運動學和力學定理

動力學運動定理（二）動能定理碰撞角動量定理有心力問題動能定理（1）動能定理質(zhì)點組的動能與質(zhì)心的動能機械能守恒原理與功能原理參考系的選擇質(zhì)心運動定理——動量定理質(zhì)點組的動量質(zhì)心的動量。質(zhì)點組的動量守恒 質(zhì)心的動量守恒（注意：各分量的守恒問題?。﹥?nèi)力不可能改變質(zhì)點組的動量。質(zhì)點的動能定理i(i

=1,2,3,,

N

)Ti

t

=t

2

-Ti

t

=t

1

=

W

+Wi

1

+Wi

2

+外i

i

i

i

i k

?i+Wi

,

i

-

1

+Wi

,

i

+

1

++WiN

,

Ti

t

=t

2

-

Ti

t

=t

1

=

W

+

Wik外外t

=t

1

=

W

+W內(nèi)T

t

=t

2

-T質(zhì)點組的動能定理FikdriFkidrk質(zhì)點i質(zhì)點k內(nèi)力可以改變質(zhì)點組的動能（1）動能定理（2）質(zhì)點組的動能與質(zhì)心的動能iiimv

=

1m

ri

iri

i2

212NT

=

Ti

=i=1ii

iir

￠i=mir

￠i

r

￠i

mir

i

+

￠

￠21212121

2T

=

1m

(r

+

r￠)

(r

+

r￠)m0

r

0

=

r

0

r

0

mi

+r

0ii

0

i

0

ir0r1質(zhì)心質(zhì)點ir

0

+

m0

r

0

=rO0

+

mir

￠iimiv￠i=

T

0

+T

￠220T

=

m0

v

+2121柯尼希定理質(zhì)點組的動能=質(zhì)心的動能+質(zhì)點組相對于質(zhì)心的動能

兩體問題的動能2212m

(u1

-

u

)￠=碰撞前的相對運動動能：T

￠=1

m￠v￠222=

e2

1

m￠(u

-

u

)21

2碰撞后的相對運動動能：T

￠=1

m￠v￠22212m

(u1

-

u

)￠-1)碰撞前后的動能改變：DT

=DT

￠=(e2e=1,

DT=0; e<1,

DT<001212m￠v￠2m0

v

+2T

=

T

0

+T

￠=1

22

2T

'

=

1

m1v'2

+

1

m2v'22碰撞后的相對速度

=

-e(u1

-u2

)T

t

=t

2

-T

t

=t

1

=

-(V

t

=t

2

-V

t

=t

1)(T

+V

)

t

=t

2

=

(T

+V

)

t

=t

1（3）機械能守恒原理與功能原理保守力下的質(zhì)點組機械能守恒原理在保守力作用下，質(zhì)點組的機械能保持不變。（機械能包括內(nèi)力的勢能）質(zhì)點組的功能原理T

t

=t

2

-T

t

=t

1

=

-(V

t

=t

2

-V

t

=t

1)

+Wd(T

+V

)

t

=t

2

=

(T

+V

)

t

=t

1

+Wd+W

外

=

W

+Wc

dW

內(nèi)rbabaGMm

-

er

drF

dr

=W

=2er

dr

=

dr

cosq

=

rdr

1

1a

bbarrr

2GMm-

)dr

=

-GMm(-W

=But

if

M~m,

what

is

the

work?勢能：屬于質(zhì)點組（整個系統(tǒng)）Case

study

:

Work

done

by

gravitationExample:質(zhì)量為M、m的兩球原來相距為a，在萬有引力作用下逐漸靠近至相距為b，求在此過程中引力所作的功。ab1

1a

bGMm(r

2GMmba-

)dr

=

--W

=Solution

I:In

Frame

MM

mabr1r2r1

'

r2

'C2drMm1

F12Solution

II:Re.

center

of

massM:r1r2m:

221212r12r12eGMmrGMm

(r1

+

r2

)e

=

-F

=

-M:m:22(r1

+

r2

)Mm(r1

+

r2

)

dW

=

dr1

=

-GdW

=

d

=

-Gr22

F212Mr1

=

mr11dr)2

r

2mMMm(1+1

=

-G22dr)2

r

2

m

MMm(1+dr

=

-GMm

r1

'

dr1

Mm

1

1W1

=

-G

r

2

=

-G

(

-

r

')(1+

M

)2

10

r1

(1+

M

)2

r10

1m

mmM

1

1=

-Gm

(

-

)

r

=

m

a,

r

'

