2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)妙用奔馳定理解決三角形面積比問題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)妙用奔馳定理解決三角

形面積比問題

【題型歸納目最】

題型一:直接使用奔馳定理

題型二:三角形面積比問題

【方法技巧與總結(jié)】

奔馳定理——解決面積比例問題

重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).

已知的頂點(diǎn)1/1),S(T>,y),C(.T3,加)，則ZVI，。的重心坐標(biāo)為

//%+g+g幼+紡+%\

3，3

注意：(1)在中，若O為重心，則ON+而+54=6.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示：.

奔馳定理：5八?+SB?屈+Sc/小方=0,則△力03、△力。。、ABOC的面積之比等于九：蒞：4

奔馳定理證明：如圖，令，1罰=""2加=函，4云=困，即滿足<54+而1+近1=0

S&WBS^AOCSc：J3OC.q.q_1.1.1

D△月Q841人2/“3QABQG4243

(3)F為A43O內(nèi)一點(diǎn)，axPA+bxPB4-cxFC=0,則S”比;：S^PAC-S^pAB=a:b:c.

帝隼夕上人?SNPBCaS"AC_bS\PA8_c

?S、.\BCa+b+c"S'ABCa+b+c，a+b+c*

結(jié)論1:對于^ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若\PBC、LPCA、LPAB的面積分別為S1、即、S「,則:

SA-PA^SB-PB^SC-PC=().

即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.

結(jié)論2:對于AZB。平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若點(diǎn)P在A4B。的外部，并且在/氏4。的內(nèi)部或其對頂

角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有一S"BC?PA+SAPAC?PB+SPAB-Pc=o.

結(jié)論3:對于\ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若AXPA+A.,PB+^PC=O,則kPBC、bPCA、l^PAB的面積

之比為A：不：用.

即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論1:對于XABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)P,用AX+A.PB4-A.PC=6,則APBC、

APCA、AP4B的面積分別為周:同:同.

即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕

對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.

【■■MW

題型一:直接使用奔馳定理

例1.（2023卷?河南安陽?方一統(tǒng)考期末）已知。是△46。內(nèi)的一點(diǎn)，若ABOCAAOCAAOB的面積

分別記為Si,S2,S3,WiJS1-OA+S2-OB+S3-OC=3.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很

相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是的垂心，且。X+2而+3尻=不，則

ta.nZ.BAC:tanZABC:tanZTlCB=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

例2.（多選題）（2023?方一單元測試）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角ABC的對邊分別為a,b,c,則總

有優(yōu)美等式S"BC?PA+S樂AC-PB+S^AB-PC^成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此

判斷以下命題中，正確的有（）

A.若P是&4BC的重心，則有后才+屈+用=6

B.若a-Q4+b?兩+c?咒=6,則P是△ABC的內(nèi)心

C.若和=^-AB+，則S甌BC:S?AC:S"AB=2:2:1

DJ

D.若P是△ABC的外心，且?!=1,則AX+sinZAFC-PB+sin（普-Z.APC）-PC=6

例3.（多選題）（2023秋?河南洛FB?高一直用縣第一；＜級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)

一點(diǎn)，且取=無存+“座，下列說法正確的是（）

A.若工=沙=4,則點(diǎn)P是邊的中點(diǎn)

B.若點(diǎn)P是邊靠近13點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則刀=4-^=4

OO

C.若點(diǎn)P在3。邊的中線上且立+?=-；，則點(diǎn)P是△ABC的重心

D.若;r+y=2,則&PBC與^ABC的面積相等

例4.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定

理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車,（Mercedesbenz）的logo很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定

理：已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn),ABOC,/XAOC,AAOB的面積分別為S.,SK,S。,且Sa-OA+S^

OB+Sc-OC=0.設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABAC,/ABC,/ACS分別是的△46。三個內(nèi)

