新教材數(shù)學(xué)蘇教版課時素養(yǎng)評價113余弦定理正弦定理的應(yīng)用

課時素養(yǎng)評價十七余弦定理、正弦定理的應(yīng)用(20分鐘35分)1.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則14時兩船之間的距離是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】選B.到14時,輪船A和輪船B分別走了50nmile,30nmile,由余弦定理得兩船之間的距離為l=QUOTE=70(nmile).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A、C兩地的距離為 ()A.10km B.QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】選D.在△ABC中,AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°,則由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×QUOTE=700,所以AC=10QUOTEkm,即A、C兩地的距離為10QUOTE2.如圖,從地面上C,D兩點(diǎn)望山頂A,測得它們的仰角分別為45°和30°,已知CD=100米,點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于 ()A.100米 B.50QUOTE米C.50QUOTE米 D.50QUOTE米【解析】選C.設(shè)AB=h,在△ABC中∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=QUOTE=QUOTE,解得h=50QUOTE米.3.如圖所示,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選B.依題意可得AD=20QUOTEAC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推論得,cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.4.(2020·西安高一檢測)甲船在島B的正南A處,AB=6km,甲船以每小時4km的速度向正北方向航行,同時乙船自B出發(fā)以每小時3km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?甲、乙兩船相距最近的距離是________km.

【解析】假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近,甲、乙分別行至C,D,如圖所示,可知BC=6-4x,BD=3x,∠CBD=120°,CD2=BC2+BD2-2BC×BD×cos∠CBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3x×QUOTE=13x2-30x+36.當(dāng)x=QUOTE時甲、乙兩船相距最近,最近距離為QUOTEkm.答案:QUOTE5.(2020·濟(jì)南高一檢測)如圖,-輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在北偏西45°的方向上,仰角為α,行駛300米后到達(dá)B處,測得此山頂在北偏西15°的方向上,仰角為β,若β=45°,則此山的高度CD=________米,仰角α的正切值為________.

【解析】設(shè)山的高度CD=x米,由題可得∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,∠CBD=45°.在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得CB=300QUOTE(米),AC=150QUOTE(米).在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300QUOTE(米),在Rt△ACD中可得tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.答案:300QUOTEQUOTE-16.如圖,甲船以每小時30QUOTE1處時,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處,此時兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處,此時兩船相距10QUOTE海里.問:乙船每小時航行多少海里?【解析】如圖,連接A1B2,由已知A2B2=10QUOTEA1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTE(海里),所以A1A2=A2B2又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等邊三角形,所以A1B2=A1A2由已知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTE因此,乙船的速度為QUOTE×60=30QUOTE(海里/時).所以乙船每小時航行30QUOTE(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2020·杭州高一檢測)某船開始看見燈塔A時,燈塔A在船南偏東30°方向,后來船沿南偏東60°的方向航行45km后,看見燈塔A在船正西方向,則這時船與燈塔A的距離是 ()A.15QUOTEkm B.30kmC.15km D.15QUOTEkm【解析】選D.設(shè)燈塔位于A處,船開始的位置為B,船行45km后處于C,如圖所示,可得∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45,所以∠ABC=30°,∠BAC=120°,在三角形ABC中利用正弦定理可得:QUOTE=QUOTE,可得AC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=15QUOTEkm.2.(2020·啟動高一檢測)如圖,某偵察飛機(jī)在恒定高度沿直線AC勻速飛行.在A處觀測地面目標(biāo)A,測得俯角∠BAP=30°.經(jīng)2分鐘飛行后在B處觀測地面目標(biāo)P,測得俯角∠ABP=60°.又經(jīng)過一段時間飛行后在C處觀察地面目標(biāo)P,測得俯角∠BCP=θ且cosθ=QUOTE,則該偵察飛機(jī)由B至C的飛行時間為 ()分鐘 C.1.75分鐘 【解析】選B.設(shè)飛機(jī)的飛行速度為v,根據(jù)飛機(jī)的飛行圖形,測得俯角∠BAP=30°,經(jīng)過2分鐘飛行后在B處觀測地面目標(biāo)P,測得俯角為∠ABP=60°,所以△ABP為直角三角形,過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,則AB=2v,AP=QUOTEv,BP=v,解得DP=QUOTE,設(shè)CB=xv,因?yàn)閏osθ=QUOTE,可得sinθ=QUOTE=QUOTE,所以tanθ=QUOTE,在直角△PCD中tanθ=QUOTE=QUOTE,解得x=1.5,即該偵察飛機(jī)由B至C的飛行時間為1.5分鐘.3.在某個位置測得某山峰仰角為θ,對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ,繼續(xù)在地面上前進(jìn)200QUOTEm以后測得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為 ()A.200m B.300mC.400m D.100QUOTEm【解析】選B.由題意得如圖,則△BED,△BDC均為等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=200QUOTEm.方法一:在△BCD中,由余弦定理的推論可得cos2θ=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)?°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).方法二:由于△BCD是等腰三角形,QUOTEBD=DCcos2θ,即300=200QUOTEcos2θ,所以cos2θ=QUOTE,又0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).4.(2020·南昌高一檢測)春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊桿——桔槔,后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末,由于電動機(jī)的發(fā)明,離心泵得到了廣泛應(yīng)用,為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.如圖所示為灌溉抽水管道在等高圖的上垂直投影,在A處測得B處的仰角為37度,在A處測得C處的仰角為45度,在B處測得C處的仰角為53度,A點(diǎn)所在等高線值為20米,若BC管道長為50米,則B點(diǎn)所在等高線值為 ()A.30米 B.50米 C.60米 D.70米【解析】選B.由題意,作出示意圖如圖所示,由已知,BC=50,∠CAE=45°,∠BAE=37°,∠CBF=53°.設(shè)BD=x,則AD=QUOTE=QUOTE=QUOTEx,CF=BCsin53°=50cos37°≈50×QUOTE=40,BF=BCcos53°=50sin37°≈50×QUOTE=30,所以由AE=CE,得QUOTEx+30=x+40,解得x=30,又A點(diǎn)所在等高線值為20米,故B點(diǎn)所在等高線值為20+30=50米.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.某人在A處向正東方向走xkm后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好QUOTEkm,那么x的值為 ()A.QUOTE B.2QUOTE QUOTE 【解析】選AB.由題意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書十八卷共八十一個問題,分為九類,每類九個問題,《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí),一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=QUOTE.現(xiàn)有△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面積S△ABC=6QUOTE,請運(yùn)用上述公式判斷下列說法正確的是 ()A.△ABC的周長為10+2QUOTEB.△ABC的內(nèi)角C=QUOTEC.△ABC外接圓直徑為QUOTED.△ABC中線CD的長為3QUOTE【解析】a∶b∶c=2∶3∶QUOTE.設(shè)a=2m,b=3m,c=QUOTEm(m>0),所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得m=2,所以△ABC的周長為a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正確;由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又C∈(0,π),所以C=QUOTE,B正確;由正弦定理知外接圓直徑為2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正確;由中線定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題,2019年第1號臺風(fēng)“帕布”(熱帶風(fēng)暴級)登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象,不少大樹被大風(fēng)折斷.某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后(如圖所示,沒有完全斷開),樹干與地面成75°角,折斷部分與地面成45°角,樹干底部與樹尖著地處相距10米,則大樹原來的高度是________米(結(jié)果保留根號).

