2023年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺演練15解析幾何小題拔高練含解析

解析幾何小題拔高練-2023年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新

高考通用）-、單選題

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1.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知橢圓E:與+為=l（a>6>（））,直線y=[c+a與橢圓E相切,貝橢

orb2

圓E的離心率為（）

A.B.yC.%D.日

2.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)M（-l,為）作拋物線/=2pa；（p>0）的兩條切線，切點(diǎn)分別是A,

B,若面積的最小值為4,則2=（）

A.1B.2C.4D.16

3.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C:與-^-=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,E，直線y

ab

=―/與。的左、右兩支分別交于工，石兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則。的離心率為（）

A.B.3C.V3+1D.V5+1

4.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E，E分別為雙曲線C：4—馬=l（a>0,b>0）的

ab~

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。在雙曲線的右支上，若△POE是面積為2一的正三角形，則b?的值為（）

A.2B.6C.4V3D.8-4A/3

5.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線-y2=1的左焦點(diǎn)為R,過(guò)點(diǎn)尸的直線I與雙曲線。交于

O

兩點(diǎn)，若過(guò)4B和點(diǎn)M（，7,0）的圓的圓心在9軸上,則直線，的斜率為（）

A.土空B.±V2C.±1D.±y

6.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知橢圓+￡=l（a>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為凡月,過(guò)E作直線與橢

a2b2

圓相交于A3兩點(diǎn),若3同=2|3四且|BE|=|43|,則橢圓的。的離心率為（）

7.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知拋物線的方程為/=4如過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩

點(diǎn)，且也P|=5,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MOF的面積與△NOF的面積之比為（）

A.《B.4-C.5D.4

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8.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若圓（x-a）?+{y-3）2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2/—y+1

=（）的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—8,一苧）U（爭(zhēng)+8）B.（一號(hào)，號(hào)）

C.(_8,~|)激修升8D（44）

9.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系上，圓C：x2+（y-1尸=1,直線y=aQ+1）與圓。交于力,

B兩點(diǎn)，&C（0,1）,則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，a=（）

A.B.V3—1C.2—V3D.

10.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知橢圓E：《+￡=l（a>b>0）的兩條弦AB,8相交于點(diǎn)P（點(diǎn)尸在第

ab

一象限），且AB，/軸，CD，？軸.若|P川：|PB|：|PC|：|PD|=1：3：1:5,則橢圓E的離心率為（）

A造B.VJOc."D.2VW

11.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線G：￡-^=l（a>6>0）和橢圓C2：J+^-=1的右焦點(diǎn)分別為

F,F）,7l（-a,0）,B（a,0）,P,Q分別為Q上第一象限內(nèi)不同于B的點(diǎn)，若方才+漏=

1（9+9），（入67?）,兩=/我,則四條直線PAPHQAQB的斜率之和為（）

A.1B.0C.-1D.不確定值

12.（2023?江蘇宿遷?江蘇省沐陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光

線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓E：（+冬=l（a>b>0）的左、

a~b~

右焦點(diǎn)分別為E，E，過(guò)E的直線與橢圓E交與點(diǎn)月，過(guò)點(diǎn)力作橢圓的切線/,點(diǎn)口關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)

為?'若叫=普’1^7'則答=)

切線

9

。c5

二、多選題

1.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線沙=|ln.r|兩條互相垂直的切線人、5切點(diǎn)為R、P2

（E、2不重合），設(shè)直線八、為分別與沙軸交于點(diǎn)4、5,則（）

A.R、烏兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值B.直線的斜率為定值

C.線段46的長(zhǎng)度為定值D.△力面積的取值范圍為（0,1）

2.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)4（-1,0）,5（1,0），點(diǎn)P為圓C：x2+y2-6x-8y+l7=0上的動(dòng)點(diǎn)，則

A.△R4R面積的最小值為8—4方B.AP的最小值為2，

C./H4R的最大值為基D.AB-AP的最大值為8+4V2

3.（2023?江蘇?二模）已知橢圓（■+得=1，點(diǎn)9為右焦點(diǎn)，直線9=kx（k豐0）與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),

