數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式③④⑤1.公式法即直接用求和公式,求前n項(xiàng)和Sn分析：通過觀察，看出所求得數(shù)列實(shí)際上就是等比數(shù)列其首項(xiàng)為a，公比為ab，因此由題設(shè)求出a,b，再用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和例1：若實(shí)數(shù)a,b滿足：

求：例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首項(xiàng)為1，公比為1/a的等比數(shù)列，∴原式=原因：上述解法錯(cuò)誤在于，當(dāng)公比1/a=1即a=1時(shí)，前n項(xiàng)和公式不再成立。例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要特別注意公比q是否為1。當(dāng)q不確定時(shí)要對(duì)q分q=1和q≠1兩種情況討論求解。對(duì)策：倒序相加法在教材中是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法2.倒序相加法例4.求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）

3.分組求和法：

若數(shù)列的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為

的形式，且數(shù)列可求出前n項(xiàng)和則解（1）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn=規(guī)律概括：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可分成兩項(xiàng)之和（或三項(xiàng)之和）則可用分組求和法：在本章我們主要遇到如下兩種形式的數(shù)列.

其一：通項(xiàng)公式為：

其二：通項(xiàng)公式為：例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11這時(shí)我們就能把數(shù)列的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)再求和，這種方法叫什么呢？裂項(xiàng)法11×3=（-213111）例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通項(xiàng)an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=

（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=評(píng)：裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。4.拆項(xiàng)相消法（或裂項(xiàng)法）：若數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分為某數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差的形式即：

或（）則可用如下方法求前n項(xiàng)和.

例6、設(shè)是公差d不為零的等差數(shù)列，滿足求：的前n項(xiàng)和它的拆項(xiàng)方法你掌握了嗎？常見的拆項(xiàng)公式有：5.錯(cuò)位相減法：設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列（d不等于零），數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列(q不

等于1），數(shù)列滿足：則的前n項(xiàng)和為：例7、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]這是一個(gè)等差數(shù)列{n}與一個(gè)等比數(shù)列{xn-1}的對(duì)應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn=1+2x+3x2

+……+nxn-1①

xSn=x+2x2

+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-

nxnn項(xiàng)這時(shí)等式的右邊是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與一個(gè)式子的和，這樣我們就可以化簡(jiǎn)求值。錯(cuò)位相減法例7、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)

Sn=1+x+x2++xn-1-

nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-

nxn………………練習(xí)：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n答案：Sn=3-2n+32n求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n

直接求和（公式法）等差、或等比數(shù)列用求和公式，常數(shù)列直接運(yùn)算。倒序相加等差數(shù)列的求和方法錯(cuò)位相減數(shù)列{anbn}的求和，