

【點(diǎn)評(píng)】

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]2．(2014·菏澤)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC，交AB于點(diǎn)E，若AB＝5，求線段DE的長．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝2.5

等邊三角形【例3】如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；(2)線段BD，DE，EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程．解：(1)△ODE是等邊三角形，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°∴△ODE是等邊三角形(2)BD＝DE＝EC，理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]3．(1)(沈陽模擬)如圖，將等邊△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得△ACD，BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則∠EAF的度數(shù)是_______．

60°(2)(大連模擬)如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，EF＝FD.求證：AD＝CE.[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]3．撫順模擬)在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為____________cm2.4.腰長為5，一條高為4的等腰三角形的底邊長為————

126或6619.三角形的高可能在形外試題1在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度數(shù)．錯(cuò)解解：如圖①，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD＝AD.∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°.剖析當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形內(nèi)；當(dāng)△ABC是為鈍角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形外．在解與高有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮的全面．試題2已