直線PR與橢圓交于另一點(diǎn)初,則（）

A.周長(zhǎng)為定值B.直線與的斜率乘積為定值

C.線段的長(zhǎng)度存在最小值D.該橢圓離心率為y

4.（2023?湖北?荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）己知橢圓C：等+4=1（0<6〈/）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為四

3b~

22

（0,-c）,￡（0,c）（其中c>0）,點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q是圓E-.x+（y-4）=1上任意一點(diǎn),\PQ\+\PF2\

的最小值為2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.橢圓。的焦距為2

B.過(guò)￡作圓E切線的斜率為±2—

C.若力、6為橢圓。上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且異于頂點(diǎn)和點(diǎn)P的兩點(diǎn)，則直線PA與PB的斜率之積為

D.|PQ|-|PE|的最小值為4-2V3

5.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知P,Q是雙曲線￡?一《=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

a'b

的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM,z軸于點(diǎn)M交雙曲線于點(diǎn)N,設(shè)直線PQ的斜率為k,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.k的取值范圍是—上且k片0B.直線的斜率為4

aa2

C.直線尸N的斜率為空D.直線PN與直線QN的斜率之和的最小值為上

kazQ

6.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知圓C：（/—a）2+y2=a2（a>0）與圓M：x2+（y-4）2=4,P,Q分別為

圓。和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)（2,1）作圓M的切線有且僅有一條B.存在實(shí)數(shù)a,使得圓C和圓M恰有一條公切線

C.若圓C和圓M恰有3條公切線，則a=3D.若\PQ\的最小值為1,則a=1

7.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：苧+曰=1,4,4分別為橢圓。的左右頂點(diǎn)，B為橢圓

的上頂點(diǎn).設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合,若直線4PB與直線4M交于點(diǎn)P,直線4河與直

線4口交于點(diǎn)。,則（）

A.若直線4以與4M的斜率分別為所，的，則行七=一日B.直線PQ與z軸垂直

4

C.\BP\=\BQ\D.\MP\=\MQ\

8.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）已知圓的方程為（2―—山）,2=小2,對(duì)任意的m>0,該圓（)

A.圓心在一條直線上B.與坐標(biāo)軸相切

C.與直線夕=—c不相交D.不過(guò)點(diǎn)（1,1）

三、填空題

1.（2023?江蘇?二模）設(shè)過(guò)雙曲線。:三-^-=l（a>0,b>0）左焦點(diǎn)F的直線I與。交于N兩點(diǎn)，若

ab

FN=3FM，且麗?前=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則。的離心率為

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）弓琴（如圖），也可稱作“樂(lè)弓”，是我國(guó)彈弦樂(lè)器的始祖.古代有“后羿射十

日”的神話，說(shuō)明上古生民對(duì)善射者的尊崇，樂(lè)弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.在我國(guó)古籍《吳越春秋》中，

曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正面為一橢

圓面，它有多條弦，撥動(dòng)琴弦,音色柔弱動(dòng)聽(tīng)，現(xiàn)有某研究人員對(duì)它做出改進(jìn),安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音

強(qiáng)勁悅耳.下圖是一弓琴琴腔下部分的正面圖.若按對(duì)稱建立如圖所示坐標(biāo)系，E（-c,0）為左焦點(diǎn)，

E：（i=123,4,5,6,7）均勻?qū)ΨQ分布在上半個(gè)橢圓弧上，RE為琴弦，記口尸|EE|（i=123,4,5,6,7）,數(shù)

列｛%｝前幾項(xiàng)和為與，橢圓方程為￡+%=1,且a+64c=4ac,則S7+a7-128取最小值時(shí),橢圓的

ab-

離心率為.

3.（2023?江蘇南通?二模）已知點(diǎn)P在拋物線C：，=2p；r（p>0）上，過(guò)P作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為

點(diǎn)R為。的焦點(diǎn).若NHPF=60°,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,則p=.

4.（2023?湖北?荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（l,a）,3（3,a+4），若圓x2+y2^

4上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,使得口口。的面積為禽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

5.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線與拋物線娟=4c交于4,6兩

點(diǎn)，若M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）,則|K4『+|MB|2的最小值為.