角，以下命題正確的有（）

A.若5X+2）+3和?=6,則SA：SB：SC=1：2：3

B.若|網(wǎng)=|網(wǎng)=2,/403=箏2^1+3加+4定=6,則5刖=今

C.若。為△4BC的內(nèi)心，3為+4赤+5資=6,則/。=號

D.若O為A4BC的垂心，3罰+4OB+5OC=0,則cosZAOB=一尊

例5.（多選題）（2023秋?河南洛用?方一宜陽縣第一南級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△4?。所在平

面內(nèi)一點(diǎn)，且2為+3OB+4OC=3則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.AO=^-AB+^-ACB.直線力O過邊的中點(diǎn)

C.SMOB'SABOC：2"D.若I網(wǎng)=1函=1閃=1,則云?荏=一條

例6.（多選題）（2023春?湖南永州?方一永州市第一中學(xué)?？肌銎谥校┮阎c(diǎn)O為△4BC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，2±?+3方+4反5=。,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.AO=.：AB+AC

B.直線4。必過BC邊的中點(diǎn)

C.S&ABC：Sz\℃=3：1

D.若|加|=|而|=|方|=1,則cos＜6?,赤＞=:

例7.（2023春?江蘇檢州?高一徐州市第三十六中學(xué)（江蘇嬸范大學(xué)附屬中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）定理:如

圖，已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S“比「PA+S"AC?PB+S&PAB-PC=3.

由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平

面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作

用.

已知點(diǎn)。在內(nèi)部，有以下四個推論：

①若。為△ABC的重心，則。1+）+/=6；

②若O為&ABC的外心,則sin24OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0；

③若O為△AB。的內(nèi)心，則+b?赤+c?宓=6；備注:若。為645。的內(nèi)心，則

+sinB-OB+sinC-OC=0也對.

④若。為△ABC的垂心，則tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=（5.

試用“奔馳定理”或其它方法解決下列問題.

⑴點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,滿足巨＜+2兩+3用=6,求S-Bc:S^APC的值；

（2）點(diǎn)。為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S"：Smoc:S-oc=4:3:2,設(shè)而=%而+〃而,求實(shí)數(shù)?和〃的

值；

（3）用“奔馳定理”證明推論②.

題型二:三角形面積比問題

例8.（多選題）（202&方一樂時練習(xí)）若點(diǎn)。為△48。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AO=^-AB+^AC,則下列選

項(xiàng)正確的是（）

A,直線4。必過BC邊的中點(diǎn)

B.SAAOC：S/VI“C=1：3

C.若△力6。的面積為9,則的面積是4

D.2OA+3OB+4OC=0

例9.（多選題）（2023春?江蘇南京?高二金*中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

且萬5+2礪+3前=6,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.W=^AB+^AC

B.直線49必過3。邊的中點(diǎn)

c.S&AOB：S&AOC=3:2

D.若|加1=1而1=1,且說，則|罰|=后

例10.（2023?江蘇秦州?高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為△4/3。內(nèi)-點(diǎn)，且方f+2OB+3OC=0,則A4OB

,△A9COC的面積之比等于.

例11.（2023秋■?江蘇秦州?高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△A3C內(nèi)一點(diǎn)，且成+2礪+3超=6,則

△AOB,^AOC,她。。的面積之比等于.

^12.（2023-河南南相?統(tǒng)考三模）已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ON+2OB+3OC=6,則△408,

△4OC,ABOC的面積之比為.

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,&4OC,AAOB的面

積分別為S,1，SB，S°,則SA-OA+SB-OB+SC-OC=》“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的

結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為

三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：示+2加+3正=3荏+2/+方,則徐3=（）

mmrai

一、單選題

1.（2023-全國?高三壽慝練習(xí)）已知P為內(nèi)任意一點(diǎn)，若滿足xPA+yPB+zPC=

6（l,y,z>0）,則稱P為△ABC的一個“優(yōu)美點(diǎn)”.則下列結(jié)論中正確的有（）

①若/=y=z=1,則點(diǎn)P為4ABe的重心；

②若a?=1,y=2,z=3,則S*BC~萬；

③若PX?兩=麗?同?圮，則點(diǎn)p為△ARC的垂心；

④若:r=l,y=3,z=l且。為AC邊中點(diǎn)，則前=三說.

tj

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2023秋?河南安閑?高三階段練習(xí)）。是443。所在平面上一點(diǎn)，滿足兩+而+用=2牯，若

SA.C=12,則△PAB的面積為（）

A.4B.6C.8D.16

3.（2023-全國?方三專題練習(xí)）P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，滿足PA+PB+圮=24瓦若

6,則△H4B的面積為（）.

