2024新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)解答題分類專練（學(xué)生版、解析版）

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望

核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布

核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題

核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用

核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布

核心考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表

核心考點(diǎn)七：回歸分析

核心考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)

核心考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題

核心考點(diǎn)十：決策型問(wèn)題

核心考點(diǎn)十一：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

【真題回歸】

1.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,

負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到

如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

3.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)

途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)?

n(ad-bc)2

附：K'=

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種

樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位:

n?），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量必0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=°O38,=1658,Zw=0.2474.

i=li=1i=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186n?.已

知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

f（玉-君⑶-/

附：相關(guān)系數(shù)八=I「“，4^=1.377.

、￡（吃-君吃（兇-丹

Vi=!i=l

5.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m

以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比

賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣

分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患

該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

?

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件”選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾

病然與然的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為凡

⑴證明：八31.還;

刀P(A\B)P(A\B)'

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|8）,尸（A|耳）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

2

附K2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望

【規(guī)律方法】

求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：

(1)根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；

(2)求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；

(3)根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望(在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，

如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算)

【典型例題】

例1.(2022?陜西寶雞?統(tǒng)考一模)甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)各有3名選手參加對(duì)抗賽.比賽規(guī)定：甲隊(duì)的1,2,3

號(hào)選手與乙隊(duì)的1,2,3號(hào)選手按編號(hào)順序各比賽一場(chǎng)，某隊(duì)連贏3場(chǎng)，則獲勝，否則由甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙

隊(duì)的2號(hào)，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1號(hào)加賽兩場(chǎng)，勝場(chǎng)多者最后獲勝(每場(chǎng)比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果).已知

甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1,2號(hào)選手的勝率分別是0.5,0.6,甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1,2號(hào)選手的勝率都是

0.5,甲隊(duì)的3號(hào)對(duì)乙隊(duì)的3號(hào)選手的勝率也是0.5,假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲隊(duì)僅比賽3場(chǎng)獲勝的概率；

(2)已知每場(chǎng)比賽勝者可獲得200個(gè)積分，求甲隊(duì)隊(duì)員獲得的積分?jǐn)?shù)之和X的分布列及期望.

例2.(2022春?云南昆明?高三云南師大附中校考階段練習(xí))我校舉辦“學(xué)黨史”知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，每位教師3

次測(cè)試機(jī)會(huì)，規(guī)定按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則3次測(cè)試都要參加.甲教師3

次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為之的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)；，且他直到第二次

O/

測(cè)試才合格的概率為《9，乙教師3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為彳9，每位教師參加的每次測(cè)試是否合格

相互獨(dú)立.

(1)求甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率P;

(2)設(shè)甲教師參加測(cè)試的次數(shù)為機(jī)，乙教師參加測(cè)試的次數(shù)為小求4=，"+〃的分布列.

例3.(2022春?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習(xí))受新冠肺炎疫情的影響，某商場(chǎng)的銷售額受到了不同程度

的沖擊，為刺激消費(fèi)，該商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿300元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，

抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中：紅色小球1個(gè)，白色小球

3個(gè)，黃色小球6個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出3個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧

客摸出的3個(gè)球的顏色分成以下四種情況：A：1個(gè)紅球2個(gè)白球；B：3個(gè)白球；C：恰有1個(gè)黃球；D：

至少兩個(gè)黃球，若四種情況按發(fā)生的機(jī)會(huì)從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng).

(1)寫(xiě)出顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率；

(2)已知顧客摸出的第一個(gè)球是白球，求該顧客獲得二等獎(jiǎng)的概率；

(3)若五名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布

【規(guī)律方法】

超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩

個(gè)概率模型來(lái)解決.

一般地，在含有M件產(chǎn)品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生的概率

為P(X=Q=(A=0,1,2,,m),其中機(jī)=,且〃領(lǐng)N,n,M,NeN,,稱為超幾何分布

n

CN

列.

一般地，在w次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,

則P(X=Q=C；p*(l-p)"Y,k=0,l,2,,n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~8(〃,p),并稱p為

成功概率.此時(shí)有￡%=w,￡次=叨(1-0).

