銳角三角函數(shù)-基礎(chǔ)和提優(yōu)

第第六講銳角三角函數(shù)本章思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：一、銳角三角函數(shù)的概念，解直角三角形以及特殊銳角與其三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；二、解直角三角形的工具：（1）兩銳角互余；（2）銳角三角函數(shù)；（3）勾股定理；三、要學(xué)會構(gòu)造“直角三角形”模型。遇到不是直角三角形的圖形時，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解。課前復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理；利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。模塊精講正弦、余弦、正切和余切我們學(xué)過直角三角形中的一個性質(zhì)：“30°所對的直角邊是斜邊的一半”，如圖，不管三角形的邊長如何變化，都有：我們再拓展到更一般的情況，如圖，∠A為任意銳角。根據(jù)相似的性質(zhì)，同樣可以得到：也就是說，在直角三角形中，給定了一個銳角，不管直角三角形的邊長如何變化，這個銳角的對邊與斜邊的比是一個定值。我們給這個定值取了一個名字，叫做正弦。B如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角∠A的對邊與斜邊B的比叫做∠A的正弦，記作sinA。即：斜邊c鄰邊b對邊aACsinA=∠斜邊c鄰邊b對邊aAC同樣的，我們也有：我們把銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA。即：cosA=∠A的鄰邊需要注意的是：（1）sinA和cosA是一個比值，它們的實質(zhì)是兩條線段的比，沒有單位；（2）在直角三角形中，斜邊大于直角邊，且各邊長均為正數(shù)，所以有如下結(jié)論：（∠A為銳角）0＜sinA＜1，0＜cosA＜1（3）sinA和cosA都是整體符號，記號中省去符號“∠”。但是，如果角用一個數(shù)字或者三個字母表示時，不能省去符號“∠”，例如，應(yīng)寫成“sin∠1”和“sin∠ADB”，不能寫成“sin1”和“sinADB”；（4）由sinA=ac可變形得到a=c·sinA，c=asinA（5）通常將(sinA)2、(cosA)2分別寫成sin2A、cos2A、sin260°等。例1、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求sinA、cosA、sinB和cosB的值；（2）分別計算sin30°，sin45°，sin60°的值；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=8/17，求cosA和tanA的值。B在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角∠A的對邊與鄰邊B的比叫做∠A的正切，記作tanA。即：斜邊c鄰邊b對邊aACtanA=∠斜邊c鄰邊b對邊aAC同樣的，我們也有：我們把銳角∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA。即：cotA=∠A的鄰邊例2、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求sinA，tanA和cotA的值；對于30°、45°、60°這樣的特殊角，含有這些角的直角三角形很容易得出三邊的比例關(guān)系，也容易得到這些角的三角函數(shù)值：sincostancot30°45°60°練習(xí)：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若把△ABC的各邊都擴(kuò)大為原來的m倍，則cosB的值為（）DCA、mcosBB、1mcosBC、mDC2、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，則sinB的值為________；E3、化簡：1-EOBA4、如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點(diǎn)E，則CDAB等于（）OBAA、sinAB、cosBC、sin∠AEDD、cos∠AEDA由相似，CD/AB=DE/AE=cos∠AEDAD5、將cos21°，cos37°，sin41°，cos46°按照其值的大小由小到大的順序排列。D6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=10，CBcos∠BCD=35，求△ABCCB解直角三角形解直角三角形是指：根據(jù)已知條件，求出直角三角形的所有邊和角。（1）至少知道幾個元素才能解直角三角形？在《全等三角形》中，我們知道，有三個元素可以確定一個三角形，在直角三角形中，已知一個角是直角，因此，只需兩個元素就可以了；（2）需要知道什么元素？已知兩個角無法確定三角形的邊，因此，我們需要知道①一邊一角或者②兩邊。AaCBc（3）如何通過已知元素求其他的元素？通過直角三角形的邊和角之間的關(guān)系：AaCBcb①角的關(guān)系：兩銳角互余，∠A＋∠B=90°；b②邊的關(guān)系：勾股定理，a2＋b2=c2；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc，tanA=ab，tanB=b例16、根據(jù)下列條件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=52；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=43，∠A=60°；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=23；B（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，b=15，∠A=30°。BcabAC例17、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=15，解這個直角三角形；cabAC（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，∠A=25°，解這個直角三角形，（參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，結(jié)果精確到0.01）（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=70°，AB=5，則直角邊AC長為（）CA、5sin70°B、5cos70°C、5tan70°C解直角三角形的常見題型例18、如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=75°，AC=2，AB求BC的長。ABB例19、如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，BCAD∠D=∠B=90°，求此四邊形ABCD的面積。CAD求不規(guī)則多邊形面積的基本思路是“化不規(guī)則為規(guī)則”，可以用割補(bǔ)法。把多邊形變成幾個易求的圖形的面積的和或差。本題可以用（1）“補(bǔ)法”：延長AD、BC交于點(diǎn)E……（2）“割法”：作BE⊥AD于點(diǎn)E，再做CF⊥BE于點(diǎn)F……A例20、如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，ACBtanB=18，求BC的長。CB作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D。