A.2B.3C.4D.8

4.（2023春?安徽黃山?；＜一統(tǒng)考期末）已知。是△43。所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，乙4,乙8,NC所對的邊分

別I為a=3,b=2,c=4,若aCL4+bOB+cOC=。,過O作直線Z分別交48、AC（不與端點(diǎn)重合）

于P、Q,若#=；1羽，福=〃J化，若△PAO與△QAO的面積之比為則4=（）

A.B.C.4D.-4-

6.334

5.（2023-全國?方三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，同+2聞+3PC=6,則XAFB,AAPC,

△5PC的面積之比為（）

A.9：4：1B.1：4：9C.1：2：3D.3:2:1

6.（2023秋?河北邯祁?南三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若瘋=~|■通+

4■正，則△力與相。加的面積之比為（）

O

A.B.C.2D.

7.（2023春?陜西洛安?高一校考"階段練習(xí)）已知M是△工及7所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2不法=：而+

4AC,則AAMB與AABC的面積之比為

4

A.1:4B,3:4C.3：8D,1:8

8.（2023款?江西宜春?南三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）記△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)為P,滿足工荏

+“而=存，其中/+必=1,則各跳的取值范圍為（）

J2ABC

A.[V2-l,+oo)B.(0.V2-1]C.(0,1]D.[V2+l,+oo)

【答案】c

【解析】過C點(diǎn)作的垂線，垂足為D,則於=N萬+反?,

存=7濕+y（赤+況），而年與南共線，

“_丑四坨=出而—

易得

S&ABC_1.\AB\-\DC\

2

.?SdABP1/八1i

故七----6(0,1],

故選:C

9.（2023秋?江西景稔慎?南二校?？计谀┮阎c(diǎn)P為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足?=^AB+^AC,

貝I」圣膽=

b&ABP

A.2B.3

C.4D.5

二、多選題

1（）.（2023秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且巨才+2兩+3用=6,

若E為4。的中點(diǎn)，口為8。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.向量聲與對可能平行

B.點(diǎn)P在線段EF上

C.\PE\：冏=2:1

D.S"AB；SMAC：S/^PBC=1：2:3

三、填空題

1L（2023?全國?方三專題練習(xí)）如圖，P為△4SC內(nèi)任意一點(diǎn)，角4,B,。的對邊分別為a,b,c.總有

優(yōu)美等式S^cPA+S^ACPB+S^AUPC=3成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定

理.現(xiàn)有以下命題：

①若P是的重心，則有巨才+兩+團(tuán)=6；

②若汨+b兩+c咒=6成立，則P是△ABC的內(nèi)心;

③若行=^AB+《而，則S^BP-.S皿=2：5；

DO

④若P是△ABC的外心，A=與，"=TH屈+n圮，則M+71e[―四,1）.

4

則正確的命題有.

12.（2023-全國?高一專題練習(xí)）設(shè)P為A4BC所在平面上一點(diǎn),且滿足3PA+1PC=mAB（m>0）.若

l^ABP的面積為8,則AABC的面積為.

13.（2023春?河南讀相?南一統(tǒng)考期中）P是A4BC所在平面上的一點(diǎn)，滿足PA+PB+PC=2座,若

S"AB=4,則A4BC的面積為.

14.（2023-湖北?高三元春）已知P是AABC所在平面上一點(diǎn)，滿足PA+PB+2PC=3而.則A4BP

與A4BC的面積之比為.

15.（2023?全國?高三競春）設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足同+兩+用=3荏，若△PAC的

面積為1,則APAR的面積為.

16.（2023-全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為XABC內(nèi)一點(diǎn)，2同+3屈+5PC=6,則△APB,zV!PC

,LBPC的面積之比為.