【典型例題】

例4.(2022春.北京.高三北京鐵路二中?？茧A段練習(xí))2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥(niǎo)巢落下帷幕，中

國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī).北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛(ài)上了冰

雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表：

競(jìng)賽得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.10.10.30.30.2

(1)如果規(guī)定競(jìng)賽得分在(80,90］為“良好”，競(jìng)賽得分在(90,100］為“優(yōu)秀”，從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩

組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問(wèn)各抽取多少人？

(2)在(1)條件下，再?gòu)倪@10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；

(3)以這10()名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概

率.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

例5.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木

板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸?/p>

塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落

入底部的格子中.如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊

碰撞，以g的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1,2,…，7的球槽內(nèi).

(1)如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)球槽的概率；

(2)某商場(chǎng)店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客只要在商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)每滿800元就能得

到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如消費(fèi)400元沒(méi)有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)

等，一次抽獎(jiǎng)小球掉入加號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為X(元)，其中X=|160-40〃?|.

(i)求一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金X(元)的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(ii)已知某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為丫(元)，求E(y).

例6.（2022春?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在

小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的

供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買(mǎi)量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購(gòu)買(mǎi)甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購(gòu)買(mǎi)量在13,6］（單位:

kg）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在36］（單位：kg）的戶數(shù)為

4,求4的分布列和期望；

（2）將某戶某天購(gòu)買(mǎi)甲類生活物資的量與平均購(gòu)買(mǎi)量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買(mǎi)量不少于06kg時(shí)，則該居民

戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到火戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.

核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題

【典型例題】

例7.(2022春?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谥?投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或6

時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為2,3,4,5時(shí)得1分；獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終

得分；

(1)設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布與期望；

(2)設(shè)最終得分為〃的概率為巴，證明：｛2-修一｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式；

例8.(2022春?湖南長(zhǎng)沙?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，一只螞蟻從單位正方體ABCD-AAGA的頂點(diǎn)A出

發(fā)，每一步(均為等可能性的)經(jīng)過(guò)一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過(guò)“步回到點(diǎn)A的概率P”

(/)分別寫(xiě)出P1，P2的值;

(//)設(shè)頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)〃步到達(dá)點(diǎn)C的概率為私，求P,,+3%的值；

(///)求P,,.

例9.（2022春.山東.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研

發(fā)的檢驗(yàn)試劑品a分為兩類不同劑型囚和火.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑四和合格的

概率分別為:和士，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑區(qū)和a?合格的概率分別為三和彳.已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，

兩次檢測(cè)均合格，試劑品a才算合格.

（1）設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑必和a2合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家

庭成員逐一使用試劑品a進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”.設(shè)

該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高

危戶”的概率為f（P）,若當(dāng)P=A）時(shí)，f（P）最大，求P。的值.

核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用

【典型例題】

例10.（2022春?河南?高三期末）根據(jù)疫情防控的需要，某地設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉(cāng)，集中開(kāi)展核

酸檢測(cè)和預(yù)防性消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称肥欠窀腥静《?，在入關(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行

化驗(yàn)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒(méi)有該病毒.對(duì)于份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)

方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次；二是混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為

陰性，那么這人份全為陰性，檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這上份究竟哪些為陽(yáng)性，需

要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則％份檢驗(yàn)的次數(shù)共為&+1次，若每份樣本沒(méi)有病毒的概率為4（0<p<l）,

而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的.

（1）若取得8份樣本，采用逐個(gè)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為/（p）,求"P）的最大

值點(diǎn)Po;

（2）若對(duì)取得的8份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：方案一：采用混合檢驗(yàn)；方案二：平均分成兩組，每

組4份樣本采用混合檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p

的取值范圍（精確到0.01）.

例11.（2022春?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中

葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)等方面均有所建樹(shù)，他證明了如下以他

名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，則P（|X-E（X）|康）岑。，其中4為任意

大于。的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量X的分布未知的情況下，對(duì)事件的概率作

出估計(jì).

