2024學(xué)年南陽市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末達標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024學(xué)年南陽市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末達標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．12．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關(guān)系為()A． B．C． D．4．已知向量，（其中為實數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，，…（為地，為地）．從地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，，…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為．則的表達式為（）．A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．7．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．58．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．69．若函數(shù)函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．8011．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．3012．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．14．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實數(shù)的取值范圍是__________．15．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.16．已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數(shù)取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明．18．（12分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.19．（12分）已知函數(shù)（1）若，不等式的解集；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.21．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對任意，都有，求的最大值．22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進行判斷,

④根據(jù)點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【題目詳解】①若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當(dāng)，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【題目點撥】本題考查兩個隨機變量的相關(guān)性，擬合性檢驗，兩個線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

求得定點M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【題目詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動點M滿足=2，則=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【題目點撥】本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題．3、B【解題分析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【題目詳解】如圖，，設(shè)為的中點，為的中點，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【題目點撥】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).4、A【解題分析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【題目詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點撥】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.5、D【解題分析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)的綜合運算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，然后由模的定義計算模．【題目詳解】，．故選：D．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【題目詳解】由題意．故選：D．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8、D【解題分析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點，即可求出到的距離．【題目詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【題目點撥】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題．9、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【題目詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點．記，則過原點作的切線，設(shè)切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.10、D【解題分析】

根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：當(dāng)時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當(dāng)時，所以項系數(shù)為故選：D【題目點撥】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構(gòu)成.【題目詳解】由已知，，因為展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【題目點撥】本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應(yīng)寫準確，本題是一道基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【題目詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【題目點撥】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角．【題目詳解】，故，【題目點撥】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結(jié)構(gòu)類比，方法類比等．14、【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；當(dāng)時，，又，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.15、【解題分析】

直接計算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【題目詳解】，故，當(dāng)時，，故，解得.故答案為：；.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.16、8【解題分析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當(dāng)經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，（2）函數(shù)存在唯一零點.【解題分析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點.（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).【題目詳解】所以直線方程為即，恒過點將代入直線方程，得考慮方程即，等價于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，即函數(shù)存在唯一零點.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理，屬于難題.18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）取中點，連，可得，結(jié)合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF，，求出體積，建立的方程，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形，，，平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，，為中點，，平面，平面平面，；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長為，則，，，，，所以菱形ABCD的邊長為.【題目點撥】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，體積問題要熟練應(yīng)用等體積方法，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）依題意可得，再用零點分段法分類討論可得；（2）依題意可得對恒成立，根據(jù)絕對值的幾何意義將絕對值去掉，分別求出解集，則兩解集的并集為，得到不等式即可解得；【題目詳解】解：（1）若，，則，即，當(dāng)時，原不等式等價于，解得當(dāng)時，原不等式等價于，解得，所以；當(dāng)時，原不等式等價于，解得；綜上，原不等式的解集為；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集為，則解得，故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【題目詳解】解法一：（1）當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)時，，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.當(dāng)時解法一：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，因為成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因為，，，所以，，又因為，所以，所以，原不等式得證.補充：解法三：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【題目點撥】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.21、（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達求解最大值即可.【題目詳解】解：,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；,或,若,因為,故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因為,所以,由在上單調(diào)遞增,綜上．時,,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)