6.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)M（l,2），若過(guò)點(diǎn)N（3,0）的直線小交圓C:（x-5）2+y2=6于AB兩

點(diǎn),則|蘇+加|的最小值為.

（2023?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中?？家荒＃┮阎獧E圓G與雙曲線G有共同的焦點(diǎn)片、月,橢圓G的離

心率為e1,雙曲線G的離心率為e?,點(diǎn)P為橢圓G與雙曲線C?在第一象限的交點(diǎn)，且5，

O

則J_+J_的最大值為

e】e2-----------

8.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AN經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（一6,0）及原點(diǎn)。，點(diǎn)P是圓N與圓M：/+（y—4）2

=4的一個(gè)公共點(diǎn),則當(dāng)AOPA最小時(shí)，圓N的半徑為.

9.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)“為拋物線娟=8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+（y-

4尸=5上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到9軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為..

10.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知0（0,0）、4（3,0）,直線I上有且只有一個(gè)點(diǎn)P

滿足|P*=2|PO],寫(xiě)出滿足條件的其中一條直線2的方程

解析幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

一、單選題

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1.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知橢圓E:%+點(diǎn)-9°）,直線-緊+a與橢圓E相切'則橢

圓E的離心率為（）

A工B—C-也D.冬

42c2

【答案】6

【分析】由橢圓E和直線y=+Q相切，聯(lián)立橢圓E和直線g=?1?￡+a的方程消y得到

（-^-a2+b2）a;2+a3x+a，—a2b2=0,令△=0,化簡(jiǎn)得到也?=[■，即可求解.

【詳解】由題意，聯(lián)立橢圓E和直線"=:2+a的方程得：b2x2+a2（^-x+Q"a2b\

整理得：卜2+a3c+a」a%2=0,

因?yàn)闄E圓E和直線"=[■2+。相切，

則A=（Q3>—4（：（?+62）（/—Q2b2）=0,

化簡(jiǎn)得：與=等，

a4

則橢圓E的離心率e=￡?=

a-14

故選：B.

2.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)”（一1,仍）作拋物線y2=2P認(rèn)p>0）的兩條切線，切點(diǎn)分別是4

B,若△M46面積的最小值為4,則0=（）

A.1B.2C.4D.16

【答案】B

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線4B的方程，將其代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出

\AB\的表達(dá)式，再利用點(diǎn)到直線的距離和三角形面積公式求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而求解即可.

【詳解】設(shè)若（為必）,口（％2,例）（%工。,％￡0）,以人為切點(diǎn)的切線斜率為fci,

則以4（刈,幼）為切點(diǎn)的切線方程為y—y\=k^x—x^,

22

與拋物線y=2PMp>0）聯(lián)立可得：k}y-2py+2py1—2k[pxl=0,

由A=0,即4/—8自0%+8k；06]=0>則4/—8自「%+8M優(yōu)=0,

即（2p-2k必y=o,解得.=JL,

V\

則以4%依）為切點(diǎn)的切線方程為g—yx=—（x一％J,即yxy-褶=p（x-xj,

所以y、y-2px}=p(x-xO，整理可得yxy=p(x+為),

同理B(X2,的)為切點(diǎn)的切線方程為y2y=p(x+Xi),

因?yàn)辄c(diǎn)”(一1,的)在切線%y=p(;r+g)和陰y=p3+g),

所以沙必=p(g-l),yity2=p(g—l)，

故直線AB的方程為：yny=p(x-1),

聯(lián)立[嚶；以工一“‘消去小得才—2%-2P=0.△=4垢

[y=2P6,

由韋達(dá)定理，得%+陰=2%以加=一2小于是|4B|=+￡

點(diǎn)”到直線AB的距離：4=粵粵,

yo+p

于是的面積+部.+明=呼二

當(dāng)坊=0時(shí)，^MAB面積最小為2A/2萬(wàn)=4,p=2,

故選：B.