（1）證明離散型切比雪夫不等式；

（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問(wèn)題：已知正整數(shù)〃..5.在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有〃個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)

為1,2,,〃，編號(hào)為i（啜j小的箱子中裝有編號(hào)為0,1,，，的i+1個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)〃

〃X

位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為i的箱子中抽取的小球號(hào)碼為X,,并記x=Z」.對(duì)任

意的〃，是否總能保證p（x剌）.1〃）0.01（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.

附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,X”X2，,x“滿足x=tx,，則有

Ml

成X）=￡E（X,）.

例12.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))一臺(tái)機(jī)器設(shè)備由A和8兩個(gè)要件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，48發(fā)生故

障的概率分別記作P(A)、P(8),假設(shè)A和8相互獨(dú)立.設(shè)X表示一次運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中需要維修的要件的數(shù)目，

若尸(A)=O1,尸⑻=。2.

(1)求出尸(X=O),尸(X=1),P(X=2)；

(2)依據(jù)隨機(jī)變量X的分布，求E(X)和。(X)；

(3)若X1表示A需要維修的數(shù)目，X?表示B需要維修的數(shù)目，寫(xiě)出X、X1和X?的關(guān)系式，并依據(jù)期望的

線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求￡(X)和。(X).

核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布

【典型例題】

例13.（2022春.福建泉州.高三福建省南安國(guó)光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對(duì)本年級(jí)學(xué)生物

理成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績(jī)（均在50-100分之間），將抽取的成績(jī)分組為[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這300名同學(xué)物理平均成績(jī)5與第三四分位數(shù)的估計(jì)值；（結(jié)果精確到1）

（2）已知全年級(jí)同學(xué)的物理成績(jī)服從正態(tài)分布N（〃，<r2）,其中〃?。?）中的5，經(jīng)計(jì)算，<7=11,現(xiàn)從

全年級(jí)隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績(jī)，求該成績(jī)?cè)趨^(qū)間（62,95）的概率（結(jié)果精確到0.1）：

（3）根據(jù)（2）的條件，用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取〃名同學(xué)的物理成績(jī)，若他們的成績(jī)都在（62,95）

的概率不低于1%,求〃的最大值（"為整數(shù)）.

附：1g2ao.301,若彳~N（〃，cr2）,貝ijP（〃一cr<g<〃+b）”0.68,尸（〃一2cr<J<〃+2<r）=0.96.

頻率

組距

0.040

0.030

0.010

。八50607080901001數(shù)

例14.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)

學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1.

(1)將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為X,求X的期望和方差；

(2)18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布.此外，如果隨機(jī)變

量y~N(〃,4)，令z=t二幺，則Z~N(0,l).當(dāng)Z~N(0,l)時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，記①m)=P(Z<4).已

知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(節(jié)選)，該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l)對(duì)應(yīng)的概率值.例如當(dāng)a=0.16時(shí)，

由于0.16=0.1+0.06,則先在表的最左列找到數(shù)字0.1(位于第三行)，然后在表的最上行找到數(shù)字0.06

(位于第八列)，則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是中(016)的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157,0.71900.7224

①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率;

②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個(gè)座位？

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來(lái)，憑借簡(jiǎn)潔的界面設(shè)計(jì)、方便的

操作方式和實(shí)用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛(ài).為回饋市場(chǎng)并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競(jìng)價(jià)形式做出優(yōu)

惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過(guò)官網(wǎng)提交自己的報(bào)價(jià)（報(bào)價(jià)低于原價(jià)），但在報(bào)價(jià)

時(shí)間截止之前無(wú)法得知其他人的報(bào)價(jià)和當(dāng)月參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后的第二天，系統(tǒng)將

根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價(jià)從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價(jià)即為

該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，出價(jià)不低于優(yōu)惠價(jià)的人將獲得數(shù)額為原價(jià)減去優(yōu)惠價(jià)的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月

下載該APP時(shí)使用.小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動(dòng)，為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計(jì)

