高中數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理

高中數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．合情推理(1)歸納推理①定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的________對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出___________的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)．②特點(diǎn)：由_______到整體、由_______到一般的推理．全部一般結(jié)論部分個(gè)別第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)類比推理①定義：由兩類對(duì)象具有某些____________和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)．②特點(diǎn)：類比推理是由特殊到________的推理．(3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、______，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．類似特征特殊類比第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2．演繹推理(1)演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到_______的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷．特殊第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．歸納推理和類比推理的共同特點(diǎn)和區(qū)別是什么？【提示】

共同點(diǎn)：兩種推理的結(jié)論都有待于證明．不同點(diǎn)：歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2．演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？【提示】

演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式，是一種必然性推理．演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)含關(guān)系，因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但是錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．

第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是(

)A．3n－1

B．4n－3C．n2 D．3n－1【解析】

a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】

C第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】

“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷?shí)數(shù)a的取值范圍沒(méi)有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的．【答案】

A第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．【答案】

1∶8第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六5．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①由“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②由“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③由“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；④由“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．以上結(jié)論正確的是________．第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】

因?yàn)橄蛄窟\(yùn)算滿足交換律、乘法分配律，向量沒(méi)有除法，不能約分，所以①②正確，③錯(cuò)誤．又因?yàn)閨a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④錯(cuò)誤．【答案】

①②第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六【審題視點(diǎn)】

由fn(x)＝f[fn－1(x)]分別求f2(x)，f3(x)，然后觀察f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分子與分母，分母中常數(shù)項(xiàng)與x的系數(shù)相差為1，且常數(shù)項(xiàng)為2n.第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)利用函數(shù)定義，準(zhǔn)確求出f2(x)，f3(x)；(2)發(fā)現(xiàn)各式中分母x的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系．2．歸納推理的一般步驟(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)．(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題．第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六【思路點(diǎn)撥】

將等差數(shù)列中的乘法、除法分別類比成等比數(shù)列中的乘方、開(kāi)方．第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想．其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵．2．類比推理常見(jiàn)的情形有：平面與空間類比；低維與高維的類比；等差與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等．第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六 (2012·福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．本題求解的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)從特殊②式計(jì)算三角函數(shù)式的值；(2)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)中各個(gè)角之間的關(guān)系．2．題目著重考查歸納推理與演繹推理，通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的特征，抽象概括一般性結(jié)論；充分利用兩角和與差的三角公式進(jìn)行演繹推理，體現(xiàn)一般與特殊、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六演繹推理的一般模式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提．如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的．第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．2．合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明．3．演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性．第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六歸納推理、類比推理、演繹推理等問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，歸納、類比推理大多數(shù)出現(xiàn)在填空題中，為中、低檔題．演繹推理大多數(shù)出現(xiàn)在解答題中，為中、高檔題目．在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，背景新穎的創(chuàng)新問(wèn)題，常考常新，值得重視．第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六創(chuàng)新探究之九與歸納推理有關(guān)的創(chuàng)新題

(2012·湖北高考)傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)：(1)b2012是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)；(2)b2k－1＝________．(用k表示)第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六創(chuàng)新點(diǎn)撥：(1)將幾何直觀(三角形數(shù))，子數(shù)列和歸納推理交匯，背景新穎．(2)由歸納推理得到一般結(jié)論，再根據(jù)一般規(guī)律解決具體問(wèn)題．應(yīng)對(duì)措施：(1)根據(jù)三角形數(shù)，尋找an與an＋1的關(guān)系，可嘗試從簡(jiǎn)單情形入手進(jìn)行歸納猜想，疊加求出an，這是本題求解的關(guān)鍵．(2)尋找bk與an關(guān)系，從數(shù)列前若干項(xiàng)尋找，探求條件中包含的規(guī)律，從而使問(wèn)題得到解決．第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．(2012·江西高考)觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為(

)A．76

B．80C．86D．92第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】

由題意知|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8，|x