=

m

bm

+

M

a

b

10

M

+

m

1

M

+

mW

=

-GM

mM

(

1

-

1)2

m

+

M

a

ba

bW

+W

=

-GmM

(

1

-

1)

=W1

2W1

/W2

=

m

/

M各個力的功與參考系有關(guān)，但一對力的功與參考系的選擇無關(guān)。質(zhì)心系里，內(nèi)力的功與質(zhì)量成反比。對小質(zhì)量物體作功占主要地位。引力的功只與物體系統(tǒng)的初始和最終相對位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。（4）參考系的選擇為了避免計算慣性力所作的功，通常選取慣性參考系原因：F’=0（慣性力為零）質(zhì)心坐標系原因：dX’=0

（慣性力作用下的位移為零）碰

撞

Collisions（1-D）對心碰撞（正碰）（兩球的相對速度沿球心聯(lián)線）u1m1

m2u2(u1>u2)動量守恒原理m1u1

+

m2u2碰撞前=

m1v1

+

m2

v2碰撞后碰撞過程壓縮階段恢復階段-(u1

-u2)

=

I

(

1

+

1

)1

1m1

m2I1

=

m￠(v1

-

v2)+

)v1

-

v2

=

I1(m1v

-

m1u1

=

Im2v

-

m2u2

=

-II

1

:I

=常數(shù)ev2

-

v1

=

e(u1

-

u2)恢復系數(shù)0

<= e

<=

1完全彈性碰撞完全非彈性碰撞m1

m2I

=

-m￠(u1

-u2)約化質(zhì)量m1v1

-

m1v

=

I

1m2v2

-

m2v

=

-I

1動能相等

不相等動量守恒原理+恢復系數(shù)的定義研究對心碰撞問題的兩個基本方程式.m1

+

m2+

em1

+

m2m1

+

m2m1(u1

-

u2)-

e

,m1

+

m2m1u1

+

m2u2m1u1

+

m2u2

m2(u1

-

u2)v1

=v2

=?

0.m2v2

? +

em2m2

m2m1u1

m1u1v1?

m1u1

-

e

m2u1

?

-eu1,m2

>>

m1u2

=

0質(zhì)心的速度m2

>>

m1u2

?

0請考慮情況：m1=m2的完全彈性碰撞交換速度練習：試在質(zhì)心系中求解對心碰撞從特殊到一般的思路！

兩體問題的動能About

kinetic

energyBefore

collision：2

2=

1

m￠(u

-

u

)21

2T

￠=

1

m￠v￠2After

collision：22=

e2

1

m￠(u

-

u

)21

2T

￠=

1

m￠v￠2Relative

velocity,

after

collision

=

-e(u1

-

u2)21m￠(u1

-

u2)2-1)e=1,

DT=0; e<1,

DT<0Therefore：

DT

=

DT

￠=

(e201212m￠v￠2m0

v

+2T

=

T

0

+T

￠=1

22

2T

'

=

1

m1v'2

+

1

m2v'2資用能：available

energy,對撞機Example:

The

gravitational

slingshot

effect.The

planetSaturn

moving

in

the

negative

x-direction

at

its

orbits

speed

(with

respect

to

thesun)

of

9.6km/s.

The

mass

of

the

Saturn

is5.69×1026kg.

A

spacecraft

with

mass

825kgapproaches

Saturn,

movinginitiallyinthe+xdirection

at

10.4km/s.The

gravitational

attractionof

Saturn

causes

the

spacecraft

to

swing

around

itand

head

off

in

the

opposite

direction.

Find

thespeed

of

thespacecraft

after

itis

far

enoughawayto

be

nearly

free

of

Saturn’s

gravitational

pull.碰 撞

Collisions（2-D）非對心碰撞（斜碰）m1u1u2v1v2Xq1m2Yq2在垂直于聯(lián)心線的方向兩球各自運動（Y軸方向）v1

y

=

u1

y

=

u1

sin

q1,v2

y

=

u2

y

=

u2

sin

q

2.在聯(lián)心線方向兩球相互壓縮后恢復（X軸方向）m1u1

x

+

m2u2

x

=

m1v1

x

+

m2

v2

x,v2

x

-

v1

x

=

e(u1

x

-

u2

x

)..m1

+

m2+

em1

+

m2v2

x

=m1

+

m2m1(u1

x

-

u2

x

)-

e

,m1

+

m2m1u1

x

+

m2u2

xm1u1

x

+

m2u2

x

m2(u1

x

-

u2

x

)v1

x

=角動量

與角動量守恒勻速直線運動的一個守恒量掠面速度:Areal

velocity掠面速度：位矢r

在單位時間內(nèi)掃過的面積。dA

=

1

OHDS

/

Dt

=

1

rv

sin

qdt

2

2推廣到有心力！掠面速度2=

1

r

2wdA

=

1

rv

sin

qdt

2C有c//心SB，力所作以用三角下形掠SB面C與速SBc度等高相等。牛頓的推理：DSAB面積=DSBc面積=...???DSBc面積=DSBC面積有心力作用下什么守恒？22dt

