2016版步步高高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略全國(guó)通用文科配套課件專題函數(shù)導(dǎo)數(shù)第3講

第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考真題體驗(yàn)熱點(diǎn)分類突破高考押題精練欄目索引高考真題體驗(yàn)1

2

3

41.(2015·陜西)設(shè)f(x)＝x－sin

x，則f(x)(

)A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)1

2

3

4解析

f(x)＝x－sin

x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin

x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).又f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，所以f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，故選B.答案B1

2

3

42.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是(

)A.(2，＋∞)C.(1，＋∞)B.(－∞，－2)D.(－∞，－1)解析

f′(x)＝3ax2－6x，當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0；1

2

3

4x∈(0，2

時(shí)，f′(x)<0；3)32

2

5x∈(

，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f(3)＝9>0，則f(x)的大致圖象如圖1所示.不符合題意，排除A、C.圖11

2

3

4當(dāng)a＝－4時(shí)，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，3則當(dāng)x∈(－∞，－3

時(shí)，f′(x)<0，22)x∈(－3，0)時(shí)，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，4注意f(0)＝1，f(－3

＝－5，則f(x)的大致2)圖象如圖2

所示.不符合題意，排除D.答案

B圖21

2

3

43.(2014·遼寧)當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[－5，－3]

B.[－6，－98]C.[－6，－2]D.[－4，－3]解析

當(dāng)x＝0時(shí)，ax3－x2＋4x＋3≥0變?yōu)?≥0恒成立，即a∈R.1

2

3

4當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，ax3≥x2－4x－3，a≥x2－4x－3x3，∴a≥

x2－4x－3x3max.設(shè)φ(x)＝x2－4x－3x3，φ′(x)＝(2x－4)x3－(x2－4x－3)3x2x61

2

3

4＝－x2－8x－9(x－9)(x＋1)＝－

>0，x4

x4∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，∴a≥－6.當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，a≤x2－4x－3x3，∴a≤x2－4x－3x3

min.仍設(shè)φ(x)＝x2－4x－3x3，φ′(x)＝－(x－9)(x＋1)x4.1

2

3

4當(dāng)x∈[－2，－1)時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，φ′(x)>0.∴當(dāng)x＝－1時(shí)，φ(x)有極小值，即為最小值.min而

φ(x)

＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a≤－2.綜上知－6≤a≤－2.答案

C1

2

3

44.(2013·安徽)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為(A

)A.3

B.4

C.5

D.6解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同兩根，當(dāng)f(x1)＝x1<x2時(shí)，作y＝x1，y＝x2與f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三個(gè)不同交點(diǎn).即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三個(gè)不同實(shí)根.考情考向分析導(dǎo)數(shù)的意義和運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的一個(gè)熱點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見(jiàn)題型.熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一

導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的不同.例1

(1)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a＝

1

.解析

f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))處的切線方程為y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).將(2,7)代入切線方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線l與直線x－6y－7＝0垂直，則直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的B.3

C.9

D.12面積為(

B

)A.1解析

f′(x)＝3ax2＋3，由題設(shè)得f′(1)＝－6，所以3a＋3＝－6，a＝－3.所以f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切線l的方程為y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6.所以直線l

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝12×1×6＝3.選B.思維升華求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間

的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率

之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.跟蹤演練1在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，設(shè)A

是曲線C1：y32＝ax

＋1(a>0)與曲線C

：2

2521x

＋y

＝ 的一個(gè)公共點(diǎn)，若

C

在A

處的切線與C2

在A

處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a

的值是

.解析

設(shè)

A(x0，y0)，0則C1在A

處的切線的斜率為f′(x0)＝3ax2，2C

在A

處的切線的斜率為－1kOAx0y0＝－

，又C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直，x0y00所以(－

)·3ax

＝－02

301，即y

＝3ax

，3又ax

＝y(tǒng)

－1，所以0

0

032y

＝

，22

252代入

C

：x

＋y

＝ ，得01x

＝±2，0

01

32將

x

＝±2，y

＝ 代入

y3＝ax

＋1(a>0)，得

a＝4.