22

3.(2023?山東青島?統(tǒng)考一模)已知雙曲線Ct-4nig〉。力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，E,直線v

ab

=心￡與。的左、右兩支分別交于力，6兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則C的離心率為()

V3+1

B.3C.V3+1D.V5+1

【答案】C

【分析】聯(lián)立直線夕=1與C的方程，求出弦4B長(zhǎng)，由|4B|=|月同求解即得.

【詳解】顯然直線夕=代立與EE交于原點(diǎn)。，

由雙曲線對(duì)稱性知，若四邊形AFxBF2是矩形，則\AB\-|EE|,

設(shè)點(diǎn)4(21，%),B(C2,92),而E(-c,0),E(c,0)

y=V3x,,

由{/娟_i得(b2—3a2)/=aV，解得a?i=--/:,血=::,,

萬(wàn)一瓦=1Vb2-3a2Vb2-3a-

則|AB|=J1+(,)??|x,-x2|=—j===,

3-

則，曲,=2c,化簡(jiǎn)得6a2b2—3/=0,即(耳丫-6--^--3=0,-^->0,

Vfe2-3a2'a"a2a2

解得與'=3+2-,

則e=￡■

故選：C.

4.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，6鳥(niǎo)分別為雙曲線一冬=1（。>0,6>0）的

aO

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若APOE是面積為24的正三角形，則〃的值為（）

A.2B.6C.4V3D.8-473

【答案】。

【分析】由三角形的面積公式得到c,再由正三南形得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入?？家痪?1

（a>0,b>0）中，即可得到b2.

【詳解】△POE是面積為2―的正三角形，即S=^xcxcXsin60°=2存所以。2=8,c=2?

所以△POE的邊長(zhǎng)為20高為

所以「（方,通），所以§—/=L又"+/=8,所以b'2=4V3,

ab

故選：C.

5.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C：g—娟=1的左焦點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)R的直線，與雙曲線。交于

O

4B兩點(diǎn)，若過(guò)4B和點(diǎn)Al（J7,0）的圓的圓心在y軸上,則直線Z的斜率為（）

A.土半B.±V2C.±1D.±-1

【答案】4

［分析］利用韋達(dá)定理結(jié)合PG_L可得t=手」,再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示得結(jié)合/=不

77T—3

+（5.日）2即可求直線1的斜率.

【詳解】由題意可知：網(wǎng)一2,0）,設(shè)4/1,幼），「（電,紡），的的中點(diǎn)為尸，

過(guò)點(diǎn)A,B,M的圓的圓心坐標(biāo)為G（0,i）,則|GM|=W+7=r,

由題意知：直線AR的斜率存在且不為0,設(shè)直線力B的方程為：=—2,

x=my-2^

/22_1化簡(jiǎn)整理可得，（62—3）/一4??網(wǎng)+1=0,

{3一y=1,

則m2-3￥（）,△=16m2-4（m2-3）=12m2+12>0,

,4m1

%+&=-rr必如=.5二，

m--3m-3

故AB的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp-"整=..乎-，橫坐標(biāo)xp-myp-2=一—,

zm~—3m—3

則網(wǎng)亳,令0,

由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，

2m

8m

所以kpG=q沿---=-m,化簡(jiǎn)整理可得：/①,

-0m2—3

則圓心G(0,t)到直線AB的距離<1—1.=~,

VI+m2

2兩1+病)

22

|AB|=Vl+mJ(UI+92)2—4夕1-=V1+m/卜呼弋;

|m2-3|

3(m2+l)2

(/一3)2'

64病(工一2)-3(1+病》

將①代入可得:

(m2—3)21+m2(m2—3)2

,MW36館2+363(1+巾2)2

(m2-3)2(m2-3)2(m2-3)2,

整理可得：m1—5m2+6=0,則(m2—2)(77?-3)=0,

因?yàn)閙2—3W0,所以m2-2=0,解得

V2

：.k=—^+

m2,

故選:力.

