二次函數(shù)知識梳理

關(guān)于二次函數(shù)知識梳理第1頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三1.定義：一般地，如果（、、是常數(shù)，），那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式.其中:第2頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三3.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作特別地，軸記作直線.第3頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.第4頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三5.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：頂點(diǎn)是:對稱軸是直線:第5頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為，對稱軸是直線（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.第6頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三6.拋物線中，、、的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.開口向上開口向下越大開口越小，反之越大第7頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三

（2）的符號：

和共同決定拋物線對稱軸的位置由于拋物線的對稱軸是直線故：①時(shí)，對稱軸為軸②（即、同號）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時(shí)，對稱軸在軸右側(cè).（左同右異）第8頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三（3）的符號：由拋物線與軸的交點(diǎn)位置確定:當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)①②與軸交于正半軸與軸交于負(fù)半軸③第9頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1）一般式：.已知圖象上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式※（3）交點(diǎn)式:已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：第10頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三8.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）軸與拋物線的交點(diǎn)為（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)（3）拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)△＞0拋物線與軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）△＝0拋物線與軸相切；③沒有交點(diǎn)△＜0拋物線與軸相離.第11頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同上面（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（5）一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).第12頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為、由于、是方程的兩個(gè)根，故，△第13頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三

，向上平移個(gè)單位向左（右）平移個(gè)單位拋物線與,

的形狀和大小都相同，變動(dòng)的只是位置。（以為基準(zhǔn)說明）

，向下平移個(gè)單位

，向右平移個(gè)單位

，向左平移個(gè)單位向上（下）平移個(gè)單位第14頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三拋物線的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)的變換拋物線在變換中，開口大小未變，只是位置或開口方向發(fā)生改變確定變換前后頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向關(guān)鍵關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱第15頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三如圖，將拋物線沿軸翻轉(zhuǎn)到虛線的位置，那么所得到的拋物線的解析式為第16頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線

關(guān)于軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（）A．B．C．D．2009年天津中考試題第10題第17頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三圖像二次函數(shù)性質(zhì)