核心素養(yǎng)視角下的概念教學(xué)

核心素養(yǎng)視角下的概念教學(xué)——函數(shù)的零點(diǎn)課堂教學(xué)與反思高俊翔（上海市南洋模范中學(xué)，上海200032）摘要：概念教學(xué)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑之一.本文以“函數(shù)的零點(diǎn)”概念課出發(fā)，在“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生”的基礎(chǔ)上，從核心素養(yǎng)的視角來談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)概念課的設(shè)計(jì)、感悟與思考.關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；核心素養(yǎng)；函數(shù)零點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合引言數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[1].筆者基于APOS理論對(duì)高中數(shù)學(xué)概念課進(jìn)行了研究，明晰了概念學(xué)習(xí)要經(jīng)過“活動(dòng)”（概念情境引入）、“過程”（概念定義形成）、“對(duì)象”（概念本質(zhì)理解）和“圖式”（概念系統(tǒng)聯(lián)結(jié)）等四個(gè)階段，同時(shí)在研究的過程中深刻體會(huì)到概念課對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的價(jià)值，也嘗試在“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生”[2]的基礎(chǔ)上，從核心素養(yǎng)的視角來設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)概念課.“函數(shù)的零點(diǎn)”一課教學(xué)內(nèi)容選自上海教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè).函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在經(jīng)歷了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的研究過程之后，函數(shù)的應(yīng)用更加突出了函數(shù)與方程的相互關(guān)系，這是“二期課改”教材中力圖潛在地滲透但沒有明確指出的.隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的調(diào)整，現(xiàn)有教材也將這部分內(nèi)容作為一個(gè)重要組成部分，試圖通過精心的選擇內(nèi)容，使學(xué)生明白如何從分析的角度審視方程與不等式.在函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的轉(zhuǎn)換過程中，逐步滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，以此幫助學(xué)生通過直觀想象進(jìn)一步領(lǐng)悟函數(shù)的本質(zhì)，提升學(xué)生核心素養(yǎng).本文以“函數(shù)的零點(diǎn)”一課的設(shè)計(jì)和教學(xué)為例，借此談?wù)劯拍钫n教學(xué)的設(shè)計(jì)、感悟與思考.教學(xué)過程舊知新問、形成概念首先引導(dǎo)學(xué)生完成表格的填寫，利用之前學(xué)過的函數(shù)、、，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的解與函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)，從而并引出函數(shù)零點(diǎn)得概念.從而完成本課的第一個(gè)核心任務(wù)：發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)的意義和形的特征.師：我們之前學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和函數(shù)的一些性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值.那么我們?cè)诰邆淞诉@些知識(shí)之后，我們可以試著用函數(shù)的觀點(diǎn)來看待一些問題了.接下來請(qǐng)同學(xué)們來求解下表中的方程，并畫出函數(shù)的圖像函數(shù)方程函數(shù)的圖像師：從方程的根和對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像上，同學(xué)們能夠發(fā)現(xiàn)什么關(guān)聯(lián)呢？生：對(duì)比方程的根，就是相應(yīng)函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)為“活動(dòng)”和“過程”階段.在不等式部分學(xué)生已了解二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，而對(duì)于利用函數(shù)來研究不等式，雖然學(xué)生已有這樣的經(jīng)歷，但以形助數(shù)的意識(shí)需要在不同的階段進(jìn)行強(qiáng)化、滲透，循序漸進(jìn).因此，基于學(xué)生的認(rèn)知，以熟悉的函數(shù)為例，在表格的完成過程中體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、圖象交點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而抽象概括給出一般函數(shù)零點(diǎn)定義，體會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)來引領(lǐng)代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)路徑，為后續(xù)一般方程根的探究求解提供了思路.運(yùn)用概念、建立關(guān)聯(lián)在學(xué)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解了方程的根和函數(shù)與軸交點(diǎn)的關(guān)聯(lián)之后，通過運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的概念，來求解方程和不等式，進(jìn)一步建立方程、不等式和函數(shù)之間的緊密聯(lián)系.例1：解方程：生1：利用初中學(xué)習(xí)的因式分解來求解方程，將方程轉(zhuǎn)化成，再進(jìn)行因式分解，得到，即方程的解為師：還有其他什么解法嗎？