……例21、已知等腰三角形的面積為2，腰長為5，底角為α，求tanα。本題需分等腰三角形頂角為銳角和鈍角兩種情況，得2或1/2.POA練習(xí)：1、如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PA=23，POA∠APO=30°，則⊙O的半徑長為________；CDBA2、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，a、b、c為對應(yīng)的CDBA三邊長，且a＋b=37，則a、b、c的長分別是________________；3、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，D為ABDA延長線上一點(diǎn)，且∠CDB=45，求CD和BD的長。DA4、如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，ADBC∠DAC=30°，BD=2，AB=23，求AC的長。ADBC5、如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC∠A=150°，AB=5，CD=15，求AD、BC。BC視線鉛垂線視線鉛垂線α為仰角β為俯角β物體B底面水平線水平線α物體B觀測點(diǎn)A視線觀測點(diǎn)P仰角俯角水平線α為仰角β為俯角β物體B底面水平線水平線α物體B觀測點(diǎn)A視線觀測點(diǎn)P仰角俯角水平線觀測點(diǎn)A觀測點(diǎn)A北北北偏西北偏西45°北偏東60°αi=hl北偏東60°αi=hhl60°60°45°東西東西60°60°45°45°南偏東南偏東60°南偏西45°南坡度i=tanα=hl，α南偏西45°南Ai越大，tanα就越大，斜坡就越陡；反之，斜坡就越緩。方向角A例22、小明和小華看到一顆大樹，如圖，BM為小華，CN為小明，AE為大樹，MNE為底面，B、C為小明和小華的觀測點(diǎn)眼睛，C小明：我站在此處看樹頂仰角為45°，CNMEDB小華：我站在此處看樹頂仰角為60°，NMEDB小華小明小明：我們的身高都是1.6米，小華小明AβαCB小華：我們相距20米。AβαCB請根據(jù)他們的對話，計算大樹的高度。（3≈1.732，結(jié)果精確到0.1米）例23、如圖，已知小山BC的高為h，為了測得山頂上的鐵塔AB的高x，在平地上選擇一個觀測點(diǎn)P，在P點(diǎn)處測得B點(diǎn)的仰角為α，A點(diǎn)的仰角為β，（講解）（1）試用α、β和h的關(guān)系式表示鐵塔的高x；P（2）當(dāng)α=30°，β=60°，h為68m時，求鐵塔的高度。PB例24、如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，B坡度為1：3，小明在斜坡上的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上。（1）求斜坡CD的高度DE；D（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號）。D延長BD交AE延長線于F，易得∠BFA=45°，DE=EFECA=2，EC=23.ECA設(shè)AC為x，則AB=3x，AF=2＋23＋x，……練習(xí)：（1）（2）PP例25、（2016山東臨沂中考）如圖，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向，距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達(dá)燈塔CBAP南偏西45°方向上的B處？（3≈1.732，結(jié)果精確到0.1）CBACP練習(xí)：1、如圖，直升飛機(jī)在跨海大橋AB的上方的P點(diǎn)處，此時CP飛機(jī)離地面的高度是a米，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，從點(diǎn)P測得點(diǎn)A俯角為α，點(diǎn)B的俯角為β，BA求大橋AB的長。BA三角函數(shù)與圓的綜合題三角函數(shù)與幾何圖形綜合題的思路：先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段比，再利用相似、圓等幾何性質(zhì)。例26、首先，OD∥AE?！唷鱂OD∽△FAE，得FC=2，……例27、連OB，易得△OPB≌△OPA，∴∠OBP=90°，sin∠OPA=OA/OP，∵BD/PA=2/1=BD/PB，∴CD/CO=2/1，設(shè)CO=r，則CD=2r，又BO=r，∴BD=22r，因此，PA=2r，∴OP=3r，……例28、∵∠ABD=∠CBD，∴∠AEB=∠BCD；因此，sin∠AEB=sin∠BCD=BD/BC……總結(jié)：根據(jù)“等角的三角函數(shù)值相等”，可以把一個角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一個相等且容易計算的角的三角形函數(shù)。例29、由△BEF∽△ACF，面積比=相似比的平方，需求相似比，又cos∠BFA=BF/AF=相似比……例30、首先，cosC=cosA，由DF=3，易得BE=3·4/5=12/5，再得CE=16/5=DE，設(shè)半徑為r，則AB=2r，由cosA可得BF=3r/2，AF=5r/2，AD=5r/2－3.∴DE=3r/2－9/5，解方程，可得r=10/3.還有更簡單的方法：連DB，∠DBF=∠A，由cosA，得BF=5，∴AB=5·4/3=20/3……連接DB構(gòu)造出含DF的直角三角形。練習(xí)：（1）（2）（2）連OD、OE，易得OD⊥CE，OE⊥BE。因此，∠OEB=∠CBD，∴BO/BE=2/3，∴BE=9。構(gòu)造直角三角形使用三角函數(shù)例31、（1）（2）（3）例32、（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=45（2）已知等腰三角形的底為4，腰為6，則頂角的正切值是_________；（3）（4）例33、（1）（2）（3）練習(xí)：（1）（2）（3）（4）課后鞏固習(xí)題如圖(1)，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知，，AB=8,則的值為()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．圖5如圖(2)，在直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對折，使點(diǎn)落在處，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）圖5（1）（2）(3)(4)(5)如圖(3)，在等腰直角三角形中，，，為上一點(diǎn)，若，則的長為()A．B．C．D．如圖(4)，中，,是直角邊上的點(diǎn)，且,，則邊的長為________．如圖(5)，在矩形中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，若，四邊形的周長為，則矩形的面積為______.1010（6）（7）(8)如圖6所示，中，，于，，，則____．等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，則底角的余弦值為______.8．如圖7，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB，利用此圖求tan22．5°的值．9、如圖8，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過直角頂點(diǎn)C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1