6.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知橢圓C§+%=l（a>9。）的兩個(gè)焦點(diǎn)為凡段過(guò)月作直線與橢

圓相交于兩點(diǎn)，若|月用|=2|四|且|3E|=|AB|,則橢圓的。的離心率為（）

A.YB.yC.空D.乎

O~rOO

【答案】。

員F

【分析】由題意設(shè)|BJ]|-X,由橢圓的定義可求出4=會(huì)再由cos/舁4￡=MEF+MEF—IE

2\AF,\-\AF^

MHUME「一

代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

2\AB\-\AR\

【詳解】因?yàn)檫^(guò)E作直線與橢圓相交于45兩點(diǎn)，若|力用=2|班1且|BE|=|AB|,

設(shè)網(wǎng)I=x,\AF\\=2\BF]\=2x,\BF^=\AB\=3x,

=,

由橢圓的定義知:\BF{\+\BF2\=x+3x2a,解得:x=y,

\AF{\+|4期=2an\AF,\=2a-2--^=a,

所以\AF>\=|^|=a,\BF,\=^-,\BF,\=^,\AB\=等,

M網(wǎng)2+MEF—用\AB\2+\AF\2-\BF\2

所以cos/-F\AF>=22

2|"|?|加2\AB\■\AF>\

,a2+a2-4c2_（等）/2-（等y麗a2-2c2_1

則2a.a-2.粵.a，則一亍

_c_V3

e-—于

故選:C.

1.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知拋物線的方程為c2=4y,過(guò)其焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于M、N兩

點(diǎn)，且也出|=5,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MOF的面積與△NOR的面積之比為()

A.B.--C.5D.4

54

【答案】。

【分析】通過(guò)拋物線的定義及解析式可得”的坐標(biāo)，從而求得N的坐標(biāo)，將面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系即

可.

【詳解】由解析式可知：焦點(diǎn)尸(0,1),準(zhǔn)線為？=-1,

設(shè)河（即仇）、陽(yáng)的,％）,八而2/=%7+1,==5,%=4,電=±4

由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)M在第一象限，則M(4,4)

OGEI

聯(lián)立卜02+1—4=0,Xfx=—4,即x=—1,所以且以。，--------------=4

14y=rr22

S&vo尸OF-\X2\

故選：D

8.(2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若圓(工-a)'+(y-3尸=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2r—y+1

=0的距離為弱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

_1317

A.（-8,一_y-）U(學(xué)，+8)

FF

c-（-°°,-y）u|3，+8)D.（

2'2）

【答案】。

【分析】將圓(x—a)2+(y-3尸=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2c—y+1=0的距離為，轉(zhuǎn)化為圓心到直線

的距離從而利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閳A的方程為(工一a產(chǎn)+⑨-3)2=20,所以圓心為(a,3),半徑為24，

又圓(z—a)2+(y-3)2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線24一夕+1=0的距離為小，

所以圓心到直線24一y+1=()的距離dVV5,

所以「2am21<75,即12a-2|V5,得到一葺VaV1

V5NN

故選：D.

9.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)在平面直角坐標(biāo)系上，圓C:x2+(y—1)2=1,直線y=aQ+1)與圓。交于4,

B兩點(diǎn)，a?(0,1),則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，a=()

A.'jB.V3—1C.2—V3D.。

【答案】。

【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式表示出圓心到直線距離d,并由a的范圍確定d的范圍；利用垂徑定理

表示出|/田|,由S.ABC=^\AB\-d=歷=乃，根據(jù)基本不等式取等條件可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

［詳解】由圓的方程知：圓心。(0,1),半徑r=l,

則圓心。到直線夕=a(a:+l)的距離d=?=J1-----冥==/1-2,

Va2+1Va'+lVa+17a+1

1

VaG(0,1),???Q+方>2,??.〃￡(0,1),

V\AB\=2“—d?=2A/1-d2,

???S^BC=j\AB\-d=dVl-d2=Vd2(l-rf2)4二，)’制(當(dāng)且僅當(dāng)d=空時(shí)取等號(hào)),

則當(dāng)AABC的面積最大時(shí)，?，又aC(0,1),解得：a=2—V3.

Va2+12

故選：C.