生2：可以從函數(shù)的角度來看，記對(duì)于任意給定的，當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得因此，故函數(shù)在定義域上是一個(gè)嚴(yán)格增函數(shù)又由，所以方程的解為師：有了例題1的幫助，我們能否解決例題2呢？例2：解不等式生2：借用問題2的過程，記對(duì)于任意給定的，當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得因此，故函數(shù)在定義域上是一個(gè)嚴(yán)格增函數(shù)又由，可知在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立因此不等式的解集為設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)為“對(duì)象”的初級(jí)階段.在理解零點(diǎn)概念的基礎(chǔ)上給出例1，生1所給出是初中階段學(xué)習(xí)的因式分解方法，并未將方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)合起來.而生2是將方程與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的代數(shù)理解，即方程的解.并從函數(shù)的角度出發(fā)，利用了我們之前學(xué)過的函數(shù)的單調(diào)性來幫助求解方程.之后，進(jìn)一步用例2，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)幾何屬性，為后續(xù)“對(duì)象”的進(jìn)階階段做好充分的鋪墊工作.轉(zhuǎn)化問題、理解本質(zhì)通過將例2進(jìn)行進(jìn)一步變形為更加復(fù)雜的情況，讓同學(xué)們逐步引導(dǎo)學(xué)生尋找出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的方法，即函數(shù)零點(diǎn)存在定理.同時(shí)，借助學(xué)生自問自答的幾點(diǎn)思考問題，進(jìn)一步清晰零點(diǎn)存在定理在使用中所需要注意的條件.例3：方程是否有整數(shù)解？說明理由師：顯然這里是一個(gè)方程是否有整數(shù)解的問題，利用上面“方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)”的關(guān)聯(lián)，我們能否把這個(gè)問題，轉(zhuǎn)換成到函數(shù)的角度去思考呢？生：記對(duì)于任意給定的，當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得因此，故函數(shù)在定義域上是一個(gè)嚴(yán)格增函數(shù)又由，由單調(diào)性可知，當(dāng)；而當(dāng)因此，任一整數(shù)一定不是函數(shù)的零點(diǎn)，從而方程沒有整數(shù)解.師：很好，那么方程是否有實(shí)數(shù)解呢？生：函數(shù)在定義域上是一個(gè)嚴(yán)格增函數(shù)，且，，所以函數(shù)一定有零點(diǎn)，且在之間師：請(qǐng)同學(xué)們看一下在零點(diǎn)存在定理的敘述，在我們使用這個(gè)定理時(shí)有什么是需要注意的地方嗎？請(qǐng)同學(xué)們來看一下一下對(duì)零點(diǎn)存在定理的幾個(gè)思考？思考1：如果在區(qū)間上，函數(shù)的圖像是一段連續(xù)曲線，并且，那么在區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎？思考2：如果在區(qū)間上，函數(shù)的圖像不是一段連續(xù)曲線，并且，那么在區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎？思考3：如果在定理中加入什么條件，則在區(qū)間僅存在一個(gè)零點(diǎn)？思考4：如果在區(qū)間上，函數(shù)的圖像是一段連續(xù)曲線，且在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，那么是否一定有嗎？思考5：如果在區(qū)間上，函數(shù)的圖像是一段連續(xù)曲線，且，那么在區(qū)間上就沒有零點(diǎn)嗎？設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)為“對(duì)象”的進(jìn)階階段.通過問題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生找到總結(jié)找尋一般函數(shù)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的方法，即函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并加以完善.同時(shí)追問幾個(gè)思考，明晰了定理的充分不必要性.從代數(shù)（方程的根）、幾何（函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）兩個(gè)角度加深對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的貫通，也就為方程根的求解提供了新的路徑.概念應(yīng)用、建立聯(lián)系在了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理的基礎(chǔ)上，引入方程的根的近似值這一問題，促使學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)存在定理作出進(jìn)一步的思考，逐步形成二分法的思想，從而對(duì)前面的知識(shí)學(xué)習(xí)加以鞏固.師：方程的解是離4近，還是離5近呢？生：利用函數(shù)，通過的正負(fù)號(hào)，可以作出判斷.師：那么能否用這個(gè)方法解決例題4呢？例4：解方程（精確到）生：在確定了區(qū)間上一定有零點(diǎn)的前提下，將區(qū)間一分為二，這兩部分中總有一個(gè)含有零點(diǎn)，而含有零點(diǎn)的區(qū)間的長(zhǎng)度變?yōu)樵鹊囊话?反復(fù)執(zhí)行這種“一分為二”的操作，就能將零點(diǎn)限制在一個(gè)足夠小的區(qū)間中，從而容易求得其近似值了.步驟144.55（-27）（1.125）（36）244.254.5（-27）（-13.734）（1.125）34.254.3754.5（-13.734）（-6.5097）（1.125）44.3754.43754.5（-6.5097）（-2.7444）（1.125）54.43754.468754.5（-2.7444）（-0.8228）（1.125）學(xué)生完成二分法表格，并求出近似解.設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)為“圖式”階段.