了今年2到6月參與活動(dòng)的人數(shù)，如下表所示：

時(shí)間f（月）23456

參與活動(dòng)的人數(shù)y（萬(wàn)人）0.50.611.41.7

（1）若可用線性回歸模型擬合參與活動(dòng)的人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）與時(shí)間，（單位：月）之間的關(guān)系，請(qǐng)用最

小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程？=J+G,并預(yù)測(cè)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)；

（2）某自媒體對(duì)200位擬參加今年7月份活動(dòng)的人進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表:

報(bào)價(jià)X（單位:元）[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)叵7]

頻數(shù)206060302010

①求這200人的報(bào)價(jià)X（單位：元）的平均值又和方差S2（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）;

②假設(shè)所有參與活動(dòng)的人的報(bào)價(jià)X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布NJ。。），且〃與〃可分別由①中所

求的樣本平均數(shù)文及S?估計(jì)，若2022年7月計(jì)劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173,請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)該APP在當(dāng)月

的下載優(yōu)惠價(jià)，并說(shuō)明理由.

「說(shuō)_55

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程3=與--------，占=》一行；②E>；=90,E>，?=24,VL7?1.3;

/=1

③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則P（〃-cr<X<〃+b）=0.6827,P（〃-2。<X<//+2cr）?0.9545,

P（〃一3cr<X<〃+3o■卜0.9973.

核心考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表

【典型例題】

例16.（2022.云南昆明?昆明一中模擬預(yù)測(cè)）為了響應(yīng)教育部門(mén)疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，某校實(shí)施網(wǎng)

絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級(jí)進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成

績(jī),繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）,其中數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110,120）,[120,130）,[130,140]

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位

數(shù)

（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績(jī)?cè)赱100,130）內(nèi)的學(xué)

生人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

例17.（2022?貴州貴陽(yáng)?貴陽(yáng)六中?？家荒＃┠承＝M織1000名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)分成5組:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,

4c成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)間[60,70）內(nèi)的人數(shù)為400.

（1）求出直方圖中a,h,c的值；

（2）估計(jì)中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

（3）若用頻率估計(jì)概率，設(shè)從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的數(shù)

學(xué)期望.

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書(shū)法比賽，比賽分兩個(gè)階

段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委為所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按

規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)X都在［75,100）內(nèi)，再以5為組距

---,n=15,

150

畫(huà)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“藉=y"）時(shí)‘發(fā)現(xiàn)y滿足：y，19”

---,n=16,n&N\5n<X<5(n+l).

300

11

---Kf------,72>16,

1520-n

（1）試確定〃的所有取值，并求代

（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在［95』00）內(nèi)的同

學(xué)評(píng)為一等獎(jiǎng);分?jǐn)?shù)在［90,95）內(nèi)的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有，的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在［85,90）

內(nèi)的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有;的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)

等級(jí)，且附加賽獲獎(jiǎng)等級(jí)在第一階段獲獎(jiǎng)等級(jí)基礎(chǔ)上，最多升高一級(jí)）.已知學(xué)生A和8均參加了本次比賽，

且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎(jiǎng).

①求學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；

②已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng)，記A,B兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為《，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

核心考點(diǎn)七：回歸分析

【典型例題】

例19.（2022春.河南.高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代

無(wú)繩類電動(dòng)工具以其輕巧便攜、工作效率高、環(huán)保、可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用.在消

費(fèi)者便攜無(wú)繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無(wú)繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大.某

公司為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)2017~2021

年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：

2017-2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017~2021年）

「研發(fā)人數(shù)M人）

482

396

298

220

204

o12345

年份代碼X

（i）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)）與年份代碼x的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的

強(qiáng)弱:

（2）試求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：S（x-y）2=55960,71399?37.4.參考公式：相關(guān)系數(shù)，

;=|

回歸方程的斜率5=截距a=y-bx.

附:

kl[0,0.25][0.30,0.75)[0.75,1]

相關(guān)性弱一般強(qiáng)

例20.（2022春?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）紅鈴蟲(chóng)是棉花的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每

只紅鈴蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)

量的值.