17.（2023?上海?商三專題練習(xí)）已知A45C的面積為360,點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且赤=

\AB+[而,則APAB的面積為.

四、解答題

18.（2023春?山東濟(jì)南?高一統(tǒng)考期末）在△4日？中，點(diǎn)尸為內(nèi)一點(diǎn).

⑴若點(diǎn)P為八46。的重心，用而，衣表示存；

（2）記APBC,^PAC,^PAB的面積分別為SA，SB，S0,求證：SAPA+SaPB+ScPC=0；

（3）若點(diǎn)P為A4BC的垂心，且兩+2PB+3PC=（）,求cosZAPB.

19.（2023春?河北保定?高二河北省西用縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為A4BC內(nèi)一點(diǎn)

2PA+3PB+5PC=。，若尸為4c中點(diǎn)，G為3C中點(diǎn)，空空=.AXPB

\PG\

,△APCABPC的面積之比為

妙用奔馳定理解決三角形面積比問題

【num3】

題型一:直接使用奔馳定理

題型二:三角形面積比問題

【方法技巧與總結(jié)】

奔馳定理——解決面積比例問題

重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).

已知△力6C的頂點(diǎn)4（%，劭），B（①2,y）,C（g,陰），則△48。的重心坐標(biāo)為

l+g+g幼+紡+%\

GV3，一卜

注意：（1）在△43C中，若O為重心，則0N+而+。己=工

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示：.

奔馳定理：5八?+SB+Sc?小方=0,則△力03、△力OC、ABO。的面積之比等于用:蒞:4

奔馳定理證明：如圖，令4科=見"2麗=函，4歷=困，即滿足<54+而1+近1=0

SAAOB1S^AOC1S^BOC1LZ.r,cr>_1r1

~Q——一]]，W~~~T1>~Q———】】，故.1"：一?。盒。?k

D△月Q場/“3QABQG4243

(3)P為bABC內(nèi)一點(diǎn)，axPA+bxPB+cxPC=6,則S^PBC:S^pAC-SAPAB=a:b:c.

帝垂_2士人.SM，BC_aS.AC_bSXPAB_c

""'SAABCa+b+c'S&ABCa+b+c'SAABCa+b+c'

結(jié)論1:對于AABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若APB。、APCA、APAB的面積分別為SA.S“、Sc,則:

SA-PA+SB-PB+Sc-PC=().

即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.

結(jié)論2:對于l^ABC平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若點(diǎn)P在AABC的外部，并且在/BAC的內(nèi)部或其對頂

角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有一S"BC?PA+SAPAC?PB+SPAB-Pc=o.

結(jié)論3:對于\ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若AXPA+A.,PB+^PC=O,則kPBC、bPCA、l^PAB的面積

之比為A：不：用.

即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論1:對于XABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)P,用AX+A.PB4-A.PC=6,則APBC、

APCA、AP4B的面積分別為周:同:同.

即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕

對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.

【■■MW

題型一:直接使用奔馳定理

例1.(2023卷?河南安陽?方一統(tǒng)考期末)已知。是△46。內(nèi)的一點(diǎn)，若ABOCAAOCAAOB的面積

分別記為Si,S2,S3,WiJS1-OA+S2-OB+S3-OC=3.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很

相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是的垂心，且。X+2而+3尻=不，則

ta.nZ.BAC:tanZABC:tanZTlCB=()

A.1:2:3B.1:2:4C.2：3：4D.2:3:6

【答案】A

【解析】。是△ASC的垂心，延長。0,80,40分別交邊AB,A。，SC于點(diǎn)P,M,N,如圖，

則CPA.AB.BMX_AC.AN±BC、LBOP=ABAC,LAOP=4ABC,

因"且=BP_=OPtan/BOP=tan/氏4。門且=tan/BAC

周'豆一次—OPtanZAOF~tanZABC'網(wǎng)正瓦一tanN/CB'

于是得tan/BAC:tanZABC:tanZACB=Sl:S2:S3,

又01+2而+3而=6,即無=一43?-4麗,由"奔馳定理”有$「51

4-S2-OB+S3-OC=0,

則OC=一微~'OA―色?OB,而。4與OB不共線，有合~=,冬=?"，即Si:S?：S3=1：2:3,

所以tan/RAC:tanZXBC：tanZ/lCB=1:2:3.