經(jīng)過一定時(shí)間的學(xué)習(xí)，回到方程的近似解的問題上，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)法受限的情況下，轉(zhuǎn)變思維角度，進(jìn)一步利用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，逐步形成將區(qū)間“一分為二”的操作，完成二分法的解題思路.通過這一過程的學(xué)習(xí)，將方程的解，不等式的解集，函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行了更為深入的聯(lián)系，在學(xué)生的頭腦中逐步形成綜合的心理圖式，也為后續(xù)復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)與方程的根作好充分的鋪墊.課堂小節(jié)、提高認(rèn)識(shí)師：今天我們從一些具體的函數(shù)，方程和函數(shù)的圖像入手，了解了方程的解和函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，知道了函數(shù)零點(diǎn)的定義.了解了零點(diǎn)，它既有數(shù)的意義，又有形的特征.然后，我們又用函數(shù)的觀點(diǎn)來求解了方程和不等式，并在理解了函數(shù)零點(diǎn)存在定理的基礎(chǔ)上，又運(yùn)用了二分法來解決了函數(shù)的近似零點(diǎn).一個(gè)概念、一個(gè)定理和一種方法：函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)存在定理和二分法.兩種角度：函數(shù)零點(diǎn)，即方程的根，函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).兩種思想：函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.設(shè)計(jì)意圖：組織學(xué)生從知識(shí)和方法上進(jìn)行小結(jié)，提升學(xué)生對(duì)新知總結(jié)性的全面認(rèn)識(shí)，可以有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)生成的來龍去脈和其中蘊(yùn)含的思想方法，也能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的更好地理解.教學(xué)反思（一）理解數(shù)學(xué)，找尋核心素養(yǎng)固著的載體數(shù)學(xué)學(xué)科的終極培養(yǎng)目標(biāo)是“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”，而課程標(biāo)準(zhǔn)則把“三會(huì)”具體化為六個(gè)核心素養(yǎng)，即“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”.而要能夠把核心素養(yǎng)落到實(shí)處，必須通過有機(jī)的載體加以滲透，因此，理解教材的編寫意圖顯得尤為重要，只有做到了這一點(diǎn)，才能進(jìn)一步思考“如何用好教材教”.作為概念課，則是核心素養(yǎng)固著的有機(jī)載體，在本節(jié)課函數(shù)零點(diǎn)的概念生成、函數(shù)零點(diǎn)存在定理的歸納和完善過程中，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等能力.只有意識(shí)到這些知識(shí)和方法承載的育人價(jià)值，才能讓活動(dòng)組織和問題凝練得以進(jìn)一步實(shí)施.（二）理解教學(xué)，組織核心素養(yǎng)落實(shí)的活動(dòng)基于對(duì)教材核心素養(yǎng)角度的理解，教師需要進(jìn)一步梳理以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，組織學(xué)生能夠有效參與的教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生的主體性，借助獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維重點(diǎn)、難點(diǎn)的突破，感悟知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想和方法，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的和諧統(tǒng)一，在這個(gè)統(tǒng)一體中努力實(shí)踐數(shù)學(xué)思想的感悟與內(nèi)化[3].本節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)概念并不是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)零點(diǎn)概念所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想，以及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的生成與完善，才是學(xué)生思維和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步提升和突破的難點(diǎn).因此教學(xué)過程中教師以學(xué)生已有的知識(shí)和能力為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，組織構(gòu)建知識(shí)的有機(jī)整體，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫，使收獲的知識(shí)更加全面.（三）理解學(xué)生，凝練核心素養(yǎng)提升的問題發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，最終的手段是問題的設(shè)計(jì)和解決，教師要結(jié)合對(duì)于核心素養(yǎng)的理解設(shè)計(jì)合理的情境和問題，讓學(xué)生有解決問題的欲望和興趣；能讓學(xué)生選擇合理的方法解決問題，在此過程中實(shí)現(xiàn)方法的理解和掌握；能在解決問題后進(jìn)行反思總結(jié)，發(fā)展理性思維，提升思維品質(zhì).本節(jié)課在學(xué)生函數(shù)零點(diǎn)概念基本理解的基礎(chǔ)上逐步通過例題的設(shè)計(jì)，在解決問題的過程中逐步強(qiáng)化了對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的雙重理解，即代數(shù)和圖形，建立了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，同時(shí)在利用圖形方法解決過程中，通過不