22mdA

1角動量

定義：動量矩L

=

r

·

mv

=

r

·

pL

=

rmv

sin

q

=

rp

sin

q

=

mr

wm

1

L

=

mr

w

=

Iw2Moment

of

inertia轉(zhuǎn)動慣量結(jié)論守：恒量有心L

力作用=m下rv掠sin面q

=速度r

w相等，故角動量守恒。動量矩(角動量）定理質(zhì)點對軸的動量矩等于對軸上任意一點的動量矩在該軸上的投影。關(guān)于軸線的動量矩（角動量的分量）

ApypxB

zpSyyxC

x=

mxy

-

myxL

=

r

·mv

=

r

·

pLz

=

xpy

-

ypxAFxF^SyzBFyyxC

x直角坐標系Mz

=

xFy

-

yFx力對線的力矩極坐標系MAB

=

rFjBFjAF^FrCSr

M

=

r

·

F力對參考點o的力矩M：受力質(zhì)點相對于o點的位置矢量r與力F矢量的矢積。AFMroSaM=Frsina力對于參考點的力矩?力對軸上任意一點力矩在該軸上的投影等于力對該軸的力矩。動量矩(角動量）定理—平面運動極坐標：jdt

dtrF

=

m

d

(r

2j)

=

d

(mr2j)dtzM

=

d

(Ij)j

jr

dtF

=

ma

=

mrj

+

m2rj

=

m

1

d

(r

2j)F

=

ma

=

mr-

mrj

2r

r可以變化dtxF

=

d

(mx)dtdLM

z

=

z

直角坐標：Lz

=

xpy

-

ypx

=

mxy

-

myxMz

=

xFy

-

yFx

=

mxy

-

myx請自己證明：dt

d

M

=

LdtN

d

M

=

L

ii=1動量矩(角動量）守恒若作用于質(zhì)點的力對參考點o的力矩之和保持為零，則質(zhì)點對該點的動量矩不變。Ni=1

L2

-

L1

=

0

或當

M外

=

Mi

=0L

=

0,演示：直升飛機開普勒第二定律對任一個行星說，它的徑矢在相等的時內(nèi)掃過相等的面積。Rotational

speed

is

controlled

by

variations

inthe

body’s

rotational

inertia

as

angularmomentum

is

conserved

during

a

forwardsomersault.

·

F

=

·

d

(mv

)由質(zhì)點動力學方程

r

rdt

dtdtd

d

M

=

LM

=

r

·

F

=(

r

·

mv

)d

(r

·

mv

)

=

dr

·

mv

+

r

·

d

(mv

)

dt dt=

0

dt

r

·

d

(mv

)

=

d

(r

·

mv

)dt

dt動量矩定理:質(zhì)點對參考點o的動量矩的時間變化率就等于質(zhì)點所受力對于o點的力矩。

關(guān)于點的動量矩定理Theorem

of

angular

momentum

about

a

point有心力運動的質(zhì)點所受力的作用線始終通過某個定點。 作用力——有心力， 定點——力心在有心力作用下，質(zhì)點在通過力心的平面內(nèi)運動。有心力問題的基本方程以力心為極點的極坐標系(徑向)(橫向)r

dtm

1

d

(r2j)

=

0兩個基本方程mr

-

mrj

2

=

F2mr2j

=

mh1

m(r

2

+(rj)2)

+V

(r)

=

E動量矩守恒原理機械能守恒原理有心力為保守力The

Laws

of

Planetary

MotionKepler‘s

First

Law:The

orbits

of

the

planets

are

ellipses,

withthe

Sun

at

one

focus

of

the

ellipse.行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。Kepler's

SecondLaw:The

line

joining

the

planet

to

the

Sunsweeps

out

equal

areas

in

equal

times

asthe

planet

travels

around

the

ellipse.對任一個行星說，它的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。動量矩守恒Kepler's

Third

Law:The

ratio

of

the

squares

oftherevolutionary

periods

for

two

planetsis

equal

to

the

ratio

of

the

cubesoftheir

semimajor

axes:行星繞太陽運行軌道半長軸a的立方與周期T的平方成正比T2

/a3=K引力與距離平方成反比例題：人造衛(wèi)星沿著橢圓軌道運動，近地點離地心的距離為r1,

遠地點離地心的距離為r2,

地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，求：衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度；衛(wèi)星的總機械能。221212221212GMm