故選:A

例2.（多選題）（2023-需一單元測試）如圖，P為&4BC內(nèi)任意一點(diǎn)，角A8C的對邊分別為a,b,c,則總

有優(yōu)美等式S“BC?兩+SMAC?兩+S"AB?方=。成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此

判斷以下命題中，正確的有（）

A.若P是△ABC的重心，則有兩+兩+方=6

B.若+b?聞+c?我=6,則P是△ABC的內(nèi)心

C.若存=《荏+1■彩，則Sy,BC:S?AC:S^PAB=2：2：1

DD

D.若P是△ABC的外心，且力=?則司+sinZAPC-兩+sin（萼一ZAPC）-PC=0

【答案】ABD

【解析】對于-A,P是△43。的重心，則S"BC=S"AC=SgAB,

代入S^PBC-PA+SaAC?PB+S江AB?用=6就得到兩+兩+用=3,正確；

對于B,設(shè)點(diǎn)P到邊BC,AC,4B的距離分別為加,甌/%,

由S^PBC-PA+S"AC-PB+S"AB'PC=()彳導(dǎo)，-^ah\-PA+4bh?-PB+-yc/i：s-PC=0,即a"?PA+bh,

?PB+chi-PC=6,與已知條件a?PA+b-PB+c?PC=6比較知，"=h>=h.:i,則P是AABC的內(nèi)心，

正確；

對于。，屁=(方+看左=看(聞_網(wǎng)+看百日_網(wǎng)，即2同+兩+2用=6,

與SNBC'PA+S4PAe?PB+S州AB，PC=。比較得到,S"BC：S^PAC'-S^PABC=2:1:2,錯誤；

對于。，。是A4BO的外心，且/A=g■，則乙BPC=等設(shè)三角形外接圓半徑為R,

所以S^BC=/點(diǎn),SMAC=畀專展也（弩-ZAPC）,

代入奔馳定理即可得到PA+sin/人0。?配+sin（等一AAPC）-PC=^,正確,

故選：ABD.

例3.（多選題）（2023*-河南洛用?高一宜相縣第一南級中學(xué)校考階段練習(xí)）點(diǎn)P是ZvlBC所在平面內(nèi)

一點(diǎn)，且存=/南+?/,下列說法正確的是（）

A.若工=夕=方,則點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)

B.若點(diǎn)。是邊BC靠近13點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則工=卷夕=”

C.若點(diǎn)P在邊的中線上且上+y=g,則點(diǎn)P是ZVIBC的重心

D.若①+y=2,則△PBC與△4BC的面積相等

【答案】AD

【解析】A若工=?=4，取=右說+4方方Q取一荏=/一取=毋=定，即點(diǎn)P是邊8C的中

點(diǎn),故正確；

B當(dāng)立==?時，汨5=春陽+4■態(tài)o而一通=2（怒一^5）o前=2戶方，點(diǎn)尸是邊BC靠

近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故錯誤；

。點(diǎn)尸在BC邊的中線上且2+y=t■，點(diǎn)P為B。邊的中線的中點(diǎn)，故不是重心；

D設(shè)直法=2岳，麗=2/，則而=￡■疝+卷福，卷+3=1,故點(diǎn)P在直線MTV上，點(diǎn)P與點(diǎn)A

到BC邊的距離相等，故△PBC與AABC的面積相等.

故選：AD

例4.（多選題）（2023?全國?商三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定

理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesmnz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定

理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，△B。。，△40。，△AOB的面積分別為SA,SB,S。,且SA?+SB?