2/

10.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)已知橢圓E：鼻+%=l(a>b>0)的兩條弦AB,CD相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P在第

erb~

一象限)，且43d.①軸，CD_Lg軸.若|P4|:|尸B|:|尸C|：|PQ|=1：3：1:5,則橢圓E的離心率為()

B.手c2V5D回

A基C

A。55,55

【答案】B

【分析】設(shè)川=3進(jìn)而得ABC,。的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性得4(3Lt),C⑵,2t),再代入橢

圓方程整理得￡?="!■，最后求解離心率即可.

a~5

【詳解】解:設(shè)=九則A(m,n+-3t),C(m+t,n),D(m—5t,n),

由題知力,石關(guān)于力軸對(duì)稱，C,D關(guān)于g軸對(duì)稱，

所以九+力+九一31=0,館+力+m—51=0,即n=力，771=21,

所以。(3力。,4(21,2七)，

4,4

所以a-b~—十—

4t24_1'?Q2b22

方+歹一1a小

43

所以二=',即4=

b~a~5

所以橢圓E的離心率為e=—=噌

故選：B

11.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線一工■=l（a>&>0）和橢圓岑+《=1的右焦點(diǎn)分別為

abab~

，A（-a,0）,B（a,0）,P,Q分別為a，G上第一象限內(nèi)不同于B的點(diǎn)，若數(shù)+屈=

1（3+須）,（共6尺），河=代蠻，則四條直線PAPBQ4QB的斜率之和為（）

A.1B.0C.-1D.不確定值

【答案】6

"■>,''>????--??-->

【分析】設(shè)。為原點(diǎn)，則PA+PB=2PO,QA+QB=2QO,結(jié)合題意可得P。=AQO,即可得到PA

+PB^A（QA+的.由丙=V3QF1可得口騫=瓜、進(jìn)而得到<?=2b2.設(shè)P（電，幼）,Q（g,紡），分

I

fx?-262=2婚

別代入雙曲線G和G方程,可得\x2—2b2=-2y2，再表示出Ml+kpB和七人+上孫進(jìn)而求解.

【詳解】設(shè)O為原點(diǎn)，則數(shù)+屈=2可，9+演=2前,

而四+而=，（分+9）,得用=』&,

所以。、P、Q三點(diǎn)共線.

因?yàn)榭?V3QF，所以PR〃QR'、且|PR|=V3\QF'\,

=QP|=|PF|=|OF|=售

得力

_\OQ\~IQXI-\OF'\~

2

所以然與=3,即（J2=2b.

a—b~

設(shè)Pg%）,Q（如協(xié)）,分別代入雙曲線G和c2,

X,

=12

-2b2x1—2h=2g；

則.，即

4.舄—2/=—2*'

W+=1

=2孫幼=41

所以如

+OXi-262Vi

2g劭=g

曷-2b2y-i

因?yàn)镺、P、Q三點(diǎn)共線,

所以包=包，

V\紡

即kpA-Vkpg+kq^+kQB—0.

故選：B.

12.（2023?江蘇宿遷?江蘇省沐陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光

線,經(jīng)過(guò)橢圓反射后,反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓+點(diǎn)=l（a>b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為E，E，過(guò)H的直線與橢圓E交與點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)力作橢圓的切線Z,點(diǎn)口關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)

3a舊劇S&VM8

為M,若［45|,則)

2'\MFX\SA朋及

-9

A.Cc，5Df

【答案】A

【分析】結(jié)合題目所給信息及圖形可得\AB\=\AM\，后由橢圓定義及條件可得舊月|=4?，|4月|=

O

7alam-5a_\AB\\AM\

\AFl\---.取后由三------?人口||八可付合來(lái)?

66S》F向\AF}\\AF^

【詳解】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)共線.

設(shè)|啊|=%,則\BFl\=2a-x>\MFX\=\AF}\+\MA\=\AF,\+\AF2\+\BF,\=2a+x.

故^^=先^=告,解得.又半，所以|四=牛,l"l=華

\MF\\2a+x73266

圻以Sw_訓(xùn)-in/WlB__（粵）2_

pjTY^\--^―-----------------------------------------------,,—-8-1-.