【解題指南】根據(jù)題意,畫出示意圖,大樹原來的高度分為兩部分,利用正弦定理或余弦定理分別求出兩部分的長度,求和即為大樹原來的高度.【解析】如圖所示,設(shè)樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點(diǎn)為A,則∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以O(shè)A=QUOTE米,AB=QUOTE米,所以O(shè)A+AB=(5QUOTE+5QUOTE)米.答案:(5QUOTE+5QUOTE)________,sinα=________.

【解析】由已知得AB=12千米,AC=20千米,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×QUOTE=784,所以BC=28千米,所以漁船甲的速度v甲=QUOTE=14(千米/時).在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinα=QUOTE.答案:14千米/時QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前進(jìn)QUOTEkm到達(dá)D處,看到A在他的北偏東45°方向,B在北偏東75°方向,試求這兩座建筑物之間的距離.【解析】依題意得,CD=QUOTEkm,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(km).在△ADC中,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=3QUOTE(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3QUOTE)2+(QUOTE)2-2×3QUOTE×QUOTEcos45°=25.所以AB=5km,故這兩座建筑物之間的距離為5km.10.(2020·南通高一檢測)根據(jù)國際海洋安全規(guī)定:兩國軍艦正常狀況下(聯(lián)合軍演除外),在公海上的安全距離為20mile(即距離不得小于20mile),否則違反了國際海洋安全規(guī)定.如圖,在某公海區(qū)域有兩條相交成60°的直航線XX′,YY′,交點(diǎn)是O,現(xiàn)有兩國的軍艦甲、乙分別在OX,OY上的A,B處,起初OA=30mile,OB=10mile,后來軍艦甲沿XX′的方向,乙軍艦沿Y′Y的方向,同時以40mile/h的速度航行.(1)起初兩軍艦的距離為多少?(2)試判斷這兩艘軍艦是否會違反國際海洋安全規(guī)定?并說明理由.【解析】(1)連接AB,在△ABO中,由余弦定理得AB=QUOTE=10QUOTE.所以起初兩軍艦的距離為10QUOTEmile.(2)設(shè)t小時后,甲、乙兩軍艦分別運(yùn)動到C,D,連接CD,當(dāng)0<t≤QUOTE時,CD==10QUOTE,當(dāng)t>QUOTE時,CD==10QUOTE,所以經(jīng)過t小時后,甲、乙兩軍艦距離CD=10QUOTE(t>0),因?yàn)镃D=10QUOTE=10QUOTE,因?yàn)閠>0,所以當(dāng)t=QUOTE時,甲、乙兩軍艦距離最小為20mile.所以甲、乙這兩艘軍艦不會違法國際海洋安全規(guī)定.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題及二次測望方法:今有望海島,立兩表,齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行一百二十