1

GMm

12

2mvrr2GM

r2GM

rGMm-

+=

-

+

mvmv1r1

=

mv2r2v

=r1

+

r2

r1v

=r1

+

r2

r2E

=-r1

+

r2試導出開普勒第三定律！aTdtdsGMm2b22GMm2r

rpab

GMm2b2T

=

2p

a3/

2GM==

2mL

=

2m

1 2

=r1

+

r2

ar

=

a

-

c,

r

=

a

+

c,

r

r

=

(a

-

c)(a

+

c)

=

b21

2

1

2L

=

mv1r1

=IPhO11-1

一質(zhì)量為m=12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動機在X點作一次短時間發(fā)動。從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為

u=10000m/s，月球半徑R=1700km,

月球表面的重力加速度為g=1.7m/s2。飛船可用兩種不同方式到達月球（如圖）（1）到達月球上A點，該點正好與X點相對；（2）在X點給一只向月球中心的動量后，與月球表面相切于B點。試計算上述兩種

情形下所需要的燃料量。分析：畫出兩種情形的完整軌道。用能量判斷軌道：是否橢圓？哪一種情形燃料更多？飛船被加速還是減速了。圓軌道速度gR22v0

=

R

+

h2R

+

hmgR

2mgR

22(R

+

h)E

=

-（1）XA之間距離即新軌道長軸為2R+h，能量為E

'=-原軌道長軸為2(R+h),能量為在X點需要改變的動能：-mv

-

mv2R

+

h2(R

+

h)=

E'-E

=12

2在X點需要改變的動能：1mgR2mgR220222gR3(2R

+

h)(R

+

h)v

=m

=

m(v0

-

v)

=

mDv

=

28.7kgu

+

v0

-

v u

+

Dvmv0

=

(m

-

m

)v

+

m

(u

+

v0

)(Dv

=

24m

/

s)RmgR22B20-1

mgR2

12

R

+

h

2-

=

mvmv

+

mvmv0

(R

+

h)

=

mvB

RvB

=

v0

(R

+

h)

/

R2^gh22=115kgu

+

v^m

=

mv^v^

=

R

+

h

,v^

=

97m

/

smv^

=

m(u

+

v^

)（2）IPhO16-3在一項太空計劃中，討論了向太陽系外發(fā)射空間探測器的兩種方案。第一種方案是以足夠大的速度發(fā)射探測器，使其直接逃逸出太陽系。第二種

方案是使探測器靠近外層行星，然后借助于行星改變其運動方向，并達到逃

逸出太陽系所必須的速度。假定探測器僅在太陽或行星的萬有引力場中運動，究竟在那個引力場中運動，這要看探測器所在點哪個場較強。按照第一種方案發(fā)射時，試確定探測器必須具有的相對地球運動的最小速度。假定探測器已按（1）中確定的方向，然而以另一速度大小發(fā)射。試確定探測器與火星軌道相交時的速度，即確定相對于火星軌道的平行分量和垂直分量。發(fā)生相交時火星并不在交點附近。設(shè)探測器進入火星引力場以后再離開。求探測器從太陽系逃逸的最小發(fā)射速度。估算第二種方案與第一種方案所節(jié)省的能量的最大百分比。注：假定所有行星在同一平面內(nèi)沿相同方向繞太陽在圓軌道上旋轉(zhuǎn)。忽略空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)以及從地球引力場逃逸出所消耗的能量。數(shù)據(jù)：地球繞太陽旋轉(zhuǎn)的速度為34km/s,

地球與火星離太陽的距離比為r=2/3。解:（1）第三宇宙速度問題行星的軌道速度為：在地球軌道上發(fā)射要求（以太陽為參照系）2EEEE

MR

RM

RMv

vv

2

=

rv2

=

GM

S

=

RE2

=

GM

S22121ESE

ESRGMGmMR=

2v=

0

v

=

2mv

-利用地球的軌道速度，只要求離開地球引力范圍后速度沿軌道方向，且相對于地球速度。v1

'

=

v1

-

vE

=

( 2

-1)vE

=

12.4km

/

s（這個還不是第三宇宙速度，因為忽略了從地球引力場逃逸出所需要的能量。）如果借助于火星，則離開火星引力范圍后相對于火星的速度為。v2

'