SAAER網(wǎng)sin（L/M4B）M引力片x35'

故選：A.

二、多選題

1.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線沙=|ln引兩條互相垂直的切線八、3切點(diǎn)為B、P,

（B、2不重合）,設(shè)直線4、為分別與夕軸交于點(diǎn)4、口,則（）

A.R、2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值B.直線RE的斜率為定值

C.線段的長(zhǎng)度為定值D.A4np面積的取值范圍為（0,1）

【答案】BCD

[分析]根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐

標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得

45,P的坐標(biāo)，可得答案.

X>1

In翁1,t

【詳解】由函數(shù)y=|lnc|=，則g=

—In/,0<x<1-7,0<x<1

設(shè)E（孫幼），2（辦2,例），

當(dāng)0＜電＜1,1vg時(shí)，由題意可得，一」-?」-=—1,化簡(jiǎn)可得為g=l,符合題意；

傷力2

當(dāng)為,gG（0,1）時(shí)，由題意可得，=1，化簡(jiǎn)可得％@2=-1,顯然不成立

當(dāng)xlfx2^（1,+°°）時(shí)，由題意可得，---L=l,化簡(jiǎn)可得以出=1,顯然不成立；

X2

]

=

對(duì)于4?/i?/2_lnX]lnx2=-Inxjn—=（In①故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,直線的斜率a=j=二些二叵=止陛=o,故B正確；

g一±2

X1-X2x}-x2

對(duì)于c,易知直線八:夕=--Lr+yi+l,直線/2：夕=」-2+/一1,

2/j①2

令4=0,則y=4+1,即4(0,仇+1)，同理可得5(0,7/2-1),

\AB\—|%+1—佻+1|=|2—huci—山山=|2-lngg|=2,故C正確;

y=~x+yi+ly=---a7—In^i+l

2XIX2xi

對(duì)于。，聯(lián)立1,,整理可得■1，解得與2

y=—x+y--ly=—x+lnx-2-1Xi+xxl+1'

刀222

2x2(1—力)2

令/⑸=其中’C(OJ),則/⑸=

x2+l'

所以，函數(shù)f3）在（o.i）上單調(diào)遞增，則當(dāng)工c（o,i）時(shí)j?G（0,1）,

2電

所以，SMBP=-^\^B\-\xP\=G（0,1）,故。正確.

/+1

故選：BCD.

2.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)4（-1.0）,5（1,0），點(diǎn)P為圓C：x2+y2-6x-8沙+17=0上的動(dòng)點(diǎn)，則

A.△R4R面積的最小值為8—4方B.AP的最小值為2，

C./H4R的最大值為基D.AB-AP的最大值為8+4V2

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)M時(shí)，△P4B面積的最小值，利用三角形面積公式；對(duì)于B,當(dāng)

點(diǎn)P動(dòng)到R點(diǎn)時(shí)，4P取到最小值，通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于。，當(dāng)AP運(yùn)動(dòng)到與圓。相切

時(shí)，NPAB取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；對(duì)于。，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求

解.

【詳解】a52+y2—6a?—8y+17=0<=>(x—3)2+(y-4)2=8,

圓。是以(3,4)為圓心，2U為半徑的圓.

AO\BNTx

對(duì)于AAPAB面積的最小值為點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)M時(shí)，外產(chǎn)4-2V2,

S"=y-AB-y,w=yx2x(4-272)=4-2V2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接A。交圓于R點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到R點(diǎn)時(shí)，AP取到最小值為AC—RC=V(3+1)2+42-

2A/2=2V2,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于。，當(dāng)AP運(yùn)動(dòng)到與圓。相切時(shí)，NP4B取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為Q,sin/C4Q=￥^=爭(zhēng)胃=

ZPAB=NC4Q+4CAN=需,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于2?喬=|荏川萬(wàn)劇?cos/PAB,當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到S點(diǎn)時(shí)，|喬|?cosNP⑷3取得最大值，即福

在荏上的投影，期.Q=\AB\-|AP|-cosZPAB=|AB|-|A/V|=2X(1+3+2V2)=8+4V2,故

選項(xiàng)。正確；