2024年廣東省師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024年廣東省師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)所有都成立，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．3．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．4．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．5．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．6．在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P，使得|PA|=2|PB|，則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．7．定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．10．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．8411．設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q12．若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則A．的值域?yàn)?B．為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)14．已知集合，，則________.15．某校為了解家長對(duì)學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級(jí)隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評(píng)分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評(píng)分分組合計(jì)高一1366420高二2655220根據(jù)評(píng)分，將家長的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分評(píng)分70分70評(píng)分90評(píng)分90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個(gè)年級(jí)家長的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級(jí)高于高二家長的滿意度等級(jí)”，則事件發(fā)生的概率為__________.16．已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階，寓意長長久久．甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記分，記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率．18．（12分）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.19．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．21．（12分）為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)竟賽活動(dòng).活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯(cuò)誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【題目詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.2、D【解題分析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可．【題目詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難．3、C【解題分析】

根據(jù)含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，計(jì)算可得；【題目詳解】解：集合含有個(gè)元素，則集合的真子集有（個(gè)），故選：C【題目點(diǎn)撥】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【題目詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.5、B【解題分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【題目詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡單應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

設(shè)點(diǎn)，由，得關(guān)于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍，即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【題目詳解】由題意，設(shè)點(diǎn).，即，整理得，則，解得或..故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，屬于中檔題.7、B【解題分析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【題目詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象（實(shí)線）與軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【題目詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).9、A【解題分析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【題目詳解】輸入，，因?yàn)?，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【題目詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解可得，，，則．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C12、D【解題分析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【題目詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；因?yàn)?，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、y=2x【解題分析】試題分析：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．14、【解題分析】

利用交集定義直接求解．【題目詳解】解：集合奇數(shù)，偶數(shù)，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、0.42【解題分析】

高一家長的滿意度等級(jí)高于高二家長的滿意度等級(jí)有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【題目詳解】由已知，高一家長滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級(jí)高于高二家長的滿意度等級(jí)有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.16、【解題分析】

，建立方程組，且，求出，進(jìn)而求出的公比，即可求出結(jié)論.【題目詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

（1）由題可得的所有可能取值為，，，，且，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望．（2）由題可得，所以，又，，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）可得．18、（1）不在，證明見詳解；（2）【解題分析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，可得，然后驗(yàn)證可得結(jié)果.（2）分別計(jì)算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)的軌跡方程，然后可得焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義可得，計(jì)算可得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點(diǎn)，所以可知點(diǎn)不在直線上.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大所以【題目點(diǎn)撥】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問中難點(diǎn)在于計(jì)算處，第（2）問中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.19、（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（2）【解題分析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點(diǎn)的軌跡方程為【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而通過化簡整理得到結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.20、（1），（2）【解題分析】試題分析：用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，只需m+4≤3，得出的范圍.試題解析：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：，或，或，解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+