答案

4熱點(diǎn)二

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0.f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.例

2

(2015·重慶)設(shè)函數(shù)

f(x)＝3x2＋axex(a∈R).(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；解

對(duì)

f(x)

求

導(dǎo)

得

f′(x)

＝(6x＋a)ex－(3x2＋ax)ex

(ex)2＝－3x2＋(6－a)x＋aex，因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.3x2當(dāng)a＝0

時(shí)，f(x)＝

ex

，f′(x)＝－3x2＋6xex，故

f(1)＝3，f′(1)＝3，從而

f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程e

e為

y－3＝3

x－1)，化簡(jiǎn)得

3x－ey＝0.e

e((2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.解

由(1)知

f′(x)＝－3x2＋(6－a)x＋aex.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，6－a－

a2＋36

6－a＋

a2＋36由

g(x)＝0，解得

x1＝

6

，x2＝

6

.當(dāng)x＜x1時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù).6－a＋

a2＋36由

f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知

x2＝

6

≤3，2解得a≥－9，故a

的取值范圍為92–

，＋∞.思維升華利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題來(lái)求解.跟蹤演練

2

(1)函數(shù)

f(x)＝12xA.(－1,1]

B.(0,1]

C.[1，＋∞)2－ln

x

的單調(diào)遞減區(qū)間為(

B

)D.(0，＋∞)解析

由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又由

f′(x)＝x－1

0，解得

0<x≤1，x≤所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].(2)若函數(shù)

f(x)＝－13x3＋122x2＋2ax

在[3，＋∞)上存在單調(diào)遞4解析

對(duì)

f(x)求導(dǎo),得

f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－1

2＋1＋2a.2)9當(dāng)x∈2，＋∞)時(shí)，f′(x)的最大值為f′2

＝2＋2a.[3

(3)9令2＋2a>0，解得a>－19.9所以a

的取值范圍是(－1，＋∞).增區(qū)間，則

a

的取值范圍是

9

.(－1，＋∞)熱點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值若在x0附近左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.x2例

3

(2015·北京改編)設(shè)函數(shù)

f(x)＝

2

－kln

x，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；解

函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞).x2k由f(x)＝

2

－kln

x(k>0)得f′(x)＝x－x＝x2－kx.由f′(x)＝0解得x＝

k(負(fù)值舍去).f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：x(0，

k)k(

k，＋∞)f′(x)–0＋f(x)k(1－ln

k)2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

k)，單調(diào)遞增區(qū)間是(

k，＋∞).f(x)在

x＝

k處取得極小值

f(

k)＝k(1－ln

k)2.(2)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f(x)的最小值.解

由(1)知，當(dāng)

k> e即

k>e

時(shí)，f(x)

＝f(

e)＝e－k.min

2

2當(dāng)1≤k≤e即1≤k≤e時(shí)，f(x)min＝f(

k)＝k(1－ln

k)2.當(dāng)

k<1

即

0<k<1

時(shí)，f(x)min＝f(1)＝12.故函數(shù)

f(x)在[1，

e]上的最小值f(x)min＝12，k(1－ln

k)0<k<1，2，

1≤k≤e，ek2－2，k>e.思維升華求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào).若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來(lái)求解.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.跟蹤演練3

已知函數(shù)f(x)＝ln

x＋ax－a2x2(a≥0).(1)若x＝1是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；解

函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－2a2x2＋ax＋1x.因?yàn)閤＝1是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，解得a＝－1

舍去)或a＝1.2(經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以a＝1.(2)若f(x)<0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ln

x，顯然在定義域內(nèi)不滿足f(x)<0；當(dāng)a>0

時(shí)，令f′(x)＝(2ax＋1)(－ax＋1)x＝0，122a

a得x

＝－1

(舍去)，x

＝1，所以f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，1a)1a1(a，＋∞)f′(x)＋0–f(x)↗極大值↘max所以

f(x)

＝

1

＝1f(a)

ln

a<0，所以a>1.綜上可得a的取值范圍是(1，＋∞).高考押題精練1

2

3

41.已知曲線y＝ln

x的切線過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為(

)11A.e

B.－e

C.e

D.－e押題依據(jù)曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是高考考查的熱點(diǎn)，對(duì)于“過(guò)某一點(diǎn)的切線”問(wèn)題，也是易錯(cuò)易混點(diǎn).1

2

3

4解析

y＝f(x)＝ln

x的定義域?yàn)?0，＋∞)，0

0

0x0設(shè)切點(diǎn)為(x

，y

)，則切線斜率k＝f′(x

)＝

1

.x00

0∴切線方程為y－y

＝

1

(x－x

)，又切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，代入切線方程得y0＝1，則x0＝e，∴k＝

1

＝1e.x0答案

C1

2

3

42.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a

在x＝1

處取得極大值10，則a的值為(

)bA.－23B.－2C.－2

或－23D.2

或－231

2

3

4押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵.極值點(diǎn)、極值的求法是高考的熱點(diǎn).解析

由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即21＋a＋b－a

－7a＝10，解得3＋2a＋b＝0，

a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9，經(jīng)檢驗(yàn)a＝－6，b＝9滿足題意，故a＝－2b

3.答案

A1

2

3

43.已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)＝x2－aln

x在(1,2)上為增