OB+Sc-OC=^.設(shè)。是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，￡BAC,Z.ABC,乙4cB分別是的&4BC三個內(nèi)

角，以下命題正確的有（）

A.若。1+2無+3或？=。，則SA-SR；S（：=1:2:3

B.^\OA\=\OB\=2,N4OB=居，2示+3加+4云=6,則殳板=￡

C.若。為△ABC的內(nèi)心，3±才+4加+5芯=。,則zc=y

D.若。為△ABC的垂心，304+4OB+5OC=百,則cosNAOB=一項(xiàng)

6

【答案】AC。

【解析】對A,由奔馳定理可得，無5+2詬+3定=S,「6?+Sb?赤+Sc?定=6,又01、赤、正不

共線，故S4：5J：SC=1：2：3,A對；

對B,Sc=4-X2X2XsmZ.AOB=1,由2示+3OB+4OC=0得S*:S”：S0=2:3:4,故&ABC=ySc

Z4

--->---?---?-?

對。，若。為A4BC的內(nèi)心，3OA+4OB+50。=0,則SA:SB:SC=3:4:5,又SB：SC=yar：y6r:

ycr=a:6:c（r為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故/。=],C對；

對D,若O為△ABC的垂心，則NBOC+^A=K,OB-OC=\OB\-\OC\COS^BOC^-\OB\-

|OC|cosZA,

又麗.於=礪?（文—冏）=0。麗.正=加.（51旬加上05/力=|（X^cos/C,

同理\OC\cosZ.B—|O/?|cosZC,\OA\cosZ.B—\OB\COSZ.A,\OA\：\OB\：\OC\—cosZA：cosZB：

cosZC,

4-1OB+5OC=（5,5!'lSA:Sn:S（=3:1:5,i

且SA：SB：SC=同網(wǎng)函'inZBOC：十|可|函sinNAOC：*明|函sin/4O8屋\

—（（）sZj?c（）sZCsinZ/l:cosZ/lcosZCsinZB:cosZ/lcosZBsinZG/

_sinN/1.sin/B.sin/。|

cosZXcosZBcosZCBDC

=tanZX:tanZB:tanZC

如圖，D、E、F分別為垂足，

2

設(shè)AF=mitan/4=3t（t>0）,則FC=37nt,BF=4~mfAB--^-m,AC=V9^+1-rn,

44

又AE：EC=5：3,故4￡=自4。,8后=3八4后=粵4。,

tanZX'tanZCoo

由AB?尸。=AOBE=二m-=粵(9/+1)力?，解得t=艱，

4o3

由tan2ZC=j——1=5=>cosZC=,故cos/AO3=—cos/C=—。對故選：ACD

cos~Zc7oo

例5.(多選題)(2023秋?河南洛相?高一宜陽縣第一方級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn)O為△AB。所在平

面內(nèi)一點(diǎn)，且"H+37+4。方=6則下列選項(xiàng)正確的有()

A.AO=+-^-A,CB.直線AO過邊的中點(diǎn)

O-7

若|市|=|而|=|而|=則司?荏=一

C.S^AOB:S^BOC=2:1D.1,4

【答案】48

【解析】204+3(3?+AB)+4(04+AC)=904+3AB+4AC=6,則

AO--yAB+/AC,A正確；

若阮=2刀,屈=39，赤=4五，則/+1+前=6,/

所以。是△DEF的重心，/

直線40過E尸中點(diǎn)，而EF與8。不平行，

所以直線力。不過BC邊的中點(diǎn)，8錯誤;

又S^DOE~SgOF=S^DOF,而S^DOE—65^.06,S^EOF—12s△J3OC'，

所以S^AQB:Swoc=2:1,C正確；

\OA\=\OB\=|OC|=16OC2=(204+3OB)2=4OA2+1204-OB+9南，

,>","i

所以04?06=^,

4

而正?費(fèi)=-j(2O4+SOB)-(04-OB)=；(2刀?+OA-OB-^OB-)=一4，D正確.