=

( 2

-1)vM(2)假定相對于太陽發(fā)射速度為v,MER+

mv=

mv^2||mvRE

=

mv||

RM21

2

-

GmM

S22

R1

mv2

-

GmM

S

12

22222||MERv||RRE

GM

S

M

GM

S-

=

v

+

2(vM

-

vE

)v

=

rvv

=+

v^

=

v

+

2

R2

2

2

2v

^

=

(1

-

r

)

v

+

2

(

r

-

1)

v

E（3）到達火星軌道的相對速度要達到v

2接近火星的相對速度為'

=

(

2

-

1

)

v

M)2||M2

-1)vE

)22

-1)v)2

+

v

2

=

(((v

-

v^

M(rv

-x

=

v

/

vErvE

)

+

(1-

r

)v

+

2(r

-1)v

=

r((2

2

2

2Ex

2

-

2r

3

/

2

x

-

2

+

2 2r

=

0r

3

+

2

-

2 2r

=

1.184=

0.184vE

=

5.5km

/

s3

/

2v

/

vE

=

x

=

r

+在地球軌道上的相對速度v'

=

v

-

vE

=

(x

-1)vE為什么以火星為參照系？以上兩個發(fā)射速度平方都要加上2Rg，12.42

-

5.52= =

0.80E

12.42修正：考慮地球引力，地面發(fā)射速度與離開地心引力范圍后相對地球速度的關(guān)系，（4）DERGMmvEER

21

GmM222020=

v2

+

2Rg=

v

+

2\

v- =

1

mv2112.42

+

2Rg

=

16.8km

/

sv'

'

=

5.52

+

2Rg

=

12.6km

/

s=

0.43=E

16.82DE

12.42

-

5.52方案1修正為v

''=方案2修正為為什么以地球為參照系？兩球碰撞的角動量守恒Dv2om2m1Hr2r1Dv1?(r·v)m1dv1

=

-m2

dv

2m1r

1

·dv1

=

-m2

r

2

·dv

2

d

(m1r

1

·v1)

=

-d

(m2

r

2

·v

2)d

(m1r

1

·v1

+

m2

r

2

·v

2)

=

0

L1

+L2

=常量1r

1

·v1

+m2

r

2

·v

2

=常量

m

(dr

·v

=

0)

P=mvqmROL思考題：圓錐擺的角動量是否守恒？第一種解釋：關(guān)于轉(zhuǎn)軸的運動Lz

=

mvRMz

=

0

=

dLz

/

dt角動量守恒！第二種解釋：關(guān)于O點的運動L、M與角速度三者方向不同dt

d

M

=

L2L

=

mvr

=

mr

w

sin

qM

=

mgr

sin

q角動量不守恒！LqqrP=mvROwM練習：試用角動量定理求解圓錐擺的運動周期。qrmP=mvRO（1）m關(guān)于轉(zhuǎn)軸的運動情況Lz

=

mvRMz

=

0

=

dLz

/

dt2

Lz

=

mR

wL與角速度同方向w

=

?（2）m關(guān)于O點的運動情況

L、M與角速度三者方向不同L

=

r

·

p,L

=

mvr

=

mr2w

sin

qM

=

mgr

sin

qqrP=mvROwLqMqdL=Mdtdt

d

M

=

LLz

=

mvR

=

L

sin

qMz

=

0Lx,

y

=

L

cosq

M

x,

y

=

mgr

sinq

解角動量定理：Mx,

y

=

dLx,

y

/

dtmgr

sin

q

=

w

Lx,

y

=

w

L

cosqmgr

sin

q

=

wmvrcosq

=

mw

2

Rr

cosqRw

2

=

g

tan

q進動................................................................=

M

2

+

M

21LN

=

MN

+

MN

1

+

MN

2

+

MN

3

++

MN

,

N

-

1

+

M

23

++

M

2

,

N

-

1

+

M

2

N

+

M

12

+

M

13

++

M

1,

N

-

1

+

M

1

N

L1

=

M

1L2dtd

(L1

+

L2

+...+

LN

)

=

M

1

+

M

2

+...+

MN質(zhì)點組動量矩定理i)

質(zhì)點組動量矩定理

質(zhì)點組動量矩定理的微分形式：t

2t

2t

2t

1

t

1

t

1L

t

=t

2

-

L

t

=t

1

=

M

1dt

+

M

2

dt

++

MNdt

質(zhì)點組動量矩定理的積分形式：L=

M

1

+

M

2

+...

+

MN質(zhì)點組對于某點的動量矩的時間變化率就等于質(zhì)點組的各質(zhì)點所受外力對該點的力矩的和。ii)

質(zhì)點組的動量矩與質(zhì)心的動量矩y’z’zyxx’Omir0rir’i質(zhì)心質(zhì)點組對于z軸的動量矩NN+