用二分法求方程的近似解

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)應(yīng)用(二)4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。注：1、零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)。

2、零點(diǎn)的意義：①零點(diǎn)是方程的根；②零點(diǎn)是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)對(duì)于在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條_________的曲線，且有________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（a，b)____________零點(diǎn)，即存在c∈（a，b),這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解。注：1、連續(xù)不斷與f(a)f(b)<0這兩個(gè)條件缺一不可。

2、確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①求方程的根；②判斷y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；③單調(diào)性；④轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題。

連續(xù)不斷基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)2至少有一個(gè)

f(a)·f(b)<04.5.2用二分法求方程的近似解

二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a，b]上____________且_____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．思考1：是否所有的函數(shù)都可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？提示：不是，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)，且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)．連續(xù)不斷基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1f(a)·f(b)<0

用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證_____________________，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)：若f(c)＝_____，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)·f(c)______0，則令b＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c)]；若f(c)·f(b)______0，則令a＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)]．f(a)·f(b)＜0知識(shí)點(diǎn)20＜＜(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|______ε，則得到零點(diǎn)的近似值為a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4)．思考：零點(diǎn)的近似解只能是區(qū)間的端點(diǎn)a或b嗎？提示：不是，區(qū)間的端點(diǎn)可以，區(qū)間的中點(diǎn)也可以，實(shí)際上區(qū)間上的任意一個(gè)值都可以．＜

答一答

用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度為0.1)．[分析]

把方程的近似解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)的近似值．[解析]

令f(x)＝2x3＋3x－3，經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)．即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，例1所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.6875.[歸納提升]

1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成)．(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．2．二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口．1．以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是(

)C基礎(chǔ)自測(cè)2．下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是(

)A．f(x)＝3x－1

B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx[解析]

對(duì)于選項(xiàng)C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函數(shù)f(x)＝|x|存在零點(diǎn)，但當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函數(shù)值非負(fù)，即函數(shù)f(x)＝|x|有零點(diǎn)，但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，所以不能用二分法求零點(diǎn)的近似值．C3．(2019·河南永城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末測(cè)試)用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是(

)A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2][解析]

f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，f(1)＝1＋5＝6>0，∴f(－2)·f(1)<0，故選A．A4．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．0

B．1C．2 D．3[解析]

函數(shù)f(x)的圖象通過零點(diǎn)時(shí)，穿過x軸，則必存在變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)圖象可知，函數(shù)f(x)有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故選D．D5．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)內(nèi)，則m的取值范圍為____________.(0,3)題型一對(duì)二分法概念的理解 (1)下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是(

)A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)才用二分法B題型探究例1(2)觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是(

)[分析]

(1)怎樣用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？(2)函數(shù)具有零點(diǎn)與該函數(shù)的圖象有何關(guān)系？A[解析]

(1)只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右的函數(shù)值異號(hào)，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)；二分法有規(guī)律可循，可以通過計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來進(jìn)行，故C錯(cuò)；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯(cuò)．(2)由圖象可得，A中零點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值符號(hào)不同，故可用二分法求零點(diǎn)．[歸納提升]

運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)需具備的兩個(gè)條件：(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷；(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)對(duì)于二分法求得的近似解，精確度ε說法正確的是(

)A．ε越大，零點(diǎn)的精確度越高 B．ε越大，零點(diǎn)的精確度越低C．重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是ε D．重復(fù)計(jì)算次數(shù)與ε無關(guān)(2)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(

)BBA(2)用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度0.01)為_____________.1.5625f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某娛樂節(jié)目有一個(gè)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜一物品的售價(jià)的環(huán)節(jié)，某次猜一品牌手機(jī)的價(jià)格，手機(jī)價(jià)格在500～1000元，選手開始報(bào)價(jià)1000元，主持人回答高了；緊接著報(bào)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實(shí)際上體現(xiàn)了“逼近”的思想，試設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案．[分析]

運(yùn)用二分法思想求解．[解析]

取價(jià)格區(qū)間[500,1000]的中點(diǎn)750元，低了；就再取[750,1000]的中點(diǎn)875，高了；就取[750,875]的中點(diǎn)，遇到小數(shù)，則取整數(shù)，照此猜下去，可以猜價(jià)：750,875,812,843,859,851，經(jīng)過6次即能猜中價(jià)格．

用二分法求方程2x3+3x-3=0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度為0.1).【解題指南】根據(jù)二分法的思想先確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，逐步取區(qū)間的中點(diǎn)值，直到滿足精確度要求，即區(qū)間的長(zhǎng)度小于精確度.

題型二用二分法求方程的近似解如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點(diǎn)cf(a)f(b)f(0，1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5，1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625，0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1，所以方程2x3+3x-3=0的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.6875.

【解析】令f(x)=2x3+3x-3，經(jīng)計(jì)算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x3+3x=3在(0，1)內(nèi)有解.取(0，1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3+3x-3=0在

(0.5，1)內(nèi)有解.

現(xiàn)有12個(gè)小球，從外觀上看完全相同，除了1個(gè)小球質(zhì)量不合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的小球質(zhì)量均相同且合標(biāo)準(zhǔn)，用同一架天平(無砝碼)，限稱三次，把這個(gè)“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重．如何稱？[解析]

先在天平左右各放4個(gè)球．有兩種情況：(1)若平，則“壞球”在剩下的4個(gè)球中．取剩下的4個(gè)球中的3個(gè)球放在天平的一端，取3個(gè)好球放在天平的另一端．題型三二分法思想的實(shí)際應(yīng)用例3①若仍平，則“壞球”為4個(gè)球中未取到的那個(gè)球，將此球與1個(gè)好球放上天平比一比，即知“壞球”是輕還是重；②若不平，則“壞球”在天平一端的3個(gè)球之中，且知是輕還是重．任取其中2個(gè)球，天平兩端各放1個(gè)，無論平還是不平，均可確定“壞球”．(2)若不平，則“壞球”在天平上的8個(gè)球中，不妨設(shè)天平右端較重．從右端4個(gè)球中取出3個(gè)球，置于一容器內(nèi)，然后從左端4個(gè)球中取3個(gè)球移到右端，再?gòu)耐饷婧们蛑腥?個(gè)補(bǔ)到左端，看天平，有三種可能．①若平，則“壞球