故選：ACD

例6.（多選題）（2023春?湖南永州?高一永州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)O為△4BC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，2。^+3OB+4OC=0，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.AO=^-AB+^AC

oy

B.直線49必過邊的中點(diǎn)

c.S^ABC-S^AOC=3：1

D.若|而1=1而1=1或1=1,則cos<dXd^>=]

【答案】ACD

【解析】由題意，點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，204+305+40^=0,

可得2己1+iOB+iOC=2OA+3（OB-OA）+l（OC-OA）+7OA=（1,

即904+3AB+4AC=1即9而=-3AB+4AC，可得而=^-AB+^-AC,

jy

所以其正確，B錯誤；

如圖所示，分別延長。408,OC于點(diǎn)DE,P,使得歷=2工］，加=3OB,OF=4OC,

因?yàn)?。1+3方+4五=百，可得/+9+前=人所以。為△DEF的重心，

設(shè)ADEF的面積為S,

可得S^AOC=S^ODF=1X-^S最)EF=S^AOB—卷SAODE=4x—S/^EF=tS

SABOC=己S^OEF=X寺SMEF=S,

i.J_

所以SAABC=(擊+表+奈)S,可得登婦=~~Y——=3,

looOQ^AOC.

24

所以。正確；

若|礪|=|而|=|引|=1,可得|用|=2,|配|=3,|前|=4,

因?yàn)?。+。E+0尸=0,可得0。+0石=-0f，所以|OD+OE|=

國，

可得OD2+OE2+2OD-OE=OF-,即22+32+2OD-OE=OD-OE=^-,

則COS〈5X加>=cos</，就所以。正確.

no.

故選：ACD.

例7.（2023春?江蘇徐州?南一徐州市第三十六中學(xué)（江蘇卿范大學(xué)附屬中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）定理:如

圖，已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn),則有S&PQPA+SM-PB+S^PAR-PC=（5.

由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平

面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作

用.

已知點(diǎn)。在內(nèi)部，有以下四個推論：

①若。為△力的重心，則5N+詬+/=6；

②若O為△ABC的外心，則sin2H?3+sin2B-OB+sin2C-OC=6：

③若。為△ABC的內(nèi)心，則a?01+b?詬+c?Od=0；備注:若O為的內(nèi)心，則sinAOl

+sinB?OB+sinC（'OC=0也對.

④若。為△ABC的垂心，則tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=（5.

試用“奔馳定理”或其它方法解決下列問題.

⑴點(diǎn)P在&4BC內(nèi)部,滿足同+2屈+3冏=6,求：S△.;的值；

⑵點(diǎn)O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若S?OB：Swoc：S&AOC=4：3：2,設(shè)南=而豆+〃/,求實(shí)數(shù)/i和〃的

值；

（3）用''奔馳定理”證明推論②.

【解析】⑴因?yàn)閮?2而+3附=6,根據(jù)奔馳定理可得S4^c：Sj”：SAMB=1:2:3,

因此,S^ABC:S^APC=6:2=3:1.

⑵根據(jù)奔馳定理，得MH+25S+4正=6,即335+2（35+%§）+4（51+態(tài)）=6,

整理可得AO—看AB+等4C,

因?yàn)榍芭c前不共線，所以由平面向量基本定理得久=看，〃=卷.

⑶證明：若。為△ABC的外心，則可設(shè)△4BC的外接圓半徑為R,

4BOC=2A,NAO。=28,NAO8=2C,

故SAPOC=■用sin27l,同理SA4QC=~^_/?2sin26,S^QB=~^R2sin2C,

根據(jù)奔馳定理,S△成）c?PA-\-SMQC*PB+S^AOB，PC—3.

即皆展皿力?OA+y/?2sin2B-OB+^-R2sin2C-OC=t）.

所以sin2j4?OA+sin2B,OB+sin2C-OC=0.