平均溫度x/℃21232527293133

平均產(chǎn)卵數(shù)力個(gè)711212466115325

z=\ny192.43.03.24.24.75.8

卒產(chǎn)卵數(shù)

350：.

30010

250[

200F

150卜

I。。.?

5。.，：?，一_

O21232527293133溫度

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，》=笈+。與），=ce"（其中e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均

產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求

出y關(guān)于x的回歸方程，（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28℃以上時(shí)紅鈴蟲(chóng)會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況

均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到28c以上的概率為1.該地今后4年中至少有兩年需要人

工防治的概率.

參考數(shù)據(jù)

777

Z七%yz

i=\i=]f=l

52151771371781.33.6

Z（七一彳）（%一》）2七%一說(shuō)

附：回歸方程一=4--,a=y-bx.

之（七為X；-同

/=1i=l

例21.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等六部門(mén)發(fā)布通知提出，到2025年，農(nóng)村生活垃圾無(wú)害化

處理水平明顯提升.我國(guó)生活垃圾主要有填埋、焚燒與堆肥三種處理方式，隨著我國(guó)垃圾處理結(jié)構(gòu)的不斷

優(yōu)化調(diào)整，焚燒處理逐漸成為市場(chǎng)主流.根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013—2020年全國(guó)生活垃圾焚燒

無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：

年份20132014201520162017201820192020

年份代碼X12345678

生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)y166188220249286331389463

（1）由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（精確到0.01）

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)；

（3）對(duì)于2035年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)，還能用所求的線性回歸方程預(yù)測(cè)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)

明理由.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，----------------回歸方程§=隊(duì)+岳中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分

陽(yáng)…—

別為人迎耳，。法

決T

參考數(shù)據(jù)：力%=2292,ft；=204,￡4=730348,之x'=12041,573=328329，7105?10.25,

i=\i=li=l?=1

J7369x85.84.

核心考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【典型例題】

例22.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)）為了檢測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)從甲、乙兩條生產(chǎn)線上分別抽取200件產(chǎn)品作為

樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)值的范圍為［40,100］.根據(jù)該產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值在

（80,100］內(nèi)的產(chǎn)品為“優(yōu)等品”，否則為“非優(yōu)等品”.抽樣統(tǒng)計(jì)后得到的數(shù)據(jù)如下：

質(zhì)量指標(biāo)值[40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量4915327664

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量6722456753

（1）填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，計(jì)算K?，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān);

優(yōu)等品非優(yōu)等品合計(jì)

甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

合計(jì)

（2）由于樣本中來(lái)自乙生產(chǎn)線“非優(yōu)等品'’的個(gè)數(shù)多于來(lái)自甲生產(chǎn)線的，為找出原因，該廠質(zhì)量控制部門(mén)在

抽出的“非優(yōu)等品''中，按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出7件產(chǎn)品，然后再?gòu)闹须S機(jī)抽出2件產(chǎn)品進(jìn)

行全面分析，求其中至少有1件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率.

附：K=(a+?(；+))(a：c)(H<r

P(K2>k]0.0500.0100.005

k3.8416.6357.879

例23.（2022?重慶江北??？家荒＃榱擞嗅槍?duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素

是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù):

鍛煉

性別

不經(jīng)常經(jīng)常

MZJ二

ZJ□

（1）依據(jù)&=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;

（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；

（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)

的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能

地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第“次傳球后球在甲手中的概率.

n(ad-bc)一

附：Z2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

例24.(2022春?四川成都?高三校考階段練習(xí))為考查某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下

丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

患病未患病總計(jì)

沒(méi)服用藥203050

服用藥Xy50

總計(jì)MN100

設(shè)從沒(méi)服用藥的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為鼻從服用藥物的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為工作人員

曾計(jì)算過(guò)產(chǎn)仁=0)=]2(〃=0)

(1)求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)％,y,M,N的值：

(2)求J與〃的均值(期望)并比較大小，請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義:

(3)能夠以99%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？

n^ad-bcY

(參考公式/其中〃=a+/?+c+d)

(a+/)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(心“)0.100.050.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

核心考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題

【規(guī)律方法】

1、在與體育比賽規(guī)則有關(guān)的問(wèn)題中，一般都會(huì)涉及分組，處理該類問(wèn)題時(shí)主要借助于排列組合.對(duì)于

分組問(wèn)題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時(shí)注意“直接法”與“間接法”的靈活運(yùn)用.

2、與體育比賽有關(guān)的問(wèn)題中最常見(jiàn)的就是輸贏問(wèn)題，經(jīng)常涉及“多人淘汰制問(wèn)題”“三局兩勝制問(wèn)

題”“五局三勝制問(wèn)題”“七局四勝制問(wèn)題”，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)“三局兩勝制”“五局三勝制”等所進(jìn)

行的場(chǎng)數(shù)，贏了幾場(chǎng)與第幾場(chǎng)贏，用互斥事件分類，分析事件的獨(dú)立性，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算概率，

在分類時(shí)要注意“不重不漏”.

3、在體育比賽問(wèn)題中，比賽何時(shí)結(jié)束也是經(jīng)常要考慮的問(wèn)題，由于比賽賽制已經(jīng)確定，而比賽的平均

場(chǎng)次不確定，需要對(duì)比賽的平均場(chǎng)次進(jìn)行確定，常用的方法就是求以場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，然后比

較大小.

4、有些比賽會(huì)采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學(xué)期望是常考題型，解題的關(guān)鍵是辨別它的概率模

型，常見(jiàn)的概率分布模型有：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨(dú)立的，

超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項(xiàng)分布，有的只是局部二項(xiàng)分布.

【典型例題】

例25.(2022春?湖北十堰?高三校聯(lián)考階段練習(xí))為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年

級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、8進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、8部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍.決賽先進(jìn)行兩天，每

天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若A部、3部中的一方能連續(xù)

兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天4部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲

勝方為最終冠軍.設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為〃每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立.

(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時(shí)p的值；

(2)當(dāng)p時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求尸位45).

例26.（2022?江蘇鹽城.江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級(jí)參加學(xué)校體育節(jié)的

籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3

分；如果只有一個(gè)人投中，貝虎隊(duì)’’得1分；如果兩人都沒(méi)投中，則“虎隊(duì)”得0分.已知甲每輪投中的概率

是乙每輪投中的概率是:；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.

43

（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；

（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為X,求X的分布列；

②設(shè)“虎隊(duì)””輪得分之和為X“，求X”的期望值.（參考公式E（X+y）=￡X+￡Y）

例27.（2022?陜西西安?長(zhǎng)安一中?？寄M預(yù)測(cè)）某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游

戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組,

小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為P「P2.

21

（1）若Pi=（，則在第一輪游戲他們獲''優(yōu)秀小組”的概率；

4

（2）若四+凸=三則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為16次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游

戲才行？并求此時(shí)外心的值.

核心考點(diǎn)十：決策型問(wèn)題

【規(guī)律方法】

求解決策型問(wèn)題的求解流程為：

第一步：先確定函數(shù)關(guān)系式；

第二步：列出分布列，求出期望；

第三步：根據(jù)期望進(jìn)行最后的決策.

【典型例題】

例28.（2022春?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，各級(jí)人民政府采取有效防控措施，時(shí)常采

用10人一組做核酸檢測(cè)（俗稱混檢），某地在核酸檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，為了能找

出這1例陽(yáng)性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過(guò)做血清檢測(cè)，血清檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染人員，

呈陰性的表示沒(méi)被感染.擬采用兩種方案檢測(cè)：

方案甲：將這10人逐個(gè)做血清檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.

方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測(cè)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則表示

感染人員在該組中，然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對(duì)

另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測(cè)

的次數(shù)記為X.

（1）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）如果每次檢測(cè)的費(fèi)用相同，以檢測(cè)費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？

例29.（2022春?廣東廣州?高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)

動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)

中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽

三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.己知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙

313

比賽，甲贏的概率為甲與丙比賽，甲贏的概率為P,其中彳＜?＜：.

424

（1）若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排

下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？

（2）為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金13萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元；

若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金4萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組

織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X