題型二:三角形面積比問題

例8.（多選題）（2023?商一課時練習(xí)）若點(diǎn)。為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AO=\AB+^AC,則下列選

oy

項(xiàng)正確的是（）

A,直線49必過邊的中點(diǎn)

B.S^oc:=1.3

C.若△ABC的面積為9,則△4OB的面積是4

D.2OA+3OB+4OC=0

【答案】BCD

【解析】對D,A.O—^A.B+'^-AC則AO-g（OB-%）+得（℃—OA）——'^rOA.+-^013+-^r-OC,

OtzOJ/JDJ

化簡得25m+31+45方=6,故。正確；

對人若直線40過BC邊的中點(diǎn)則％5=/lZ萬=4xg而+而）=］而+抑運(yùn)與題設(shè)矛盾，故力

錯誤；

對B,由奔馳定理可得S^jjoc■。4+S&40c,OB+SMOB'OC=6,

故S^BOC:S^oc:S^AOB=2：3:4,故S^AOC:=3:（2+3+4）=1:3,故6正確；

對。，由S^BQC-S&40c;SM（）B=2:3:4可得S&4BC:S^AOB=9:4,故。正確；

故選：BCD

例9.（多選題）（2023春?江蘇南京?高二會*中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△45。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

且與5+2宿+3楨?=6,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.AO^^AB+^AC

B.直線4。必過BC邊的中點(diǎn)

C.S^AOB:S4AOC=3:2

D.若|赤|=|五1=1,且瓦，則|CM|=V13

【答案】ACD

【解析】如圖所示，點(diǎn)。為&ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且而5+2OB+iOC=0,

可得彩+2赤一2引+3正一3a+5（51=6,即AO=2（OB-OA）+3（OC-OA）,

即乙40=248+347,所以力0=卷43+―47,所以人是正確的；

2.4

在△ABC中，設(shè)2為3。的中點(diǎn)，

由苑5+2。5+3正=6,可得（益+沆?）+2（無+花）=6,

所以正=一2億足+限）=一4團(tuán)，所以直線AO不過BC邊的中點(diǎn)，所以B不正確;

由其守=-400,可得|彩|=4|OD|且AC〃OD,

所以。E=3EC,可得EC=告BC,所以

/ILT：注■/\X

_3n

一五

a4-J4DxBEsm/-AEBDJ71

舲2_____________________bH

1斤以GMqOB_-1-「=I?，所以c正確；

因?yàn)閨怎|=|兄|=1,且。5J_正，

可得|O4|2=\2OB+3函2=4OB2+1205-OC+9OC2=13,

所以|O4|=V13,所以。是正確的.

故選：ACD.

例10.（2023?江蘇泰州?高三階盤練習(xí)）已知點(diǎn)。為△43。內(nèi)一點(diǎn)，且（51+2OB+3OC=0,則△4OB

，△力OCOC的面積之比等于

【答案】3:2:1

【解析】由03+2礪+3況=0可作圖如下，3?、兩不共線，兩=2而，以

04,OM為邊構(gòu)成平行四邊形MOAP,PO=3OC,

則由三甭形面積公式易得

S&4O8__2S^AOM>

S&AOC-gS^OP—gS^OM，

SABOC=至S^BOP=-g-S/MOP=卷.爹SUMOAP=看S^om,

故SAAOB:SMOG:SABOC=3:2:1,

故答案為：3:2:1

例11.（2023我?江蘇泰州?高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且。才+2（5芯+3。忑=6,則

△408,△AOC,ABOC的面積之比等于

【答案】3:2:1

【解析】3?+2加+39=6=>—芯=451+4說,令一定=南

oJ

則南=1-OA+^05,得3OC'=04+2OB,即布=2礪，所以。'為

JO

AB三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)8）,如圖，所以SMOC=S故g，S^BOG=S^oc、

Ss=2s帖”,，S4AOB—SAAOC，+Sg（）c,即,￡\AOC,△8℃的面積之比等于3sAj℃，:2sAs“?。?/p>

=

S&BOC，3:2:1.

故答案為：3:2:1

例12.（2023?河南南相?統(tǒng)考?三模）已知。為△HBC內(nèi)一點(diǎn)，且ON+2而+3。方=6,則ZVIOB,

△40。，△B。。的面積之比為.

【答案】3:2:1

【解析】A

延長OB到E,使得了=2。夙分別以。及OE為鄰邊做平行四邊形OAFE,

???咒+27+3正=6,且5X+